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文档简介
1、高等数学,主讲:袁 源,第四章 微分中值定理与导数的应用,本章将进一步研究构成微分学理论基础的、反映导数更深刻性质的微分中值定理,它用导数作为工具研究函数并对其图像做细致的分析研究 微分中值定理由特例到一般,可分为三种情况,分别用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理来描述。,,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,推广,特殊,推广,特殊,特殊,推广,第一节 微分中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,定理:设函数 满足: (1) 在闭区间上连续, (2) 在开区间内可导, (3) , 则至少存在一点 ,使得 。,注意Rolle定理与第二章的零点定理有何区别?,例如,例:,理
2、解:(1)条件缺少其一,结论可能不成立,(3)定理条件时充分的,但不是必要的。,几何解释:,解:先说明该函数在该区间上满足罗尔定理的条件: 再求出满足罗尔定理结论的值,从而验证罗尔定理:,例1 验证函数 在区间 上满足罗尔定理, 并求 值。,(2)根的唯一性,例2 试证:方程 有且仅有一个实根。,证明:构造函数 ,证明分两步完成:,(1) 根的存在性,对两个以上的根有同样的结论。综合(1)、(2)即证。,(反证法),思考在上述证明中,闭区间为什么取为0, 1呢? 可以有其它取法吗?,【说明】零点定理的闭区间取法不是唯一的,例如也 可以取为0, 2或 0, 3等,但不能取为 0, 0.5,换句
3、话说,零点定理中闭区间的取法按满足 “两个端点的 函数值异号”来选取。,定理:设函数 满足: (1) 在闭区间上连续, (2) 在开区间内可导, 则至少存在一点 ,使得 。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,【补充】Lagrange中值定理的结论也可以表达为: 其中, ,称为有限增量公式。,【说明】Lagrange中值定理的重要意义在于建立了函数与导数 之间的桥梁,从而为利用导数研究函数及曲线形态创造了条件。 Lagrange公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,几何解释:,*【如何证明】构造函数,利用Rolle定理 构造的函数既要符合Roll
4、e定理的条件,又可应用Rolle定理导出Lagrange中值定理。,对 利用Rolle定理,就可以导出Lagrange中值定理。,在x=1处,例1:验证Lagrange中值定理对函数 在0,2上的正确性,解:在0,1)和(1,2上, 是连续函数,在0,2上, 连续,在(0,1)内,,,在(1,2)内,,在x=1处,,找 使,当 时,,当 时,,均满足定理要求,推论1:若函数 在区间I上有 ,则,推论2:设函数 在区间I内每一点导数有 则 在I内相差一个常数。,即:,三、柯西(Cauchy) 中值定理,Cauchy中值定理: 设 满足, (1)在 上连续, (2)在 内可导,且 则存在 , 使得
5、 。,几何解释:,引入辅助函数,利用拉格朗日中值定理证明,例1 设 在 上可微, 证明:,证明 令 ,在 上连续, 在 内可导,,又 在 上可微,则在 上连续,,满足柯西中值定理条件,所以,练习,1 证明,2 已知 且 证明:,3 证明,1 证明,证明:令,2 已知 且 证明:,证明:令,3 证明,证明:令 在 满足拉格朗日中值定理条件 且,定义,例如,第二节 罗必塔法则,一、罗必塔法则,(1)设 , ,若 则 (2)设 , ,若 则,说明:,(1)如果无法判断 的极限状态,法则失效。,(2)导数比的极限不存在,并不等于函数比的极限 不存在,只是不能用罗必塔法则而已。,(3)如果 仍然满足定理
6、的条件,可继续 使用罗必塔法则。,(1),(2),例1 求下列极限,解:,(3),(3)原式,(1),(2),例2 求下列极限,解:,极限不存在,法则失效,但:原式,(2),(1),(2),练习:,解:,注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好.,二、其他未定式,小结,【思考】:在中学数学里,我们是怎样判断函数单调性呢?,第三节 函数的单调性与极值,例 讨论函数 在 内的单调性,方法1:根据函数单调增加和单调减少的定义 任取 ,不妨设 。我们来考察 函数在这两点处的函数值之差 是正数还是负数。因 可以是正数也可以是负数, , (由 的单调增加性),所以难于
7、 判断是 还是,思考:究竟要用怎样的方法才能解决这样复杂 的问题呢?,定理,一、函数的单调性,定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论仍然成立,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例3 确定函数 的单调区间,例2 确定函数 的单调区间,解:,解:,导数等于零的点或不可导点可能是单调区间的分界点,如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外, 导数存在且连续,那么只要用方程 的根及导数不存在 的点来划分 的定义区间,就能保证 在各个区间保持 固定符号,因而函数 在每个区间上单调。,解引例:,所
