7-5_组合.doc

1、最新 料推荐组合知识框架图7- 5- 1 组合及其应用7 计数综合7- 5 组合7- 5- 2 排除法7- 5- 3 插板法教学目标1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等知识要点一、组合问题日常生活中有很多 “分组 ”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同

2、学中选出几人参加某项活动等等这种 “分组 ”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题一般地，从n 个不同元素中取出m 个 ( mn )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合从 n 个不同元素中取出m 个元素 ( mn )的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数记作Cnm 一般地，求从 n 个不同元素中取出

3、的 m 个元素的排列数Pmn 可分成以下两步：第一步：从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，共有Cnm 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有Pmm 种排法根据乘法原理，得到 PnmCnm Pmm 1最新 料推荐mmn（）（）Pnn 1 n 2)n m 1因此，组合数 Cnmm（m）（）3 2 1Pm1m2这个公式就是组合数公式二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：CnmCnn m ( mn )这个公式的直观意义是：Cnm 表示从 n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法Cnn m 表示从 n 个元素中取出 ( nm )个元素组成一组的所有分组

4、方法显然，从 n 个元素中选出 m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选 m 个元素剩下的 ( nm )个元素的分组方法例如，从5 人中选 3 人开会的方法和从5 人中选出 2 人不去开会的方法是一样多的，即C53C52 规定 Cnn1， Cn01 例题精讲模块一、组合及其应用【例 1 】 计算：C62 ， C64 ； C72， C75 （2 级）2P 2654P4654 3【解析】 C6615， C661522443 2P21P412P727 65P75765 4 3C72221， C7554 321P21P52 1【小结】 注意到上面的结果中，有C62C64 ， C72C75 【例 2 】

5、 计算：C200198 ；C5655 ；C100982C100100 （2 级）【解析】 198200 1982P200220019919900；C200C200C200P22125556 551P156C56C56C565656 ；P1112C100982C100100C100221P1002100992 4948 P2212【巩固】 计算：399822C12 ；C1000 ； P8C8 （2 级）2最新 料推荐【解析】 C123121110220321 C1000998C10002100099949950021 P82C828 78 756 28 28 21【例 3 】6 个朋友聚会，每两

6、人握手一次，一共握手多少次？（2 级）【解析】 这与课前挑战的情景是类似的因为两个人握手是相互的，6 个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题由组合数公式知，C626515 (次 )所以一共握手15 次21【巩固】某班毕业生中有 20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2 级）【解析】 C202 2019190 (次 )21【例 4 】 （难度等级）学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？（ 4 级）【解析】 被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题由组合数公式知，

7、365420 (种 )C6321所以共有20种不同的选法【例 5 】 某校举行排球单循环赛，有12个队参加问：共需要进行多少场比赛？（2 级）【解析】 因为比赛是单循环制的，所以，12 个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关所以，这是一个在12 个队中取2 个队的组合问题由组合数公式知，共需进行2121166 (场 )比赛C1221【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有24 个队参加问：共需要进行多少场比赛？（2 级）【解析】 由组合数公式知，共需进行C2422423276 (场 )比赛21【例 6 】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其

8、他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78 场，那么共有多少人参加循环赛？（4 级）【解析】 从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题依题意，假设有n 个人参Cn2n（n）1） 782 1312 ，所以 n13 ，即一共有13 人加循环赛，应该有2178 ，所以 n （ n1参加循环赛【例 7 】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3 个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48 名选手分成8 个小组，每组6 人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8 个小组产生的前2 名共 16 人再分成 4个小组，每组 4人，分别进行单循环赛； 第三阶段： 由 4 个小组产生的4个第

9、1名进行2 场半决赛和2 场决赛，确定1至4 名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4 级）3最新 料推荐【解析】 第 一 段中，每个小 内部的6个人每2 人要 一 ， 内 C62 6515 ，共 8 个小 ，有2115 8 120 ；第二 段中，每个小 内部4人中每2432 人 一 ， 内 C426 ，共 4 个小 ，有 6 4 241 ；第三 段 2 2 4 根据加法原理，整个 程一共有120 24 4 148 比 【例 8 】 从分 写有 1、 3、 5 、 7 、 9 的五 卡片中任取两 ，做成一道两个一位数的乘法 ， ： 有多少个不同的乘 ？ 有多少个不同的乘法算式？（6 ）

