初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型典中典专题复习(七)综合探究问题

1、专题复习（七）综合探究问题题型概述探索是一中重要的研究问题的方法，也是人们发现新知识的重要手段，非常有利于培养创新能力。探索型问题一般有从特殊到一般的探索和存在型探索型或者从实践中探索，复习时对这些呈现方式具有多样性、活泼性、猜想性、挑战性的探索性试题要多关注，多反思，多总结其解题经验，以增强自己的探究能力。题型例析类型1：实践性综合探索问题这类问题是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情景下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情景中对应知识来解决问题。【例题】（2015岳阳第23题10分）已知直线mn，点C是直线m上一点，点D是直线

2、n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点（1）操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： （2）猜想证明：在图的情况下，把直线l向上平移到如图的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图的情况下，把直线l绕点A旋转，使得APB=90（如图所示），若两平行线m、n之间的距离为2k求证：PAPB=kAB考点：几何变换综合题分析：（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可（

3、2）首先过C作CEn于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、PCA=PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出PACPBE，即可判断出PA=PB仍然成立（3）首先延长AP交直线n于点F，作AEBD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出AEFBPF，即可判断出AFBP=AEBF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PAPB=2kAB，所以PAPB=kAB，据此解答即可解答：（1）ln，BCBD，三角形CBD是直角三角形，又点P为线段CD的中点，PA=PB（2）把直线l向上平移到如图的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图，过C作CEn于点E，连接PE，三角形

4、CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，PD=PE，又点P为线段CD的中点，PC=PD，PC=PE；PD=PE，CDE=PEB，直线mn，CDE=PCA，PCA=PEB，又直线lm，ln，CEm，CEn，lCE，AC=BE，在PAC和PBE中，PACPBE，PA=PB（3）如图，延长AP交直线n于点F，作AEBD于点E，直线mn，AP=PF，APB=90，BPAF，又AP=PF，BF=AB；在AEF和BPF中，AEFBPF，AFBP=AEBF，AF=2PA，AE=2k，BF=AB，2PAPB=2kAB，PAPB=kAB故答案为：PA=PB点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推

5、理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握【变式练习】（2015浙江湖州，第23题10分）问题背景：已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点(1)初步尝试：如图1，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF

6、小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DGBC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.思路二：过点E作EMAC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)(2)类比探究：如图2，若在ABC中，ABC=90，ADH=BAC=30，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值.(3)延伸拓展：如图3，若在ABC中，AB=AC，ADH=BAC=36，记=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示 (直接写出结果，不必写解答过程).【答案】（

7、1）详见解析；（2）=2 ；(3) .【解析】试题分析：（1）（选择思路一）：过点D作DGBC，交AC于点G，如图1，易证ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GD=AD=CE，GH=AH,再由平行线的性质可得GDF=CEF, DGF=ECF,又因GD=AD=CE,根据“ASA”可证GDFCEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF，所以GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF. （选择思路二）：过点E作EMAC，交AC的延长线于点M，如图1，先证ADHCEM，由全等三角形的对应边相等可得AH=CM,DH=EM, 又因DHF=EMF=90, DFH=EFM,所以DFHEFM,即可得H

8、F=MF=CM+CF=AH+CF.（2）)过点D作DGBC，交AC于点G，如图2, 可证AD=GD, 由题意可知，AD=CE,所以GD=CE,再证GDFCEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,即可得=2.（3）过点D作DGBC，交AC于点G，如图3,可得AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以，又因DGBC，可得，所以由比例的性质可得，即,所以.试题解析：(1)证明：方法一（选择思路一），过点D作DGBC，交AC于点G，如图1，ABC是等边三角形，ADG=B=60, A=60,ADG是等边三角形，GD=AD=CE,DHAC,GH=AH,

9、DGBC, GDF=CEF, DGF=ECF,GDFCEF, GF=CF,GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF. (2)过点D作DGBC，交AC于点G，如图2, 则ADG=B=90,BAC=ADH=30,HGD=HDG=60,AH=GH=GD,AD=GD,由题意可知，AD=CE,GD=CE,DGBC, GDF=CEF,DGF=ECF,GDFCEF, GF=CF,GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,=2.(3) .考点：等边三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；平行线的性质；比例的性质.类型2：从特殊到一般的探索性问题这类问题往往结合几何图形的变化，从特殊到一般的探索性问题，

10、一般前几问是后面问题的铺垫，其解决方法也是后问的模板。【例题】（2015四川甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：AF=DE；AFDE成立试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论，是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，

