第1-2章 逻辑代数基础.ppt

1、数字电路,山东师范大学物电学院 秦绍华,数字电路,本课程的主要内容： 组合电路、时序电路 本课程的主要任务： 分析电路和设计电路,第一章 数制和码制,1.1概述,1. 基本概念 电信号：指随时间变化的电压和电流。 模拟信号：在时间和幅值上都为连续的信号。 数字信号：在时间和幅值上都为离散的信号。 模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。 数字电路：处理和传输数字信号的电路。,模拟信号： 时间上连续：任意时刻有一个相对的值。 数值上连续：可以是在一定范围内的任意值。 例如：电压、电流、温度、声音等。 真实的世界是模拟的。 缺点：很难度量； 容易受噪声的干扰； 难以保存。 优点：用精确的值表示事物。,

2、模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。 三极管工作在线性放大区。,数字信号： 时间上离散：只在某些时刻有定义。 数值上离散：变量只能是有限集合的一个值，常用0、1二进制数表示。 例如：开关通断、电压高低、电流有无。,数字化时代： 音乐：CD、MP3 电影：MPEG、RM、DVD 数字电视 数字照相机 数字摄影机 手机,数字电路：处理和传输数字信号的电路。 三极管工作在开关状态，即饱和区或截止区。,模拟量,数字量,模拟量和数字量的联系,典型数字控制系统框图,2. 数字电路特点（与模拟电路相比）,（1）数字电路的基本工作信号是用1和0表示的二进制的数字信号，反映在电路上就是高电平和低电平。 （2）晶

3、体管处于开关工作状态，抗干扰能力强、精度高。 （3）通用性强。结构简单、容易制造，便于集成及系列化生产。 （4）具有“逻辑思维”能力。数字电路能对输入的数字信号进行各种算术运算和逻辑运算、逻辑判断，故又称为数字逻辑电路。,3 数字电路的分类和学习方法,1. 数字电路的分类 （1）按电路结构分类 组合逻辑电路：电路的输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路原来的状态无关。 时序逻辑电路：电路的输出信号不仅与当时的输入信号有关，而且还与电路原来的状态有关。,（2）按集成电路规模分类 集成度：每块集成电路芯片中包含的元器件数目 小规模集成电路(Small Scale IC，SSI) 中规模集成电路(

4、Medium Scale IC，MSI) 大规模集成电路(Large Scale IC，LSI) 超大规模集成电路(Very Large Scale IC，VLSI) 特大规模集成电路(Ultra Large Scale IC，ULSI) 巨大规模集成电路(Gigantic Scale IC，GSI）,2. 数字电路的学习方法,（1）逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具，应熟练掌握。 （2）重点掌握各种常用数字逻辑电路器件的逻辑功能、外部特性及典型应用。对其内部电路结构和工作原理不必过于深究。 （3）掌握基本的分析方法和设计方法。 （4）本课程实践性很强。应重视习题、基础实验和综合实训等实践

5、性环节。 （5）注意培养和提高查阅有关技术资料和数字集成电路产品手册的能力。,1.2 数制,1、十进制，每位有09十个数码 基数为十，逢十进一 143.75 =1102+4101+3100+710-1 +510-2 任意一个十进制数D均可展开为,任意一个N进制数D可展开为,N称为基数， Ki称为第i位的系数， Ni称为第i位的权,数制,1. 十进制,数字符号（系数）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 计数规则：逢十进一 基数：10 权：10的幂,例：（1999）10 =（1103+9102+9101+9100）10,数码：由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。 计数制（简称数制

6、）：多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则。,2. 二进制,数字符号：0、1 计数规则：逢二进一 基数：2 权：2的幂,例：（101.11）2 = （122+021+120+12-1+12-2）10 =（4+0+1+0.5+0.25）10 =（5.75）10,数值越大，位数越多，读写不方便，容易出错！,3. 八进制,数字符号：07 计数规则：逢八进一 基数：8 权：8的幂,例： （127）8=（182+281+780）10 =（64+16+7）10 =（87）10,4. 十六进制,数字符号：09、A、B、C、D、E、F 计数规则：逢十六进一 基数：16 权：16的幂,例： （2

