初中数学竞赛辅导资料(66)

1、.初中数学竞赛辅导资料（66）辅助圆甲内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理： 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有： 同弧所对的圆周角相等. 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系. 圆中

2、成比例线段定理：相交弦定理 ，切割线定理.4. 证明 型如ab+cd=m2常用切割线定理乙例题例1.已知：点o是abc的外心，be，cd是高.求证：aode证明：延长ao交abc的外接圆于f，连接bf.o是abc的外心af是abc外接圆的直径，abf=rt.be，cd是高，bdc=ceb=rt.b，c，e，d四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)ade=ecb=f.agd=abf=rt，即aode.例2.正方形abcd的中心为o，面积为1989cm2，p为正方形内的一点，且opb=45，papb=514，则pb=_cm.(1989年全国初中数学联赛题)解：opb=oab=45 abop四点共圆

3、(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)apb=aob=rt.在rtapb中，设pa为5x，则pb是14x.(5x)2+(14x)2=1989.解得x=3, 14x.42.pb=42 (cm).例3.已知：平行四边形abcd中，ceab于e，afbc于f.求证：abae+cbcf=ac2.证明：作bgac交ac 于g.ceab，afbc.a，f，b，g和b，e，c，g分别共圆. (对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得abae=agaccbcf=cgacabae+cbcf=ac(ag+cg)=ac2.例4.已知：ad是rtabc斜边的高，角平分线be交ad于f.求证：ae2=ab2bebf.

4、分析：根据同角的余角相等，可证ae=af.由射影定理ab2=bdbc.精品.故只要证aeafbdbcbebf创造应用切割线定理的条件，作abc的外接圆并延长be交圆于g，得f、d、c、g四点共圆 . bdbc=bfbg.右边= bfbg. bebf=bf(bgbe)=bfeg从而转为要证aeaf= bfbg. 即只要证aegbfa(证明由同学自已完成)例5已知：从o外一点p作o的两条切线pa，pb切点a和b，在ab上任取一点c，经过点c作oc的垂线交pa于m，交pb于n.求证：om=on.证明：连结oa，ob .a，b是切点 oapa，obpb. 又ocmn.a，m，c，o和b，n，o，c分别

5、共圆.(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等，得oac=omc，onc=obc.oa=ob， oac=obc.omc=onc ， om=on.丙练习661.已知：ad是abc的高，de，df分别是adb和adc的高求证： b，c，f，e四点共圆2.已知：两条线段ab和cd相交于点p，且papb=pcpd.求证：a，b，c，d四点共圆.3.已知：o和o，相交于a，b，过点a作一直线交o于c，交o，于d，分别过点c和点d作o和o，的切线相交于点p .求证：p，c，b，d四点在同一个圆上.4.已知：e是正方形abcd边bc上的一点，过点e作ae的垂线和c的外角平分线交于点f.求证：ae=af.5

6、.已知：m是平行四边形abcd对角线ac上的一点，过点m画两组对边的垂线段分别交ab，cd于e，f交ad，bc于g，h.求证：egfh.6.已知：abc的三条高ad，be，cf交于点h.求证：bhbe+chcf=bc2.7.已知：ab是o的直径，c是半圆上的一点，cdab于d，g 是cd上的一点，ag的延长线交半圆于h.求证：cd2+ad2=agah.8.已知：ad是abc的角平分线 .求证：ad2=abac.dbdc9.已知：凸五边形abcde中.a=3，bc=cd=de，c=d=180.2.求证：ac，ad，ae三等分a. (1990年全国初中数学联赛题)10.求证：圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等11.求证：圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)12.如图已知：圆内接四边形abcd中，由ab上一点m作mpbc，mqcd，mrda，pr交mq于n.求证：.(1983年福建省初中数学联赛题)13.