11、若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论考点：四边形综合题.专题：综合题分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得ADFDCE（SAS），即可证得AF=DE，DAF=CDE，又由ADG+EDC=90，即可证得AFDE；（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得ADFDCE（SAS），即可证得AF=DE，E=F，又由ADG+EDC=90，即可证得AFDE；（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE

12、，PQ=MN=AF，MQDE，PQAF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AFDE即可证得四边形MNPQ是正方形解答：（1）上述结论，仍然成立，理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC，BCD=ADC=90，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AF=DE，DAF=CDE，ADG+EDC=90，ADG+DAF=90，AGD=90，即AFDE；（2）上述结论，仍然成立，理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC，BCD=ADC=90，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AF=DE，E=F，ADG+EDC=90，ADG+DAF=90，AGD=90，即AFDE；（3）

13、四边形MNPQ是正方形理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQDE，PQAF，四边形OHQG是平行四边形，AF=DE，MQ=PQ=PN=MN，四边形MNPQ是菱形，AFDE，AOD=90，HQG=AOD=90，四边形MNPQ是正方形点评：此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质注意证得ADFDCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关键【变式练习】（2015齐齐哈尔,第26题8分）如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF

14、中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DMFM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想考点： 四边形综合题分析： （1）连接DF，NF，由四边形ABCD和CGEF是正方形，得到ADBC，BCGE，于是得到ADGE，求得DAM=NEM，证得MADMEN，得出DM=MN，AD=

15、EN，推出MADMEN，证出DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；（2）连接DF，NF，由四边形ABCD是正方形，得到ADBC，由点E、B、C在同一条直线上，于是得到ADCN，求得DAM=NEM，证得MADMEN，得出DM=MN，AD=EN，推出MADMEN，证出DFN是等腰直角三角形，于是结论得到解答： 解：（1）如图2，DM=FM，DMFM，证明：连接DF，NF，四边形ABCD和CGEF是正方形，ADBC，BCGE，ADGE，DAM=NEM，M是AE的中点，AM=EM，在MAD与MEN中，MADMEN，DM=MN，AD=EN，AD=CD，CD=NE，CF=EF，DCF=DCB=90，在DC

16、F与NEF中，MADMEN，DF=NF，CFD=EFN，EFN+NFC=90，DFC+CFN=90，DFN=90，DMFM，DM=FM（2）猜想：DMFM，DM=FM，证明如下：如图3，连接DF，NF，连接DF，NF，四边形ABCD是正方形，ADBC，点E、B、C在同一条直线上，ADCN，ADN=MNE，在MAD与MEN中，MADMEN，DM=MN，AD=EN，AD=CD，CD=NE，CF=EF，DCF=90+45=135，NEF=18045=135，DCF=NEF，在DCF与NEF中，MADMEN，DF=NF，CFD=EFN，CFD+EFD=90，NFE+EFD=90，DFN=90，DMFM

17、，DM=FM点评： 本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题中的难点是辅助线的作法，作好辅助线找对解题的方向是本题解答的关键所在。类型3：以函数为载体的存在性探索问题存在性的问题的探求方法一般是先假设存在，再根据假设和已知条件推理，最后下结论，若假设成立，则存在，若假设不成立，则不存在。【例题】（2015葫芦岛）（第26题）如图，直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论

18、下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）首先根据直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，求出ac的值是多少，即可求出抛物线的解析式（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x， x2+x+3），则点M的坐标是（x， x+3），求出EM的值是多少；最

19、后根据三角形的面积的求法，求出SABC，进而判断出当BEC面积最大时，点E的坐标和BEC面积的最大值各是多少即可（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可解答：解：（1）直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，解得y=x2+x+3（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，设点E的坐标是（x，

20、x2+x+3），则点M的坐标是（x， x+3），EM=x2+x+3（x+3）=x2+x，SABC=SBEM+SMEC=（x2+x）4=x2+3x=（x2）2+3，当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，BEC的面积最大，最大面积是3（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如图2，由（2），可得点M的横坐标是2，点M在直线y=x+3上，点M的坐标是（2，），又点A的坐标是（2，0），AM=，AM所在的直线的斜率是：；y=x2+x+3的对称轴是x=1，设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+x+3），则解得或，x0，点P的坐标是（3，）如图3，由（2），

21、可得点M的横坐标是2，点M在直线y=x+3上，点M的坐标是（2，），又点A的坐标是（2，0），AM=，AM所在的直线的斜率是：；y=x2+x+3的对称轴是x=1，设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+x+3），则解得或，x0，点P的坐标是（5，）如图4，由（2），可得点M的横坐标是2，点M在直线y=x+3上，点M的坐标是（2，），又点A的坐标是（2，0），AM=，y=x2+x+3的对称轴是x=1，设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+x+3），则解得，点P的坐标是（1，）综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（3，

