第10章+能量法.ppt

1、第十章 能量法,第十章 能量法,第一节 概述,固体力学中利用功与能之间的关系所建立的一些定理,利用能量原理求解可变形固体的位移、变形、内力或外力的计算方法,能量原理,(功能原理),能量法,第十章 能量法,特点：,1解题简单、适用性广,2不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性问题,3可求解静定与非静定问题,4学习后续课程的基础,10.1 概述,外力作功,弹性体内储存了应变能,静载作用下：动能和其他能量均可不计,弹性范围内，弹性体的变形是可逆的,超出弹性范围后，塑性变形将消耗一部分能量,本章讨论弹性问题,10.1 概述,第二节 弹性应变能的计算,第十章 能量法,(一)轴向拉伸(压缩),1、

2、杆的应变能,轴力沿轴线不变的情况:,弹性范围内,应变能,一、杆件基本变形的应变能,10.2 弹性应变能的计算,(一)轴向拉伸(压缩),1、杆的应变能,轴力沿轴线不变的情况：,应变能,轴力沿轴线变化的情况:,应变能,轴力和面积沿轴线变化的情况？,10.2 弹性应变能的计算,(二)扭转,1、应变能,扭矩沿轴线不变的情况,弹性范围内,应变能,10.2 弹性应变能的计算,（二）扭转,1、应变能,扭矩沿轴线不变的情况,应变能,扭矩沿轴线变化的情况,应变能,10.2 弹性应变能的计算,(三)弯曲,1.纯弯曲,弹性范围内,应变能,10.2 弹性应变能的计算,(三)弯曲,1.纯弯曲,应变能,2.横力弯曲中的弯

3、曲应变能,剪力,弯矩,剪切应变能,弯曲应变能,微段,10.2 弹性应变能的计算,1)dx段应变能：,2)l段应变能：,FQ横截面剪力，A横截面面积,a截面系数,矩形：a=6/5；实心圆： a=10/9；薄圆环：a=2,3)注意：,在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的剪力应变能，通常忽略不计,3. 剪切应变能,(三)弯曲,10.2 弹性应变能的计算,总结：,拉伸(压缩)变形应变能：,扭转变形应变能：,弯曲变形应变能：,10.2 弹性应变能的计算,二、克拉贝依隆原理,变形能只决定于外力和位移的最终值，与加载次序无关,10.2 弹性应变能的计算,二、克拉贝依隆原理,线弹性体的变形能等于每一外力与其相应

4、位移乘积的二分之一的总和,广义力,广义力 的作用点沿广义力 方向的广义位移,由于位移 、 、 、与外力 、 、 、成线性关系，所以，变形能是外力或位移的二次函数,如：拉伸时为线位移，扭转或弯曲时为角位移,如：拉伸时为拉力， 扭转或弯曲时为力偶矩,10.2 弹性应变能的计算,三、杆件组合变形下的应变能,微段 的应变能,整个杆件的变形能,10.2 弹性应变能的计算,解：弯距方程,例10-1 图示矩形梁，并求中点C的挠度。,10.2 弹性应变能的计算,第三节 互等定理,第十章 能量法,一、功的互等定理,第一角标表示产生位移点位置，第二角标为产生该位移的力，如dij表示j力在i位置产生位移,10.3

5、互等定理,一、功的互等定理,结构的应变能,1.先在1点作用,再在2点作用,外力所作的功为,外力所作的功为,10.3 互等定理,一、功的互等定理,结构的应变能,再在1点作用,2.先在2点作用,外力所作的功为,外力所作的功为,10.3 互等定理,1,2,一、功的互等定理,功的互等定理：F1(或第一组力)在F2(或第二组力)引起的位移d12上所作的功等于F2在F1引起的位移d21 上所作的功,10.3 互等定理,二、位移互等定理,令：,则：,由力F作用在2点所引起的1点的位移等于该力作用在1点所引起的2点的位移,位移互等定理：,10.3 互等定理,需要指出的是，上述互等定理对于所有的力与位移成线性关

