1.1 预备知识.ppt

1、1.1 预备知识,二、数域,一、连加号,三、多元一次方程组,课件下载地址: ,连加号,双重连加号,考虑求mn个数之和, 我们把这些数排成m行n列, 并用两个指标来编号：,显然为求这mn个数之和, 我们可以先求每行的数之和, 再把这m行的各数之和相加,得到mn个数之和为,我们可以用双重连加号记上式为:,双重连加号,双重连加号,因此, 该mn个数之和也可表示为,从而,即用双重连加号求和时, 求和指标i, j的次序可以交换.,例,连乘号,数域,数是数学的一个最基本概念, 其发展经历一个长期的过程 数集的扩充与数的运算有关：,NZQRC.,定义 设F是一个含有数0,1的数集, 若F中任意两个数关于数的

2、四则运算封闭(除法的除数不为零), 即F中任意两个数的和, 差, 积, 商仍是F中的数, 则称F为一个数域.,例 Q, R, C都是数域, 分别称为有理数域, 实数域, 复数域.,注 有理数域Q是最小的数域, 即若F是一个数域, 则QF.,提示:,a11a22x1+a12a22x2=b1a22 ,a22,a11x1+a12x2=b1,a12,a12a21x1+a12a22x2=a12b2 ,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 ,二元一次方程组,提示:,a11a21x1+a12a21x2=b1a21 ,a21,a11x1+a12x2=b1,a

3、11,a11a21x1+a11a22x2=a11b2 ,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21 ,二元一次方程组,这样就有,二阶行列式,行列式中的相关术语,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法则,a12a21,=a11a22,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差,例 求解二元线性方程组,解,由于,a12a21,=a11a22,a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,三元一次方程组与三阶行列式,a11a22a33a12a23a31a

4、13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,并称它为三阶行列式,行列式中的相关术语,对角线法则,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,a11a22a33a12a23a31a13a21a32,a11a23a32a12a21a33a13a22a31,按对角线法则 有,解,46324824,(4)2(3),(4)(2)4,D,12(2),21(3),114,2(2)(2),14,n元向量及其运算,高等数学中已经学习过三元向量及其运算, 推广到更一般的情形我们可以引入n元向量及其运算.,设a=(a1,a2,an), b=(b1,b2,bn)为数域F上的n元向量, 则,(

5、1) a=b当且仅当ai=bi, i=1,2,n;,(2) 加法: a+b=(a1+b1,a2+b2,an+bn);,(3) 数量乘法: ka=(ka1, ka2, ka3), kF.,数域F中n个数排成的数列 a=(a1,a2,an) 称为数域F上的n元向量 a1,a2,an称为a的分量.,向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算.,所有分量均为0的n元向量称为(n元)零向量 记为0 (1)a=(a1,a2,an)称为a的负向量，记为a.,利用向量的加法和负向量可以定义向量的减法: ab=a+(b).,n元向量线性运算的运算律,根据定义不难验证n元向量线性运算满足以下8条运算律.,(1) a

6、+b=b+a (交换律);,(2) (a+b)+c=a+(b+c) (加法结合律);,(3) a+0=a (零向量的特征);,(4) a+(a)=0 (加法的逆元素);,(5) 1a=a,(6) k(la)=(kl)a (数乘结合律);,(7) (k+l)a=ka+la (分配律一);,(8) k(a+b)=ka+kb (分配律二).,例 设a=(1,2,3,4), b=(2,1,0,5) 为4元实向量, 则,a+b=(1,2,3,4)+(2,1,0,5),=(3,1,3,9),3a=3(1,2,3,4),=(3,6,9,12),5a2b=5(1,2,3,4)+(2)(2,1,0,5),=(5,10,15,20)+(4,2,0,10),=(1,12,15,10).,前面我们用的向量一般写