10、【解析】 要考 有多少个不同乘 由于只要从5 卡片中取两 ，就可以得到一个乘 ，所以，有多少个乘 只与所取的卡片有关，而与卡片取出的 序无关，所以 是一个 合 由 合数公式，共有2P525410 (个 )不同的乘 C5P2212 要考 有多少个不同的乘法算式， 它不 与两 卡片上的数字有关， 而且与取到两 卡片的 序有关，所以 是一个排列 由排列数公式，共有P525420 (种) 不同的乘法算式【巩固】9、 8、 7、 6、5、 4、 3、 2、 1、 0 这 10 个数字中划去7 个数字，一共有多少种方法？（4 ）【解析】 相当于在10 个数字 出7 个划去，一共有10 9 8 76 5 4

11、（ 7 6 5 43 2 1） =10 9 8（ 3 2 1） =120 种【巩固】从分 写有 1、 2 、 3、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 的八 卡片中任取两 ，做成一道两个一位数的加法 ，有多少种不同的和？（4 ）2P287【解析】 C8828 (种 )P2221【例 9 】 在 1100 中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6 ）【解析】两个数的和是偶数，通 前面 学 的奇偶分析法， 两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与 序无关，所以是 合 从 50个偶数中取出2个，有 C50250491225 (种 )取法；21从 50个奇数中取出2个，

12、也有 C50250 491225 (种 )取法2 1根据加法原理，一共有 1225 1225 2450 (种 )不同的取法【小 】 在本 中， 两个数的和限定了条件不妨 个条件 行分 ，如把和 偶数分成两奇数相加或两偶数相加 可以把 化【巩固】从 19 、 20、 93、 94 这 76个数中， 取两个不同的数，使其和 偶数的 法 数是多少？（6 ）【解析】 19 、 20 、 、 93 、 94 中 有 38 个 奇 数 ， 38 个 偶 数 ， 从 38 个 数 中 任 取 2 个数 的 方 法 有 ：4最新 料推荐C3823837703 (种 )，所以选法总数有：703 21406 (种

13、 )21【例 10 】一个盒子装有 10个编号依次为1， 2， 3， ， 10的球，从中摸出 6 个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【解析】 10个编号中5 奇 5 偶，要使6 个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：5奇 1偶，这时对奇数只有1种选择，对偶数有 5种选择由乘法原理，有1 5 5 (种 )选择；3奇 3偶，这时对奇数有C5354310 (种)选择，对偶数也有 C53 54310 (种)选择由乘321321法原理，有 10 10100 (种 )选择； 1 奇 5 偶，这时对奇数有 5 种选择，对偶数只有 1 种选择由乘法原理，有 5 1 5 (种 )选择

14、由加法原理，不同的摸法有5 100 5 110(种 )【例 11 】用 2 个 1， 2 个 2， 2 个 3 可以组成多少个互不相同的六位数？用 2个0 ， 2 个 1， 2个 2可以组成多少个互不相同的六位数？（6 级）【解析】 先考虑在 6 个数位上选2 个数位放 1 ，这两个 1的顺序无所谓，故是组合问题，有265C6215 (种 )1选法；再从剩下的4 个数位上选2个放 2243，有 C426 (种 )选法；剩下的 2 个数位放 3 ，只有 1种1选法由乘法原理，这样的六位数有15 6 1 90 (个 )在前一问的情况下组成的90个六位数中， 首位是 1、 2 、 3的各 30个如果

15、将 3全部换成0 ，这 30 个首位是 0 的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数9030 60(个 )【例 12 】从 1， 3， 5 ， 7 ， 9 中任取三个数字，从2 ，4 ，6， 8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6 级）【解析】 整个过程可以分三步完成：第一步， 从 1， 3 ， 5， 7， 9 中任取三个数字， 这是一个组合问题， 有 C53种方法；第二步，从 2， 4， 6，8 中任取两个数字，也是一个组合问题，有C42种方法；第三步，用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有 P5种方法 所以总的个数为：C 3C2P5 720055

