第六节空间角

1、.,第六节空间角,.,.,1异面直线所成的角 (1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点o作直线aa，bb，则a与b所夹的 叫做a与b所成的角 (2)范围：两异面直线所成角的取值范围是 .,锐角(或直角),.,2直线与平面所成的角 (1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的 所成的角当直线和平面平行时，直线和平面所成的角为当直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为 (2)范围：直线和平面所成角的取值范围是 .,射影,0的角,90的角,.,斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影其中的关键是作出射影线段(它是由垂线段

2、的垂足和斜足连结而成的),.,3二面角 (1)二面角的定义 二面角：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ，每个半平面叫做二面角的 ，如图所示，棱为l，两个面分别为、的二面角记作，由a，b，二面角也记作 . 二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点o，在两个半平面内分别作射线，则aob叫做二面角l的平面角，如图所示,半平面,棱,面,l,alb,oal,obl,.,(2)二面角的取值范围：,0，,.,求直线和平面所成角的方法 (1)定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性 (2)三垂线法：

3、已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角 (3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直,.,(4)射影法：利用面积射影公式s射s原cos ，其中s原为原斜面面积，s射为射影面积，为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来,.,4(b)利用空间向量求空间角 (1)向量法求异面直线所成的角 若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos |cosa，b| .,.,(2)向量法求线面所成的角 求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角

4、为，则sin |cosn，a| . (3)向量法求二面角 求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2， 若二面角l所成的角为锐角，则 cos |cosn1，n2| ；,.,若二面角l所成的角为钝角，则 cos |cosn1，n2| .,.,1如图，在正方体abcda1b1c1d1中，异面直线bc1和b1d1所成的角为() a30 b45 c60 d90 【答案】c,.,2已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为() a30 b60 c90 d120 【解析】由题易知m，n所成的角为两平面所成的角，故选b. 【答案】b,.,3(2008年福建卷)如图，在长方体a

5、bcda1b1c1d1中，abbc2，aa11，则ac1与平面a1b1c1d1所成角的正弦值为(),.,【答案】d,.,4平面平面cd，p为这两个平面外一点，pa于a，pb于b，若pa2，pb1，ab，则二面角cd的大小为_,【答案】60,.,5如图所示，已知ab为平面的一条斜线，b为斜足，ao，o为垂足，bc为内的一条直线，abc60，obc45，则斜线ab和平面所成的角为_,.,【答案】45,.,.,正三棱柱abca1b1c1中，若ab bb1，求异面直线ab1与c1b所成角的大小 【思路点拨】可用平移法，构造三角形求解；也可建系用向量法求解,.,【解析】解法1：如图，连结b1c交c1b于

6、o，取ac中点d，连结do，bd，则doab1，bod即为所求角或其补角,.,do2bo2bd2， dobo，即ab1c1b. ab1与c1b所成角的大小等于90. 解法2：如图，分别延长正三棱柱abca1b1c1三条侧棱a1a、b1b、c1c至a2、b2、c2，使a1aaa2，b1bbb2，c1ccc2，连结a2b2，b2c2，a2c2，则将原来的正三棱柱补成一个新的三棱柱，连结a2b， a2c1，在矩形a1a2b2b1中，a2bab1， a2bc1或其补角即为所求,.,.,.,.,【解析】解法1：(1)证明四边形abcd是正方形， acbd. pd底面abcd， pdac. ac平面pdb

7、. 又ac面aec 平面aec平面pdb. (2)设acbdo，连结oe. 由(1)知ac平面pdb于o.,.,aeo为ae与平面pdb所成的角 o，e分别为db，pb的中点，,.,解法2(b)：如图，以d为原点建立空间直角坐标系dxyz. 设aba，pdh，则a(a,0,0)，b(a，a,0)， c(0，a,0)，d(0,0,0)，p(0,0，h),.,.,.,(1)解决直线与平面所成角的问题，关键是找到斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角来度量 (2)要作出直线和平面所成的角关键是作垂线，找射影，可以用三垂线定理，也可以用向量法来完成 (3)求直线和平面所成角的步骤：

