sd 第1章 运动方程 2020

1、中南大学土木工程学院桥梁工程系结构动力学主讲教师：韩建平石岩E-mail：个人主页：兰州理工大学土木工程学院 结构动力学第2章运动方程的建立本章提要 1.1 结构动力系统 1.2 运动方程的建立 1.3 重力的影响 1.4 支座激励的影响31.1 结构动力系统1）. 惯性力（Inertial Force）42）. 恢复力（Resisting Force of Spring）563）. 阻尼力（Damping Force）74）线弹性体系和粘弹性体系(Linearly Elastic System and Viscous Elastic Syst

2、em )85）非弹性体系 (Inelastic System)91.2 运动方程的建立运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式（有时称动力方程）运动方程是进行结构动力分析的基础运动方程的建立是结构动力学的重点和难点101.1.1 牛顿第二定律111.1.2DAlembert原理（直接平衡法）建立计算模型取质点为隔离体画平衡力系)建立平衡方程12FI+ FD + FS= F(t)y(t)FDF (tFSFIy(t)cF(t)km单自由度体系模型质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性自由度只有一个：水平位移 y(t)无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能

3、量耗散，提供结构的阻尼力随时间变化的荷载F(t)13y(t)cF(t)km承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载平衡方程：惯性力：根据DAlembert原理：弹性力：等于弹簧刚度与位移的乘积&阻尼力：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积由此得到体系的运动方程：（2-3）14m&y&+ cy&+ ky = F (t)：FD= cy：FS= kyFI= m&y&FI+ FD+ FS= F(t)y(t)FDF(t)FS FI 直接平衡法(达朗贝尔原理)直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝

4、尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度法和柔度法。15(1) 刚度法:16(1) 刚度法:取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。y(t)cF(t)kF (t)平衡方程：17FI+ FD + FS= F(t)y(t)FIFDFS刚度法步骤：1. 在质量上沿位移正向加惯性力；2. 求发生位移y所需之力；3. 令该力等于体系外力和惯性力。mP试用刚度法建立图示刚架的运动方程y(t

5、 )mF(t) EI1 =FIFDFP (t)l 1EIl 2EIFFS 2S1解1）2）3）4）确定自由度数:横梁刚性，柱子无轴向变形。1个自由度。确定自由度的位移参数质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！列动平衡方程：18FP (t) - FI- FD - FS1 - FS 2 = 0。y(t )其中各力的大小：惯性力：112i弹性力Fs=Fs1+Fs2：位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：l 2E&等效粘滞阻尼力：由此得到体系的运动方程：19m&y&+ cy&+ 12EI+ 12EI y = F(t)l3l3P12FD = cyF=

6、 12EIyS 2l 32F= 12 EIyS1l 31IlFI= m&y&FP (t) - FI- FD - FS1 - FS 2= 0y(t )比较：FP (ty(t)1 m&y&+ cy&+ ky = F (t)(2-3)；k 为（等效）刚度系数。令：由此得到体系的运动方程：运动方程与(2-3)的形式是一样的！20k = F+ F= 12EI + 12EIS1S 2l 3l 312m&y&+ cy&+ ky = FP (t)m&y&+ cy&+ 12EI + 12EI y = F(t)l3l3P12cF(t)km)mll 2EI1 =EIEI21示例1：示例2：22示例3：23示例4：2

7、4示例5：25(2) 柔度法以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调条件建立体系的运动方程。26柔度法步骤：1. 在质量上沿位移正向加惯性力；2. 求外力和惯性力引起的位移；3. 令该位移等于体系位移。27例试用柔度法建立图示简支梁的运动方程q (t)q (t)EImy(t )FDFI解1）2）3）4）确定自由度数:集中质量，仅竖向位移：1个自由度。 y(t )确定自由度的位移参数：质量 m的位移：体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！列位移方程：改写成：28F+ F+1y = DP IDddy = DP - d (FI + F

8、D )l位移方程：q (t)y(t ) 其中：D p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：惯性力：阻尼力：l 3d=d为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度：由此得到体系的运动方程：48EI29F+ F+1y = DP IDddm&y&+ cy&+ 1y = 5l q(t)d8FD = cy&FI= m&y&D=5l 4P384 EI q(t )比较：y(t)q (t)cF(t)EImmk（2-3）令：FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与实际动荷载产生的位移相等！30F(t ) = DP Edmy + cy

