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文档简介
1、定理1.3.1 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。,1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换,一、矩阵的秩,例1.3.1 求矩阵 的秩,解 因为,故 秩 。,性质1.3.1,（1）秩(A)=0 当且仅当 A=0,(2) 秩,(3) 初 等 行 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩。,定义1.3.2 设 A 是 n 阶方阵。若秩(A)=n，则称 A 是满秩方阵；若秩(A)n，则称 A是降秩方阵,定理1.3.2 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。,二、矩阵的初等变换,(3) 把某一列所有元素的 k 倍加到另一列对 应元素上去.,(1) 对调两列.,称对矩阵A的下述变
2、换为初等列变换,矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,定义1.3.3 设 A和 B是两个同类型矩阵。若 A可通过有限次初等变换化为 B，则称 A相抵于 B，记为A B。,性质1.3.1 矩阵的相抵满足：,(1) 自反性：,(2) 对称性：,(3) 传递性：,一种关系如果同时具有自反性, 对称性和传递性,则称其是等价关系.,定理1.3.3 设A是mn矩阵，且秩(A)=r，则A相抵于下述矩阵,称其为A的相抵标准型。,r行,（A的相抵标准形是唯一的）,例 把下列矩阵用初等变换化为相抵标准型,解,则B即为A的相抵标准形,定义1.3.4 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初
3、等变换对应着三种初等方阵.,三、初等矩阵,定理1.3.4 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,性质1.3.2 （1）初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵；,(2) 任一初等矩阵 P，均存在初等矩阵 Q，使 PQ = QP = I。,定理1.3.5 满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。,推论 满秩方阵的乘积也是满秩方阵。,定理1.3.7 同型矩阵A与B相抵的充分必要条件是,秩(A)=秩(B)。,推论 矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩,定理1.3.6 设A与B是两个mn矩阵，则A相抵于B的充分必要条件是：存在m阶满秩矩阵P与n阶满秩矩阵Q，使PAQ=B。,定理1.3.8,（1）秩(A)=秩,（2） A是mn 矩阵，P 是m 阶满秩方阵，Q是n 阶满秩方阵，则,秩(A)=秩（PA）=秩（AQ）=秩（PAQ）,例 设A是45矩阵且秩(A)=3，求秩(BA), 这里,解,所以秩(B)=4. 由定理1.3.8(2)可知,例 对任一满秩方阵 P，均存在同阶的满秩方阵 Q，使 PQ =
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