22、）、（5，）、（1，）点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力（2）此题还考查了函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握【变式练习】（2015贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点C（0，4）的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A（2，0），B两点（1）a 0，b24ac 0（填“”或“”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接A

23、C，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）根据抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，即可做出判断；（2）由抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式；（3）存在，理由为：假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CEx轴，交抛物线于点E，过点E作EFAC，交x轴于点F，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E，使得以A，

24、C，F，E为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E作EFAC交x轴于点F，则四边形ACFE即为满足条件的平行四边形，可得AC=EF，ACEF，如图2，过点E作EGx轴于点G，分别求出E坐标即可解答：解：（1）a0，b24ac0；（2）直线x=2是对称轴，A（2，0），B（6，0），点C（0，4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=，b=，c=4，抛物线的函数表达式为y=x2x4；（3）存在，理由为：（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CEx轴，交抛物线于点E，过点E作EFAC，交x轴于点F，如图1所示， 则四边形ACEF即为满

25、足条件的平行四边形，抛物线y=x2x4关于直线x=2对称，由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，又OC=4，E的纵坐标为4，存在点E（4，4）；（ii）假设在抛物线上还存在点E，使得以A，C，F，E为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E作EFAC交x轴于点F，则四边形ACFE即为满足条件的平行四边形，AC=EF，ACEF，如图2，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EFG，又COA=EGF=90，AC=EF，CAOEFG，EG=CO=4，点E的纵坐标是4，4=x2x4，解得：x1=2+2，x2=22，点E的坐标为（2+2，4），同理可得点E的坐标为（22，4）点评：此题属于二次函数综

26、合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键类型4：几何题中的存在性探索问题对于此类问题，一要根据数形结合熟练掌握相关定理来解题；二是要对掌握存在性问题的探求方法一般是先假设存在，再根据假设和已知条件推理，最后下结论，若假设成立，则存在，若假设不成立，则不存在。【例题】（2015，福建南平，25，分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形如图，已知ABC中，AB=BC，C=36，BA1平分ABC交AC于A1（1）证明：AB2=AA1AC；（2）探究：ABC是否为黄金等腰三角形？请

27、说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1AB交BC于B1，B1A2平分A1B1C交AC于A2，作A2B2AB交B2，B2A3平分A2B2C交AC于A3，作A3B3AB交BC于B3，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示An1An（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）考点：相似形综合题分析：（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出ABCAA1B，进而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可解答：（1）证

28、明：AC=BC，C=36，A=ABC=72，BA1平分ABC，ABA1=ABC=36，C=ABA1，又A=A，ABCAA1B，=，即AB2=AA1AC；（2）解：ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=ACAA1，设AC=1，AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，A1BC=C=36，A1B=A1C，AB=A1C，AA1=ACA1C=ACAB=1AB，AB2=1AB，设AB=x，即x2=1x，x2+x1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），AB=，又AC=1，=，ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=ACA1C=ACAB=aAB=aa=a，同

29、理可得：A1A2=A1CA1B1=ACAA1A1B1=aaA1C=aaaa=（）3a故An1An=a点评：此题主要考查了相似形综合以及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，得出AA1，A1A2的长是解题关键【变式练习】（2015济南,第27题9分）如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D（1）直接写出NDE的度数；（2）如图2、图3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况

30、加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若EAC=15，ACM=60，直线CM与AB交于G，BD= ，其他条件不变，求线段AM的长考点：几何变换综合题分析：分析（1）根据题意证明MACNBC即可；（2）与（1）的证明方法相似，证明MACNBC即可；（3）作GKBC于K，证明AM=AG，根据MACNBC，得到BDA=90，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案解答：（1）ACB=90，MCN=90，ACM=BCN，在MAC和NBC中，MACNBC，NBC=MAC=90，又ACB=90，EAC=90，NDE=90；（2）不变，在MACNBC中，MACNBC，N=AMC，又MFD

31、=NFC，MDF=FCN=90，即NDE=90；（3）作GKBC于K，EAC=15，BAD=30，ACM=60，GCB=30，AGC=ABC+GCB=75，AMG=75，AM=AG，MACNBC，MAC=NBC，BDA=BCA=90，BD=，AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，a+a=+1，a=1，KB=KG=1，BG=，AG=，AM=点评：本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用跟踪检测：1. （2015江苏泰州，第25题12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别