16、45（个）【例 13 】从 0 、 0、1、 2 、 3 、 4 、5这七个数字中， 任取 3 个组成三位数， 共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如 100、210 就是可以组成的， 而 211 就是不可以组成的） （ 2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（ 4 级）【解析】 若三位数不含有 0，有5 4360 （个），若含有一个0 ，有 5 42 40（个），若含有两个 0 ，有5 （个），所以共有60405105（个）【例 14 】用 2 个 1，2 个 2，2 个 3 可以组成多少个互不相同的六位数？用 2 个 0，2 个 1，2 个 2 可以组成多

17、少个互不相同的六位数？（ 6 级）【解析】先考虑在6 个数位上选2 个数位放1，这两个 1 的顺序无所谓，故是组合问题有C6215 种选法；再从剩下的4 个数位上选2 个放 2，有 C426 种选法；剩下的2 个数位放 3，只有 1 种选法由乘法原理，这样的六位数有 15 6190个5最新 料推荐在前一问的情况下组成的90 个六位数中，首位是1、 2、 3 的各 30个如果将 3 全部换成0，这 30个首位是 0 的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数9030 60 个【巩固】用两个 3，一个 2，一个1，可以组成多少个不重复的4 位数？（ 6 级）【解析】这道题由于3 有 2 个，是

18、其中最特殊的，所以从它入手先从四位数的4 个数位中选择2 个来放 3，有 C426种选法；然后剩下的两个数位放1 和 2，有 2 种放法；根据乘法原理，共有6212 种不同的方法，所以可以组成12 个不重复的四位数【例 15 】工厂某日生产的 10 件产品中有2 件次品，从这10 件产品中任意抽出3 件进行检查，问：（ 1）一共有多少种不同的抽法？（ 2）抽出的3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（ 3）抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6 级）【解析】 （ 1）从 10 件产品中抽出3 件，抽法总数为 C103 错误！未找到引用源。=120（种）（ 2） 3 件中恰好一件次

19、品，那么还有两件正常品抽法总数为 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=56（种）（ 3）与 “至少有一件是次品 ”互补的事件是 “全都不是次品 ”全都不是次品的抽法总数为 C83 错误！未找到引用源。 =56（种）所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64 （种）【例 16 】 200 件产品中有5 件是次品，现从中任意抽取4 件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？都不是次品；至少有1 件次品；不都是次品（ 6 级）【解析】 第 题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195 件第 题：与顺序无关；至少有 1 件次品，即有1 件次品、 2 件次品、 3 件次

20、品、 4 件次品等四类情况，次品共5 件可用直接法解答，也可用间接法解答第 题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1 件是正品 都不是次品，即全部为正品共有抽法 C1954 种 至少有 1 件次品，包括1件、 2 件、 3 件、 4 件次品的情况共有抽法 (C1953C51C1952C52C1951C53C54 ) 种（或 (C2004C1954 ) 种） 不都是次品，即至少有1件正品共有抽法 (C1951C53C1952C52C1953C51C1954 ) 种（或 (C2004C54 ) 种）【例 17 】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的： 直线段；三角形； 四

21、边形（ 6 级）【解析】 由于 10个点全在圆周上， 所以这 10个点没有三点共线，故只要在 10个点中取 2 个点，就可以画出一条线段；在 10 个点中取3 个点，就可以画出一个三角形；在10 个点中取 4 个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题由组合数公式：2P 2109 可画出 C101045 (条 )直线段P22216最新 料推荐3P1031098120 可画出 C(个 )三角形10P 332134 可画出 C104P1010987210 (个) 四边形P444321【巩固】 平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？（4 级）【解析】 这道题不考虑线段两个

22、端点的顺序，是组合问题， 实际上是求从10 个元素中取出2 个元素的组合数，由组合数公式，C10210945 ，所以以 10个点中每 2 个点为端点的线段共有45条21【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？（4 级）【解析】 三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7 个点中选出 3个点的选法，等于C7376535 (种)321【例 18 】平面内有12个点，其中6 点共线，此外再无三点共线 可确定多少个三角形？可确定多少条射线？（ 6 级）【解析】 分三类： 有 2个顶点在共线的6 点中，另 1个顶点在不共线的6 点中的三角形

