第1课矩阵的初等变换.ppt

1、线 性 代 数,理学院 吕建聚 E-mail: Tel:线性代数课程简介,初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解,线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题,为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念,这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具,线性代数这门课程有两大作用,1、掌握几种重要的数学概念、方法,2、培养抽象思维能力、逻辑思维能力,参考资料,胡建华 ： 线性代数解题指导,考研复习资料(华中科技大、清华等）,同济大学线性代数及配套辅导书）,为表示它是一个 整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。,定义,实矩阵: 元素是实数,复矩阵： 元素是复数,例如：,是一个

2、实矩阵,是一个 复矩阵,(1) 11的矩阵就是一个数。,(2) 行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。,(3) 只有一行的矩阵,称为行矩阵或 n 维行向量。ai 称为A的第 i 个分量。,称为列矩阵或 m 维列向量。 ai 称为A的第 i 个分量。,(4) 只有一列的矩阵,(6) 矩阵,(约定未写出元素全为零),称为单位矩阵。,(7) 矩阵,称为对角矩阵。记作,定义,问： 与 相等吗？,称矩阵的下面三种变换为初等行变换,(1) 交换矩阵的某两行，记为,(2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为,类似定义三种初等列变换,以上六种变换统称为矩阵的初等变换,定义,矩阵的初等

3、变换举例,r2r4,c1c3,4r2,第i行的k倍加到第j行记为rj+kri。,r3-3r1,c3+c1,三种初等变换都是可逆的。,注：矩阵间的初等变换不能用等号,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,初等列变换也有类似的结果,初等变换的作用？,定义,行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简,形就是所谓的最简单的“代表”) 书P5 定义4,行阶梯形矩阵,行最简阶梯形矩阵,（1）台阶左下方元素全为零；,（2）每个台阶上只有一行；,（3）每个台阶上第一个元素不为零。,行阶梯形矩阵：,行最简阶梯形,(1)(2)(3) + (4)台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。,(等价关

4、系),定义,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作 。,等价满足： 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：,3 解线性方程组的消元法,讨论有n个未知数m个方程的线性方程组, 是否有解？, 若有解，解是否唯一？, 如何求出所有的解？,若B=(b1, b2, bm)TO，则称(1)为非齐次线性方程组,若B=(b1, b2,， bm)TO，即：,则称(2)为(1)对应的齐次线性方程组（或(1)的导出组）,系数矩阵,增广矩阵,解线性方程组,下列三种变换称为方程组的三种,同解变换：,（1）两个方程互换位置；,（2）用一个非零数 k 乘某个方程；,（3）某个方程的常数倍加到

5、另一个方程上去。,解线性方程组,解,互换(1)与(2)的位置得,(2)-(1)2, (3)-(1)4,(3)-(2),(3) (-1/2),(2) (-1/3),(1)-(3)2，(2)+(3)2,所以，消元法,增广矩阵的初等行变换,消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，,回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。,(1) (2),原方程组的解为：,解线性方程组,解：增广矩阵,即,则原方程组的解为,有何特点？,解：,同解方程组最后一个方程0= -2是矛盾方程，,所以方程组无解。,特点,求解齐次线性方程组,解,对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形:,写出等价方程组并移项:,有何特点？,令,写出

6、参数形式的通解,通解,我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，书P12-15，我们将在后面的章节中学习。,线性方程组有解的理论总结,线性方程组进行初等行变换,同解方程组为：,（1.3）,其中,方程组中方程“0=0”表示恒等式。,由方程组（1.3）可以看出：,（1）当,时，方程组（1.3）无解，,从而原方程组（1.1）无解；,（2）当,时，方程组（1.3）有解，,故方程组（1.1）也有解，并且此时,1）当r = n 时，方程组（1.3）为：,由于,，由“回代过程”知此方程组有唯一解，,故方程组（1.1）有唯一解。,2）当 r n 时，方程组（1.1）有无穷多解，,(1.4),称,为自由未知量，,一组值，,给定自由未知量,代入（1.