课件2012级下第8次课

1、第八节多元函数的极值一、问题的提出二、多元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法四、小结返回下一页上一页一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖 y 元，则每天可卖出70 - 5x + 4 y 瓶本地牌子的果汁，80 + 6x - 7 y瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？f ( x, y) =每天的收益为( x - 1)(70 - 5x + 4 y) + ( y - 1.2)(80 + 6x - 7 y)求最大收益即为求二元函数的最大值.返回下一

2、页上一页二、多元函数的极值和最值xy观察二元函数 z = -的图形22ex + y返回下一页上一页播放1、二元函数极值的定义设函数z =f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y)若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 ) 有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.返回下一页上一页函数 z = 3 x2 + 4 y2例1(1)在(0,0) 处有极小值例 函数 z = -+ y2x2(2)在(0,0) 处有极大值例函数 z = xy(3)在(0

3、,0) 处无极值返回下一页上一页2、多元函数取得极值的条件定理 1（必要条件）设函数z =f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数，且在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然为f x ( x0 , y0 ) = 0，f y ( x0 , y0 ) = 0.零：不妨设z =证f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极大值,则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意( x, y) ( x0 , y0 )都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ),返回下一页上一页故当y =y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) 0时具有极值，当A 0 时有极

4、小值；（2） AC - B2 0时没有极值；（3）AC - B2= 0时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论返回下一页上一页求由方程x2 + y2 + z2 - 2 x + 2 y例 4- 4z - 10 = 0确定的函数z =f ( x, y) 的极值将方程两边分别对x, y 求偏导2 x + 2z zx - 2 - 4zx= 0解2 y + 2z z+ 2 - 4z= 0yy驻点为P(1,-1),由函数取极值的必要条件知,将上方程组再分别对x, y 求偏导数,返回下一页上一页11A = z|=B = zC = z|=|= 0,xxP2 - zxyPyyP2 - z1(2 - z)2故

5、B2 - AC = - 0,14f (1,-1) = -2为极小值；所以z =当z= 6时， A = - 1 0,24f (1,-1) = 6为极大值.所以z =返回下一页上一页求函数z =f ( x, y)极值的一般步骤：f y ( x, y) = 0fx ( x, y) = 0,第一步解方程组求出实数解，得驻点.对于每一个驻点( x0 , y0 )，求出二阶偏导数的值 A、B、C.定出AC - B2 的符号，再判定是否是极值.第二步第三步返回下一页上一页3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在

6、D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.返回下一页上一页求二元函数z =f ( x, y) = x 2 y(4 - x - y)例 5在直线x + y = 6，x 轴和y 轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.如图,解先求函数在D 内的驻点，yx + y = 6Dox返回下一页上一页D解方程组 f ( x, y) = 2 xy(4 - x - y) - x2 y = 0xf ( x, y) = x2 (4 - x - y) - x2 y = 0y且 f (2,1) = 4,得区域D 内唯一驻点(2,1) ,再求 f ( x, y)在D 边界上的最值，在边界x

7、 = 0和y = 0上 f ( x, y) = 0,返回下一页上一页在边界x + y = 6上，即y = 6 - xy于是 f ( x, y) = x2 (6 - x)(-2),x + y = 6Df = 4 x( x - 6) + 2 x2 = 0,由oxx得x1 = 0, x2 = 4y = 6 - x |x=4 = 2,f (4,2) = -64,比较后可知 f (2,1) = 4为最大值,f (4,2) = -64为最小值.返回下一页上一页求z = x + y的最大值和最小值.例 6+ y2 + 1x2= ( x+ y+ 1) - 2 x( x + y) =22解z0,由x( x2 +

8、 y2 + 1)2+ y2 + 1) - 2 y( x + y)( x2zy = 0,( x2 + y2 + 1)21111)和(-,-得驻点(,),2222返回下一页上一页因为lim x + y= 0+ y2 + 1x x2y即边界上的值为零.111111) =z(-,-) = -z(,22212212，最小值为-所以最大值为.22无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.返回下一页上一页三、条件极值拉格朗日乘数法实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 U( x, y) = ln x

9、 + ln y设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果U( x, y) = ln x + ln y在条问题的实质：求件 8x + 10 y = 200下的极值点返回下一页上一页条件极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法f ( x, y)在条件j ( x, y) = 0 下的要找函数z =可能极值点，先构造函数，其中l 为某一常数，可由解出x, y, l ，其中x, y 就是可能的极值点的坐标.返回下一页上一页 f x ( x, y) + lj x ( x, y) = 0, f( x, y) + lj( x, y) = 0,yyj ( x, y) = 0.F (

10、 x, y) =f ( x, y) + lj ( x, y)拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数u =f ( x, y, z, t )在条件j ( x, y, z, t ) = 0，y ( x, y, z, t ) = 0下的极值，先构造函数其中l1 , l2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出x, y, z, t ，即得极值点的坐标.返回下一页上一页F ( x, y, z, t ) =f ( x, y, z, t ) +l1j ( x, y, z, t ) + l2y ( x, y, z, t )将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得例 7u = x 3 y2

11、 z 为最大.令 F ( x, y, z) = x3 y2 z + l( x + y + z - 12),解yz + l = 0F=223 xx2 xyz + l = 0F=3y则F = x3 y2 + l = 0zx + y + z = 12解得唯一驻点(6,4,2)，= 63 42 2 = 6912.u故最大值为max返回下一页上一页x2 +y2 + z2= 1的例 8在第一卦限内作椭球面a2b2c2切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,x2y2z2令F ( x, y, z) =+- 1,a2b2c2= 2

12、y0 ，= 2z0= 2 x0 ，则F |F |F |xPyPzPa2b2c 2过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为返回下一页上一页x0 ( x - x) + y0( y - y) + z0 (z - z) = 0,000a2b2+c2x xy yz z+= 1,000化简为a2b2c2该切平面在三个轴上的截距各为x = a， y =,，y0z0x0a 2b2c 216所围四面体的体积 V=xyz =,6 x0 y0 z0返回下一页上一页x 2y2z 2在条件 0 + 0 += 1下求 V 的最小值, 0 c2a 2u = ln x0b2+ ln y0 + ln z0 ,令G(

13、x0 , y0 , z0 )222x y0 b2 z0 c2+ l (+- 1),= ln x+ ln y+ ln z 0 a2000GxGy= 0,= 0,G= 0z000,由2y2y2x+- 1 = 0 0 0 0 222abc返回下一页上一页 1+ 2lx0= 0 a x=a2x003b 1+ 2ly0= 0=y y，可得b2030 1即2lzc += 0z0 0c2 z302y22xz当切点坐标为+- 1 = 0 0 0 b2 0 c2 a2abc()时,，3333四面体的体积最小Vmin=abc .2返回下一页上一页四、小结 多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法返回下一页上一页二、多元函数的极值和最值xy观察二元函数 z = -的图形22ex + y返回下一页上一页二、多元函数的极值和最值xy观察二元函数 z = -的图形22ex + y返回下一页上一页二、多元函数的极值和最值xy观察二元函数 z = -的图形22ex + y返回下一页上一页二、多元函数的极值和最值xy观察二元函数 z = -的图形22ex + y返回下一页上一页二、多元函数的极值