23、有266590 个；6 C621 有 1个顶点在共线的6 点中，另 2个顶点在不共线的6 点中的三角形有6 C6266590 (个)；21 3个顶点都在不共线的6 点中的三角形有3654个C632201根据加法原理，可确定909020200 个三角形 两点可以确定两条射线，分三类： 共线的 6 点，确定 10条射线； 不共线的 6点，每两点确定两条射线，共有265(条 )射线；2 C623021 从共线的 6点与不共线的6 点中各取一个点可以确定6 62 72 (条 )射线根据加法原理，可以确定 1030 72 112 (条)射线【巩固】 如图，问：图 1中，共有多少条线段？ 图 2 中，共有

24、多少个角？（4 级）BP 9.P3P 2AC 1 C 2 C 3 C 4 C 5BP1OA图 1图 2【解析】 在线段 AB 上共有 7 个点（包括端点A 、 B ）注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有7最新 料推荐一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而C72 表示从 7 个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有C72条线段由组合数公式知，共有2P7276C7P2221(条 )不同的线段；12 从 O 点出发的射线一共有11条，它们是 OA ， OP1 ， OP2 ， OP3 ， OP9 ， OB 注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从 11

25、条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角 显然，是组合问题，共有C112 种不同的取法，所以，可组成C112 个角2P11211 10由组合数公式知，共有C11P222155 (个 )不同的角【例 19 】某班要在 42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？（6 级）【解析】 要在 42人中选 3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关所以，应用组合数公式，共有C423 种不同的选法要在 42人中选出 3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关所以，应用

26、排列数公式，共有P423 种不同的站法由组合数公式，共有3P423424140C42P33211480 (种 )不同的选法；13由排列数公式，共有P4234241 4068880 (种 )不同的站法【巩固】学校新修建的一条道路上有12 盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2 盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2 盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？（6 级）【解析】 要熄灭的是除两端以外的2 盏灯，但不相邻可以看成有10 盏灯，共有9 个空位，在这9 个空位中找2 个空位的方法数就是熄灭2 盏灯的方法数，那么熄灯的方法数有298C9236 (种 )1【例 20 】将三盘同

27、样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有_ 种不同的方法（ 2007 年“希望杯”第一试） （ 4 级）【解析】 因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边这样 共 有 5 个 空 ， 每 个 空 最 多 只 能 放 一 盘 红 花 ， 相 当 于 从 5 个 元 素 中 取 出 3 个 ， 所 以 共 有C5354310 种不同的放法123【例 21 】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8 个人要站成两排，每排4 个人，且前后对齐而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住 一共有多少种不同的排队方法？（ 4 级）【

28、解析】 因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关8最新 料推荐系所以排队方法总数为：C82C62C42281562520 （种）【例 22 】在一次考试的选做题部分， 要求在第一题的4 个小题中选做 3 个小题，在第二题的3 个小题中选做 2个小题，在第三题的 2 个小题中选做 1个小题，有多少种不同的选法？（6 级）【解析】 由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题第一题中， 4个小题中选做3个，有 C434324 (种)选法；321第二题中， 3个小题中选做2个，有 C32323 (种 )选法；21第

29、三题中， 2 个小题中选做1个，有121(种 )选法C221根据乘法原理，一共有 43 2 24(种 )不同的选法【例 23 】某年级 6 个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？（ 6 级）【解析】 分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有265(种 )选法；C62151第二步，从余下的4 个班中选取两个班给乙，有C42 436 (种 )选法；21第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法根据乘法原理，一共有 156 190 (种 )不同的分配方法【例 24 】 ( 2007 年“迎春杯”高年级初赛) 将 19 枚棋子放入 5

30、5的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有_ 种不同的放法 （4 级）【解析】 5 5 的方格网共有25 个方格，放入 19 枚棋子，说明还有6 个空格由于棋子的数目较多，直接考虑棋子比较困难，可以反过来考虑6 个空格由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都有 5 个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个那么每行每列的空格数可能为0， 2 或 4如果有某一行或某一列的空格数为4 个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这4 个空格所在的列或行都至少还有另外1 枚棋子，这样至少有8 个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为4 个，只能为 0 个或