6、系的结构(线性结构)都适用，此外，力和位移应理解为广义力和广义位移,二、位移互等定理,10.3 互等定理,解：1)挠度器应安装在梁端5点处；,2)将F依次作用于1、2、3、4点，测出梁端5点挠度即为F 作用于梁端时1、2、3、4各点的挠度。,例10-4 图示悬臂梁，欲用一个固定位置的挠度计，测量1、2、3、4各点的挠度，挠度计应安装在何处？如何测量？,10.3 互等定理,第四节 卡氏第二定理,第十章 能量法,一、定理推导,1)问题：求Fi作用力方向的位移d i,a)加DFi后应变能的增量：,b)将F1、 F2 Fi 看作第一组力，DFi看作第二组力，由功能互等定理有：,10.4 卡氏第二定理,

7、2)卡氏第二定理公式及含义：,若结构的应变能U表示为F1、F2 Fi 的函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。,a)d i为沿广义力Fi方向的广义位移，d i为正表示与Fi方向 相同，为负表示与Fi方向相反，U是整个结构的应变能,b)仅适用于线弹性结构,一、定理推导,3)应变能是内力的函数，是外力的复合函数,10.4 卡氏第二定理,2、只有轴力的桁架：,3、弯曲梁：,二、杆件计算中的应用,1、组合变形,10.4 卡氏第二定理,b、若所求位移方向无Fi，则需沿所求位移方向加一个广义力Fs(虚加，求偏导数后，即令其为零)：,a、若外力符号相同，则需将求位移点的外力进行标

8、定，以便在求偏导时区别于其它外力,注意：,二、杆件计算中的应用,10.4 卡氏第二定理,2.列内力方程，对力求导,1、观察有无注意事项,用卡氏第二定理计算杆件变形（位移）的步骤：,二、杆件计算中的应用,10.4 卡氏第二定理,例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD,1.求,解：,列弯矩方程，并求导,DC段,CB段,BA段,10.4 卡氏第二定理,10.4 卡氏第二定理,1.求,解：,例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB

9、和D点的位移dD,2.求dD,解：,列弯矩方程，并求导,DC段,CB段,BA段,10.4 卡氏第二定理,例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD,解：,令,两点说明：,(2) 在积分前令F0 =0 ，可得到相同的结果,(1)qB和dD均为正值，表示它们的方向分别与F0和m0的方向相同,2.求dD,10.4 卡氏第二定理,例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD,例10-7 各杆的抗拉（压）刚度均为EA的正方形

10、平面桁架受水平力F的作用。杆的材料为线弹性的。试求解点C的水平和垂直位移,解：,10.4 卡氏第二定理,0,0,0,解：,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,10.4 卡氏第二定理,解：,10.4 卡氏第二定理,C,解：1)求梁的挠曲线方程：,在距梁左端x处虚加Fs,AC段：,CB段：,例10-8 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂集中力F，梁的EI已知， 1)求梁的挠曲线方程(用卡氏定理)； 2)若在梁中截面再作用集中力F，求自由端挠度fB。,10.4 卡氏第二定理,2)梁中点再作用F，求fB：,=F0,将中点的F用F0表示，以同梁端F区分。,BD段：,DA段：,10.4 卡氏第二定理,例10

11、-8 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂集中力F，梁的EI已知， 1)求梁的挠曲线方程(用卡氏定理)； 2)若在梁中截面再作用集中力F，求自由端挠度fB。,第六节 单位载荷法,第十章 能量法,一、单位载荷法,10.6 单位载荷法,1.弯曲,2.轴向拉伸,桁架,3.扭转角d,一、单位载荷法,10.6 单位载荷法,4.组合变形情况,一、单位载荷法,10.6 单位载荷法,二、卡氏定理和单位载荷法的关系,10.6 单位载荷法,三、应用单位载荷法计算变形的步骤,3.列积分式子，求位移,2.计算原载荷作用下的内力方程和 单位载荷作用下的内力方程,1.根据所求位移，作用单位载荷,10.6 单位载荷法,3.求相对位