7、A.7F）16=（2161+10160 +716-1+1516-2 ）10 =（42.4960937）10,1.3 数制转换,1. 二进制数转换成十进制 各位展开，按权相加。,例：（1011.01）2 = （123+022+121+120+02-1+12-2）10 =（8+0+2+1+0+0.25）10 =（11.25）10,2. 十进制数转换成二进制,例：（1011.01）2 = （123+022+121+120+02-1+12-2）10 =（11.25）10,11= 123+022+121+120 = 2 （ 122+021+120）+1,S= kn2n+ kn-12n-1+ k121+

8、k020 = 2 （ kn2n-1+ kn2n-2+ k120）+ k0,整数部分的转换,2. 十进制数转换成二进制 整数部分的转换：除2取余法。,例：求（217）10 =（）2 解： 2217 余1 b0 2108 余0 b1 254 余0 b2 227 余1 b3 213 余1 b4 26 余0 b5 23 余1 b6 21 余1 b7 0,（217）10 =（11011001）2,S= k-12-1-+ k-22-2+ k-m2-m 2 S = k-1 + （ k-22-1+ + k-m2-m+1）,小数部分的转换,例：求（0.3125）10 =（ ）2 解： 0.3125 2 = 0.

9、625 整数为0 b- 1 0.625 2 = 1.25 整数为1 b- 2 0.25 2 = 0. 5 整数为0 b- 3 0. 5 2 = 1.0 整数为1 b- 4,说明：有时可能无法得到0的结果，这时应根据转换精度的要求适当取一定位数。,小数部分的转换：乘2取整法。,（0.3125）10 =（0.0101）2,3. 二进制与八进制、十六进制之间的转换,3. 二进制与八进制、十六进制之间的转换,（1）二进制与八进制之间的转换 三位二进制数对应一位八进制数。,（101011100101）2 =（101，011，100，101）2 =（5345）8,（6574）8 =（110，101，111

10、，100）2 =（110101111100）2,（2）二进制与十六进制之间的转换,例如： （9A7E）16 =（1001 1010 0111 1110）2 =（1001101001111110）2,四位二进制数对应一位十六进制数。,（10111010110）2 =（0101 1101 0110）2 =（5D6）16,表1-1 几种计数进制数的对照表,1.3 码 制,数码表示不同的事物，称为代码， 没有数量的概念 代码的编写规则成为码制,BCD码：用一个四位二进制代码表示一位十进制数字的编码方法。,1. 二十进制编码（BCD码）,表1-2 几种常用的BCD码,（1）8421码,选取0000100

11、1表示十进制数09。 按自然顺序的二进制数表示所对应的十进制数字。 是有权码，从高位到低位的权依次为8、4、2、1，故称为8421码。 10101111等六种状态是不用的，称为禁用码。,例： （1985）10 =（0001 1001 1000 0101）8421BCD,（2）5421码,（3）余3码,选取00000100和10001100这十种状态。 01010111和11011111等六种状态为禁用码。 是有权码，从高位到低位的权值依次为5、4、2、1。,选取00111100这十种状态。 与8421码相比，对应相同十进制数均要多3（0011），故称余3码。不是恒权码,（2）奇偶校验码,具有检

12、错能力，能发现奇数个代码位同时出错的情况。,构成：信息位(可以是任一种二进制代码)及一位校验位。 校验位数码的编码方式： “奇校验”时，使校验位和信息位所组成的每组代码中含有奇数个1； “偶校验”时，使校验位和信息位所组成的每组代码中含有偶数个1。,表1-4 奇偶校验码（以8421BCD码为例）,3、格雷码,特点：1.每一位的状态变化都按一定的顺序循环。 2.编码顺序依次变化，按表中顺序变化时， 相邻代码只有一 位改变状态。 应用：减少过渡噪声,（4）字符码,字符码：专门用来处理数字、字母及各种符号的二进制代码。 最常用的：美国标准信息交换码ASCII码。 用7位二进制数码来表示字符。 可以表