31、 2 个则肯定是某 3 行和某 3 列中每行每列各有2 个空格，如下：其中表示空格，表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子选择有空格的3 行 3 列有C53C5310 10 100 种选法，在这3 行 3 列中选择6 个空格 ( 也相当于每行每列选择 1枚棋子 ) 有 3216 种选法，所以总共有1006 600种不同的放法【例 25 】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3 个，有一串是黄气球 2 个，有一串是绿气球4 个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？（ 6 级）9最新 料推荐红黄绿【解析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气

32、球，二个黄色气球，四个绿色气球，即9个物体的排列，当然有987654321种排列方法但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的情况，所以应该除以321 ，其他黄色气球、绿色气球依此类推所以共有射击方法：(987654321)(321)(21)(4321)(9 8 7 6 54)(21)(4321) 1260 ( 种 ) 本题也可以这样想：任意一种打法都对应9 个物体的排列，从中先选出3 个位置给红色气球，有 C93种选法；这 3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的6 个位置中选出 2 个给黄色气球， 有 C62 种选

33、法； 它们之间也只有一种排列顺序；剩下的 4 个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序所以，根据乘法原理，共有C93C621260种不同的射法【例 26 】有 8 个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？（ 6 级）【解析】 ( 法 1) 先选 4 人，再考虑组合的方法8 选 4 有 C8470 种组合，其中实质不同的有一半，即70 2 35 种；对每一边的4 个人，共有实质性不同的C422 3 种，所以，可以得到353 3315种实质不同的比赛安排表( 法 2) 先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是 8!87654321考虑到实质相同

34、：1、 2； 3、 4； 5、 6；7、 8；一、二；三、四；A 、 B ，以上 7 组均可交换，即每一种实际上重复计算了78! 27315 2 次，答案为：【例 27 】某池塘中有 A、B、C 三只游船，A船可乘坐 3人， B 船可乘坐2 人， C 船可乘坐 1 人，今有 3 个成人和 2 个儿童要分乘这些游船，为安全起见， 有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们 5 人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？（6 级）【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C 船 若这 5 人都不乘坐 C 船，则恰好坐满A、B 两船， 若两个儿童在同一条船上，

35、只能在A 船上，10最新 料推荐此时 A 船上还必须有 1个成人，有 C133 种方法； 若两个儿童不在同一条船上，即分别在A、B 两船上，则 B 船上有 1 个儿童和 1个成人， 1 个儿童有 C212 种选择， 1 个成人有 C313 种选择，所以有236 种方法故 5 人都不乘坐 C 船有 369 种安全方法； 若这 5 人中有 1人乘坐 C 船，这个人必定是个成人，有 C313 种选择 其余的 2 个成人与 2 个儿童， 若两个儿童在同一条船上，只能在A 船上，此时A 船上还必须有 1 个成人，有 C122 种方法，所以此时有 326 种方法； 若两个儿童不在同一条船上，那么B 船上有

36、 1个儿童和 1 个成人，此时1个儿童和 1个成人均有C122 种选择，所以此种情况下有32212 种方法；故 5 人中有 1人乘坐C 船有 61218 种安全方法所以，共有91827 种安全乘法【例 28 】有蓝色旗 3面，黄色旗2 面，红色旗 1 面这些旗的模样、大小都相同现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号 ? （4 级）【解析】 按挂旗的面数来分类考虑第一类：挂一面旗从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示3种不同信号；第二类：挂两面旗按颜色分成：红黄（ P222 种）；红蓝（ P222 种）；黄蓝（ P222 种）；黄 黄（1种）；蓝蓝（1种）；共 8 种；第三类：挂三面旗 按颜色分类： 红蓝蓝（ C313 种）；红黄黄（ C313 种）；红黄蓝（ P336种）；黄黄 蓝（ C313种）；黄蓝蓝（ C313 种）；蓝蓝蓝（ 1种）；共 19 种；第四类：挂四面旗按颜色分类：红黄黄蓝（ C42212或 P44212 种）；红黄蓝蓝（ C42212 或 P44212 种）；红蓝蓝蓝（ C414种）；黄黄蓝蓝（ C42C226种）；