8、以 在 上单调增,二、函数的极值及其求法,理解:,区间端点不是极值点.因为不存在 .,函数的极值具有局部性.函数的极大值(极小值)是 函数的局部的最大值(最小值).,函数可有多个极值(这就是定义中我们强调“一个”的原 因),且极小值可比极大值大.,单调函数无极值.,极值点是函数增、减的交界点,所以函数取得极值处,曲线上的切线平行于 轴,即函数在该点的导数为0,但曲线上又水平切线的地方,函数不一定取得极值.,如何确定一个函数的极值?,定理1(必要条件)若函数 在点 可导,且 为极 值点,则,问题,(驻点和导数不存在的点为临界点或稳定点 ),注:函数的极值点一定是临界点,但临界点不一定是极 值点,
9、不存在,但在 处无极值,不存在,但 是极值,问题:如何判断函数的导数为零或者导数不存在的点 中哪些点是极值点?是极大值点还是极小值点呢?,注意: 1 第一判别法是充分条件,非必要条件 例如 是极大值,但在其两侧邻域可能非单调,2 函数的临界点是不是极值点,关键在于该点两侧函数的一阶导数是否变号,若变号则是极值点,不变号则是临界点,例1,讨论 的极值,解:定义域为,令 有 , 而 时 不存在,例2,讨论 的单调区间和极值点,解:,临界点有,1 求 的定义域,2 求 ,并求出临界点,3 考察临界点左、右邻近导数的符号,判断临界点是 否为极值点,是极大值还是极小值。,4 求出极值,求极值的步骤,(极
10、值判别法之二)设 , .且存在 (1)若 , 为 的一个极大值。 (2)若 , 为 的一个极小值。,定理3,理解:,1 在驻点处 ,则该驻点一定是极值点,并根据 的符号判断是极大值还是极小值。,2 对导数不存在的点,该定理不适用,3 对 ,该定理不能用,这时 可能有极值,也 可能无极值,可用第一判别法进行判断。,例1,求 的极值,解:,令 有,是极大值,是极小值,例2,求 的极值,解:,令 有,只能用第一判别法,是极小值,(2)由 得 ,又,(2) 的所有极值,并判别是极大值,还是极小值?,例3 设 在 处取得极值 , 求(1)常数,(1)由题意知,,解:,是极小值,,是极大值,例4设 满足
11、,求 的极值.,解:由 得,临界点:,取得极大值:,取得极小值:,第五节 最大值、最小值问题,前面,我们利用导数研究了函数的单调性、 函数的极值.在生产实践、科学技术及研究实验 中,常常会遇到这样一类问题:在一定条件下, 怎样用料最省、投资最小、污染最小,效益最好、 功率最大等问题.这类问题在数学上有时可归结 为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或 最小值问题.,最大值与最小值,1.区间端点可以是最值点(如单调函数),但一定不是极值点,3.函数的最值唯一,最小值一定不大于最大值,而函数可有 多个极值,且极小值可比极大值大,首先,明确 上连续函数 的最大值、 最小值与极大 值、极小值的区别:
12、,1 求 在(a,b)内的临界点,求最值的方法,2 比较 ,其中最大的 即为最大 值,最小的 即为最小值,3 特殊地: 在a,b内单调增, 最小, 最大,在a,b内单调减, 最小, 最大,在(a,b)只有唯一的极大值,则为最大值,在(a,b)只有唯一的极小值,则为最小值,解:,例1,设 , 得,例2,解:,设 是 在0,1上的最大值,求,所以 是唯一的极值,且为极小值,也即最小值,例3,证明:,第六节 曲线的凹向、拐点与函数作图,一、曲线的凹向,如果在某区间内,曲线位于其上任一点切线的上方,称曲线上凹(凹),如果在某区间内,曲线位于其上任一点切线的下方,称曲线下凹(凸),【定义1】,曲线的凹凸
13、性就是曲线的弯曲方向,如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义2 设 在区间 上连续,如果对 上的任意两点, 恒有 则称曲线 在区间 是向上凹的(向下凹的)。,问题:如何判断函数的凹向?,用定义可以判定,但常常不易、复杂 2 用导数的符号来判定,是有效的方法,判别2:如果 在(a,b)内具有二阶导数,则,1),上凹(凹),2),下凹(凸),例,解,注意到,二.曲线的拐点及其求法,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,理解:1 在拐点附近左右两侧, 异号,2 在拐点处, 或不存在 使 不存在的点是可能的拐点,判定曲线凹向和拐点的方法:,例1 求曲线 的凹向和拐点,解:,例2 求曲线 的凹向和拐点,解:,例3,解 :,例4,(1999年考研题),证明:,利用凹凸性证明不等式,例5,提示:,二、函数图形的描绘,(一)渐近线,1 水平渐近线,如果 ,则 是 的水平渐近线,2 垂直渐近线,如果 ,则 是 的垂直渐近线 C不只一个时,有多条垂直渐近线,c一般是区间的端点或使 分母为0的点,不存在,无渐近线,不相等,有两条渐近线,(1) 不存在或为0,无斜渐近线,3 斜渐近线,如果 ,则
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