13、示27128个字符。,表1-5 美国标准信息交换码（ASCII码）,1.4二进制运算,二进制数码0、1不仅可以表示数量的大小，而且可以表示两种不同的逻辑状态 当二进制数码表示数量的大小时，进行的运算称为算术运算 当二进制数码表示不同的逻辑状态时，进行的运算称为逻辑运算,算术运算,逢二进一,加法运算 1001 + 0101 1110,减法运算 1001 - 0101 0100,乘法运算,1001 X 0101 1001 0000 1001 0000 0101101,除法运算,1001 0101 1000 0101 0110 0101 0010,1.11.,原码,最高位为符号位：正数为0，负数为1

14、以下为数值位 （0 1011001）2=（+89）10 （1 1011001）2=（-89）10,补码,最高位为符号位：正数为0，负数为1 正数的补码和它的原码相同 负数的补码是将原码的数值位逐位求反，然后在最低位上加1得到 （+89）10 =（0 1011001）2= （0 1011001）2 （-89）10 =（1 1011001）2= （1 0100111）2,补码,为了简化运算电路，将减法用补码的加法完成 例1.1.1 1001-0101=0100 1001-0101=1001+（-0101） =0 1001+1 1011 =1 0 0100 =0100,10 5 = 5 10 + 7

15、 12= 5 （舍弃进位） 7+5=12 产生进位的模 7是-5对模数12的补码,1011 0111 = 0100 （11 - 7 = 4） 1011 + 1001 = 10100 =0100（舍弃进位） （11 + 916 = 4） 0111 + 1001 =24 0111是- 1001对模24 （16） 的补码,作业,1.4 1.9 1.10,2.1 逻辑代数的基本运算,逻辑：一定的因果关系。 逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治布尔(George Boole)于1849年提出的,所以又称为布尔代数。 逻辑代数有其自身独立的规律和

16、运算法则，不同于普通代数。逻辑代数依然用字母表示变量，取值范围仅为“0”和“1”，且无大小、正负之分，不是表示数量而是代表不同的逻辑状态。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。 逻辑代数中有三种基本运算:与、或、非,1. 三种基本逻辑运算,（1）与运算,当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。,表1-6与逻辑的真值表,A、B全1，Y才为1。,串联开关电路功能表,图1-1 (a)串联开关电路,设定逻辑变量并状态赋值： 逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态； 1闭合，0断开； 逻辑函数：Y，对应灯的状态， 1灯亮，0灯灭。,图1-1(b) 与逻辑的逻辑符

17、号,逻辑表达式： YA BAB 符号“”读作“与”（或读作“逻辑乘”）； 在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。,实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图1-1(b)所示，符号“ 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。,3. 逻辑表达式,逻辑表达式Y=A（B+C）,4. 逻辑图,逻辑表达式Y=A（B+C）,5. 波形图,逻辑函数的输入值与对应的输出值按时间顺序排列 起来，得到的图形称为波形图,5、各种表示方法的互相转换,由真值表写出逻辑表达式,A=0，B=1，C=1 乘积项 ABC=1,逻辑表达式 Y=ABC+ABC+ABC,

18、A=1，B=0，C=1 乘积项 ABC=1,A=1，B=1，C=0 乘积项 ABC=1,由真值表写出逻辑表达式的方法为： 找出使输出为1的输入变量取值组合； 每个组合中输入变量取值为1用原变量表示，取值为0的用反变量表示，则可写成一个乘积项； 将乘积项相加即得。,Y=ABC+ABC+ABC,从逻辑式列出真值表,逻辑表达式 Y=ABC+ABC+ABC,将输入变量的各种取值逐一 代入逻辑式，计算出Y的值， 将计算结果列表即可,从逻辑式画出逻辑图,逻辑表达式,用图形符号代替逻辑式中的运算符号， 即可画出逻辑图,从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式即可,从逻辑图列出逻辑式,从波形图列出真值

