函数周期性和对称性课件及习题与答案

1、函数的周期性和对称性一、 函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、 函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.三、函数周期性的性质：定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.1、

2、，则是以为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、 若函数，则是以为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、，则是以为周期的周期函数.7、，则是以为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。9、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；10、函数的

3、图象关于和直线都对称，则函数 是以为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2是它的一个周期。12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4是它的一个周期。13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(xR，T0), 则f()=0.1、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）.A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负.2、（07天津7）在R上定义的函数是偶函

4、数，且.若在区间上是减函数，则( )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数3、定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ） A.0 B.1C.3D.5 4、 已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.5、，则，中最多有（ ）个不同的值.A.165B.177C.183D.199 6、已知，则（ ）.A. B. C. D.3 7、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 .1. 已知定义在R上的奇函

5、数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为( )A1 B0 C1 D22已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则（ ）A0B4C4D不能确定3.（2009江西）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为 （ ）A B C D4. 函数对于任意实数满足条件，若，则等于 ( ) A. B. C. D. 5. 是定义在上的函数，且，则（ ）A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数6. 偶函数是以为周期的函数，且当时，则的值为( ) 7.已知偶函数满足，且当时，则的值等于 ( ) A. B. C. D. 8设f（x）

6、是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）A BC D9（07安徽）定义在R上函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 （ ） A.0 B.1 C.3 D.5 10.是定义在R上的以3为周期的奇函数，且在区间(0,6)内解的个数的最小值（ ）A6B7C4 D511.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于成中心对称，且满足f (x) =, f (0) = 2，则f (1) + f (2) + f (2010)的值为 （ ）A2 B1 C0 D1二、填空题1、函

7、数对于任意实数满足条件，若则 。2.上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根. 4. 设函数定义在R上的奇函数，且图像关于直线对称，则 . 5.设函数为R上的奇函数，且，若， ，则的取值范围是 . 6. 定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断： 是周期函数； 的图象关于直线对称； 在上是增函数； 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。7设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，当时，则 。答案1、20分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为.它的特征就是推论3.因此图象

8、关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图），且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.2、分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B3、分析：， ，则可能为5，选D.4、分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.5、分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B. 6、分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.选A.7、解：，令，则，即有，令，则，其中，. 或有，得.选择题【答案】 B A C D C A D B D D C填空题【答案】1.；2. 5； 3. -1； 4. 0； 5.； 6.； 7.-1.1.函数定义在R上，且满足，求的值。()2. 已知函数的图象关于点对称，且满足，又，求的值。（0）3. 设函数在上满足，且在闭区间上只有 试判断函数的奇偶性； (非奇非偶函数) 试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论. (802个根)4. 设是定义在区间上且以2为周期的函数，对