12、移,有关单位载荷的说明,1.求线位移,沿线位移方向加一单位集中力,2.求角位移,沿角位移方向加一单位集中力偶,一对单位集中力,一对单位集中力偶,三、应用单位载荷法计算变形的步骤,10.6 单位载荷法,例10-10 试求图所示简支梁中点C的挠度和截面B的转角：fC ， qB,解：,(3)列积分式，求,(2)求 和,1. 求fC,由于对称性,(1)根据所求位移，作用单位载荷,10.6 单位载荷法,C,解：,(2)求,2.求qB,(1)求 和,10.6 单位载荷法,例10-10 试求图所示简支梁中点C的挠度和截面B的转角：fC ， qB,解：,在A点加铅垂单位力,AB段：,BC段：,例10-11 图

13、示刚架自由端A作用集中力F。刚架的抗弯刚度为已知，不计 轴力和剪力的影响，试计算A点垂直位移dAV和B截面的转角qB,1.求A截面铅垂位移dAV：,10.6 单位载荷法,2.求B截面转角qB：,在B截面加单位力偶,AB段：,BC段：,10.6 单位载荷法,例10-12,解：,1.卡氏第二定理,10.6 单位载荷法,例10-12,解：,2.单位载荷法,10.6 单位载荷法,第七节 图乘法（维利沙金法）,对于等直杆，莫尔积分可写成,必为直线或折线,第十章 能量法,第十章 能量法,一、 是直线的情况,表示M图的面积,M图的面积,M图的形心坐标,图 中与M图形心所对应的值,一、 是直线的情况,二、 是

14、折线的情况,逐段使用图乘法，然后求其总和,以折线的转折点为界，将积分分成若干段,三、积分值的符号,积分值为+,积分值为 -,M图的形心C与 图 的在异侧,M图的形心C与 图 的在同侧,四、几种常用图形的面积及其形心位置,1.三角形,2.二次抛物线,3.二次抛物线,4.n次抛物线,四、几种常用图形的面积及其形心位置,五、M图由几种常用图形组合,将M图分解为几种常用图形的组合，分别应用图乘法，然后叠加,应用叠加原理,六、一般情况,只要 或 中的一个为直线或折线，就可以使用图乘法,和 可以是弯矩、轴力或扭矩,例10-14 试用图乘法求图所示简支梁中点C的挠度: fC ， qB,解：,1)画原载荷弯距

15、图,2)作用单位载荷，并画弯距图,3)分段，叠加,1.求fC,例10-14试用图乘法求图所示简支梁中点C的挠度: fC ， qB,解：,2.求qB,例10-15 试用图乘法求图示外伸梁A端的转角qA,解：,1.画原载荷弯距图,2.作用单位载荷，并画弯距图,3.分段，叠加,第九节 超静定结构的基本解法,第十章 能量法,1超静定结构：,2超静定结构的分类：,1)外力超静定结构：,支座反力和内力不能全部由平衡方程求出的结构,2)内力超静定结构：,一、超静定结构的概念,外力作用引起的超静定,由内作用引起的超静定,10.9 超静定结构的基本解法,3)混合超静定结构：,由内、外力共同作用引起的超静定,1.

16、判断超静定次数，解除多 余约束，得到静定结构静定基,变形比较法,2.用多余约束反力代替除去 约束对原结构的作用,3.静定基与原结构等价，确 定变形协调条件,二、超静定结构的基本解法,10.9 超静定结构的基本解法,解：1)判断超静定次数：,K,1次,2)取静定基：,3)用反力FBy代替多余约束的作用：,4)静定基与原结构等价，列变形 协调条件：,5)使用卡氏第二定理求解：,6)解得：,10.9 超静定结构的基本解法,1)对称结构：,三、利用结构与载荷的对称性质,结构的几何形状、支承条件和各杆的刚度都对称于某一轴线,2)对称载荷：,在对称结构上，载荷的作用位置、大小和方向都对称于结构的对称轴,3)反对称载荷：