8、作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形(垂线，斜线，射影所组成的直角三角形)中解出所求角的大小,.,.,1(2009年浙江卷)如图，dc平面abc，ebdc，acbceb2dc2，acb120，p，q分别为ae，ab的中点 (1)证明：pq平面acd； (2)求ad与平面abe所成角的正弦值,.,【解析】证明：因为p，q分别为ae，ab的中点，所以pqeb. 又dceb，因此pqdc，从而pq平面acd. (2)如图，连结cq，dp. 因为q为ab的中点，且acbc，所以cqab. 因为dc平面abc， ebdc，所以eb平面abc. 因此cqeb，故cq平面abe

9、.,.,.,如图所示，在四棱锥sabcd中，底面abcd是正方形，sa底面abcd，saab，点m是sd的中点 (1)求证：sb平面acm； (2)求二面角dacm的大小,.,【思路点拨】几何法：(1)连结bd交ac于e，连结me，只需证mesb；(2)利用三垂线法作出二面角的平面角；(3)可证scam. 向量法：以a为原点，分别以直线ad、ab、as为x轴、y轴、z轴建系可求出(2),.,【解析】(1)证明：连结bd交ac于e，连结me. abcd是正方形，e是bd的中点 m是sd的中点， me是dsb的中位线mesb. 又me平面acm，sb平面acm，sb平面acm. (2)解法1：取a

10、d的中点f，则mfsa.作fqac于q，连结mq. sa底面abcd，mf底面abcd. fq为mq在平面abcd内的射影,.,fqac，mqac. fqm为二面角dacm的平面角 设saaba，,.,解法2(b)：如图所示，以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz， 由saab，故设abadas1，则a(0,0,0)，b(0,1,0)， c(1,1,0)，d(1,0,0)，,.,.,确定二面角的平面角的方法常用的有以下几种：(1)定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角 (2)三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个半平面上一点a(不在

11、棱上)向另一半平面所在平面引垂线，再由垂足b(垂足在棱上则二面角为直二面角)向棱作垂线得到棱上的点c，连结ac则acb(或其补角)即为二面角的平面角,.,(3)作棱的垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 (4)面积射影定理法：利用面积射影公式：cos (适于锐二面角),.,2如图，在三棱锥sabc中，侧面sab与侧面sac均为等边三角形，bac90，o为bc中点 (1)证明：so平面abc； (2)求二面角ascb的余弦值,.,从而oa2so2sa2. 所以soa为直角三角形，soao. 又aobco，所以so平面abc.,.,(2)解法

12、1：取sc中点m，连结am、om， 由(1)知sooc，saac，则omsc，amsc. oma为二面角ascb的平面角 由aobc，aoso，sobco，得 ao平面sbc.所以aoom.,.,解法2：(b)以o为坐标原点，射线ob、oa、os分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz. 设b(1,0,0)，则c(1,0,0)， a(0,1,0)，s(0,0,1),.,.,.,本节内容，侧重于两条异面直线所成的角、线面角、二面角的计算而考查的形式是以解答题形式出现,.,1(2009年湖南卷)如图，在正三棱柱abca1b1c1中，ab4，aa1 ，点d是bc的中点，点

13、e在ac上，且dea1e. (1)证明：平面a1de平面acc1a1； (2)求直线ad和平面a1de所成角的正弦值,.,【解析】(1)证明：如图所示，由正三棱柱abca1b1c1的性质知aa1平面abc.又de平面abc，所以deaa1. 而dea1e，aa1a1ea1， 所以de平面acc1a1. 又de平面a1de，故平面a1 de平面acc1a1. (2)解法1：过点a作af垂直a1e于点f，连结df.由(1)知，平面a1de平面acc1a1，所以af平面a1de.故adf即为直线ad和平面a1de所成的角,.,.,解法2(b)：如图所示，设o是ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系

14、，则相关各点的坐标分别是a(2,0,0)，,.,.,2(2009年天津卷)如图，在五面体abcdef中，fa平面abcd，adbcfe，abad，m为ec的中点，afabbcfe ad. (1)求异面直线bf与de所成的角的大小； (2)证明：平面amd平面cde； (3)求二面角acde的余弦值,.,【解析】解法1：(1)由题设知，bfce，所以ced(或其补角)为异面直线bf与de所成的角设p为ad的中点，连结ep，pc.因为fe綊ap，所以fa綊ep.同理，ab綊pc.又fa平面abcd，所以ep平面abcd.而pc、ad都在平面abcd内，故eppc， epad.由abad，可得pc ad.设faa，则eppc pda，cddeec ， 故ced60.,.,所以异面直线bf与de所成的角的大小为60. (2)证明：因为dcde且m为