9、+ 1 y = F(t)dEF(t ) = 5l q(t )E8my + cy + ky = F (t)my + cy + 1 y = 5l q(t)d8l：已经知道柔度 d表达式成为：和刚度 k之间的关系为简支梁：比较：刚架：（2-3）基本质量弹簧体系：结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：“刚度法”和“柔度法”参考：龙驭球结构力学教程13章。31m&y&+ cy&+ ky = FP (t)m&y&+ cy&+ ky = F (t)m&y&+ cy&+ ky = FP (t)m&y&+ cy&+ ky = FE (t)k = 1d示

10、例6：32 示例7：33示例8：34示例9：35示例10：3637达朗贝尔(DAlembert , 17171783)，法国数学家，哲学家。又译达朗伯。他是圣让勒隆教堂附近的一个弃婴，被一位玻璃匠收养，后来这个教堂的名字就成了他的教名 。达朗贝尔在数学、力学和天文学等许多领域都作出了贡献。他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研究中。达朗贝尔认为力学应该是数学家的主要兴趣，所以他一生对力学也作了大量研究。达朗贝尔是十八世纪为牛顿力学体系的建立作出卓越贡献的科学家之一。动力学是达朗贝尔最伟大的物理学著作。在这部书里，他提出了三大运动定律，第一运动定律是给出几何证明的惯性定律；第二定律是力的分析

11、的平行四边形法则的数学证明；第三定律是用动量守恒来表示的平衡定律。书中还提出了达朗贝尔原理，它与牛顿第二定律相似，但它的发展在于可以把动力学问题转化为静力学问题处理， 还可以用平面静力的方法分析刚体的平面运动，这一原理使一些力学问题的分析简单化，而且为分析力学的创立打下了基础。动力学大神-2达朗贝尔（1717-1783）1.3 重力的影响394041思考题：假如重力的影响没有预先被平衡，则在施加动力荷载产生变形后再出现，情况会如何？421.3 重力的影响FIGURE 2-2Influence of gravity on SDOF equilibrium43考虑重力的影响，力的平衡方程为：如果考

12、虑那么弹簧的恢复力就可表示为对求导数，显然有44例：应用DAlembert 原理推导图示质量-弹簧-阻尼体系的运动方程，假定运动方向是竖向的，不计空气阻力。重力的影响Thus, the weight force can be eliminated from the differential equationof motion of an SDOF system if the displacement of the mass is measured relative to its static equilibrium position.45相对于动力体系的静力平衡位置所列的运动方程是不受重力影响

13、的。在今后的讨论中，位移都以静力平衡位置作为基准，而这样确定的位移即为动力反应。总挠度、应力等可由动力分析的结果与相应的静力分析结果相加而获得。*线弹性体系线弹性、小变形结构分析：应用叠加原理将静力问题和动力问题分开计算，将其结果相加得到真实结构的反应。461.4 支座激励(地基运动)的影响结构的运动不但可以有施加于自由度上的外力引起，而且可由结构支承点的运动而产生。由于地震引起的建筑物基础的运动由于建筑物的振动而引起放在建筑物内的设备基底的运动(b) Equilibrium forces(a) Motion of systemFIGURE 2-347体系的力的平衡条件为：惯性力为：因为地面加

14、速度可以表示为结构的特定动力输入，运动方程可表示为：等效支座激励荷载48另一种推导方法：v（tt）及其导数代入方程将地震运动一般测量的是加速度，此时的等效荷载需要由地震记录积分一次和二次而获得地面位移和速度来计算，因此很难获得这种形式方程的解答。49例：应用DAlembert原理推导图示体系的运动方程，按相对于基础的位移列出运动方程表达式。地基运动的影响Peff (t)mw&+ cw&+ kw = p(t) - m&z&Thus, base motion has the effect of adding a reversed inertial forcePeff (t) -mzto the o

15、ther applied forces. Since relative motion may be more important thanzabsolute motion, and since the base acceleration, is much easier tomeasure than the base velocity or base displacement, there are manyapplications where Eq.6 is more useful than Eq.50515253545556作业 Chopra教材 1.1-1.5、1.12-1.1657本章术语interpolation functions插值函数Continuous连续Discrete离散SDOF systems单自由度体系Hamiltons principleHamilton原理Interpolation function插值函数Simple harmonic谐 振 荷 载 E