32、是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值2. （2015甘南州第28题 12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c，经过A（0，4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2x1|=5（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由3. （2015丹东，第2

33、5题12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与

34、PF的数量关系4. （2015内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，EDF=60，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF（1）继续旋转三角形纸片，当CEAF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x

35、为何值时，y有最小值，最小值是多少？5. （2015辽宁省朝阳,第25题12分）如图，已知经过点D（2，）的抛物线y=（x+1）（x3）（m为常数，且m0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C（1）填空：m的值为，点A的坐标为 ；（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使BAE=BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E；（3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；（4）t是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与ABD

36、相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由跟踪检测参考答案：1. （2015江苏泰州，第25题12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值考点：四边形综合题.分析：（1）由正方形的性质得出A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明AEHBFECGFDHG，得出EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出HEF=90，即可得出结

37、论；（2）连接AC、EG，交点为O；先证明AOECOG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8x）2=2（x4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形，A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG，在AEH、BFE、CGF和DHG中，AEHBFECGFDHG（SAS），EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，四边形EFGH是菱形，BEF+BFE=90，BEF+

38、AEH=90，HEF=90，四边形EFGH是正方形；（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如图所示：四边形ABCD是正方形，ABCD，OAE=OCG，在AOE和COG中，AOECOG（AAS），OA=OC，即O为AC的中点，正方形的对角线互相平分，O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8x）cm，根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8x）2，S=x2+（8x）2=2（x4）2+32，20，S有最小值，当x=4时，S的最小值=32，四边形E

39、FGH面积的最小值为32cm2点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果2. （2015甘南州第28题 12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c，经过A（0，4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2x1|=5（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的

40、坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）把A（0，4）代入可求c，运用两根关系及|x2x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可解答： 解：（1）抛物线y=x2+bx+c，经过点A（0，4），c=4又由题意可知，x1、x2是方程x2+bx4=0的两个根，x1+x2=b，x1

41、x2=6由已知得（x2x1）2=25又（x2x1）2=（x2+x1）24x1x2=b224b224=25解得b=，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=（2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又y=x2x4=（x+）2+，抛物线的顶点（，）即为所求的点D（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=3与抛物线y=x2x4的交点，当x=3时，y=（3）2（3）4=4，在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPO

42、H为正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上点评： 本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正3. （2015丹东，第25题12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶

43、点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系考点： 四边形综合题分析： （1）根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；（2）根据正方形的性质和旋转的性质证明FOAEOD，得到答案；作OGAB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；过点P作HPBD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系，根据解答结果总结规律得到当BD=mBP时，PE与PF的数量关系解答： 解：（1）PE=PF，理由：四边形ABCD为正方形，BAC=DAC，又PMAD、PNAB，PE

44、=PF；（2）成立，理由：AC、BD是正方形ABCD的对角线，OA=OD，FAO=EDO=45，AOD=90，DOE+AOE=90，MPN=90，FOA+AOE=90，FOA=DOE，在FOA和EOD中，FOAEOD，OE=OF，即PE=PF；作OGAB于G，DOM=15，AOF=15，则FOG=30，cosFOG=，OF=，又OE=OF，EF=；PE=2PF，证明：如图3，过点P作HPBD交AB于点H，则HPB为等腰直角三角形，HPD=90，HP=BP，BD=3BP，PD=2BP，PD=2 HP，又HPF+HPE=90，DPE+HPE=90，HPF=DPE，又BHP=EDP=45，PHFPD

45、E，=，即PE=2PF，由此规律可知，当BD=mBP时，PE=（m1）PF点评： 本题考查的是正方形的性质和旋转变换，掌握旋转变换的性质、找准对应关系正确运用三角形全等和相似的判定和性质定理是解题的关键，正确作出辅助线是解答本题的重点4. （2015内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，EDF=60，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF（1）继续旋转三角形纸片，当CEAF时，如图2小芳的结论是否成

46、立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？考点：几何变换综合题分析：（1）如答图1，连接BD根据题干条件首先证明ADF=BDE，然后证明ADFBDE（ASA），得DF=DE；（2）如答图2，连接BD根据题干条件首先证明ADF=BDE，然后证明ADFBDE（ASA），得DF=DE；（3）根据（2）中的ADFBDE得到：SADF=SBDE，AF=BE所以DEF的面积转化为：y=SBEF+SABD据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值解答：解：（1）DF=DE理由如下：如答图1，连接BD四边形ABCD是菱形，AD=AB又A=60，ABD是等