19、表,从真值表画出波形图,1.5.3逻辑函数的两种标准形式,1最小项,在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项， 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现 一次，则称m为该组变量的最小项,3 变量共有 8 个最小项,1最小项 的取值,（2）最小项的性质,在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1； 全体最小项之和为1； 任意两个最小项的乘积为0。 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。,若两个最小项只有一个因子不同， 则称这两个最小项具有相邻性,全体最小项之和为1； 任意两个最小项的乘积为0,最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项的编

20、号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。,表1-18 三变量最小项的编号表,最大项的定义:在n变量逻辑函数中，若M为n个变量和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。,(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C),2、最大项,（2）最大项的性质,在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0； 全体最大项之积为0； 任意两个最大项之和为1。 只有一个变量不同的两个最大项的

21、乘积等于各相同变量之和 （A+B+C）(A+B+C)=A+B,最大项也可用“Mi” 表示，下标“i”即最大项的编号。编号方法：把最大项取值为0所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最大项的编号。,最大项等于相应最小项的非,3、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。,例1-7将Y=ABC+BC展开成最小项表达式。,解：,或：,4、最大项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最大项之积的形式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最大项表达式。,最大项表达式与最小项

22、表达式关系,例1-7将Y=ABC+BC展开成最大项表达式。,解：,1.6 逻辑函数的公式化简法,1.6.1 逻辑函数的最简形式,上式称为与或逻辑式， 在与或逻辑式中，若包含的乘积项最少，而且每个 乘积项的因子最少时，称为最简与或逻辑式,由与或式可以化成其他形式，但结果不一定最简,例1.6.1,化成与非-与非的形式,1.6.2. 公式化简法,反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算规则进行化简，又称为代数化简法。 必须依赖于对公式和规则的熟练记忆和一定的经验、技巧。,例1-1 化简函数,解：,例化简函数,解：,（2）吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。,例1-2 化简函数,解：,

23、例化简函数,解：,例1-3 化简函数,解：,（3）消项法 利用公式 进行化简。,例1-4 化简函数,解：,例化简函数,解：,例1-5 化简函数,解：,（5）配项法 在适当的项配上A+A=A进行化简。,例1-5 化简函数,解：,下面举一个综合运用的例子。,解：,公式化简法评价： 特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。 优点：变量个数不受限制。 缺点：结果是否最简有时不易判断。,与公式化简法优缺点正好互补的卡诺图化简法。当变量个数超过4时人工进行卡诺图化简较困难，但它是一套完整的方法，只要按照相应的方法就能以最快的速度得到最简结果。,

24、1.7 逻辑函数的卡诺图化简法,公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。,利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。 卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。,1.7.1逻辑函数的卡诺图表示法,1、表示最小项的卡诺图,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图,5变量最小项的卡诺图,把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。

25、,例1.7.1 画出函数 的卡诺图。,2. 用卡诺图表示逻辑函数,由卡诺图到逻辑函数式,1.7.2用卡诺图化简逻辑函数式,（1）卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量； 合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。 合并2N个最小项，可消去N个变量。,（2）利用卡诺图化简逻辑函数,A基本步骤： 将函数化为最小项之和的形式； 画出表示该逻辑函数的卡诺图； 找出可以合并的最小项。 关键是能否找出最小项 。,B选取乘积项的原则 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项 所用乘积项数目最小； 每个乘积项包含的因子最少。,例1.7.3 用卡诺图化简逻辑函数,例1.7.4 用卡诺图化简逻辑函数,例1-11 化简图示逻辑函数。 解：,多余的圈,可以通过合并卡诺图中的0，先求出Y的化简结果， 再将Y求反，得到Y,5. 具有无关项的逻辑函数及其化简, 约束项