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文档简介

2 矩阵的秩,定义 7,我们已经知道,对于一个n阶矩阵A来说,其行列式|A|是否为零,成为判断A是否可逆的重要条件.对于任一个 矩阵 来说，也可以利用行列式理论来探讨 的内在特性,这就是矩阵的秩的概念.,显然，n阶方阵只有一个n阶子式，即为该方阵的行列式。,一般地， 矩阵A的k阶子式共有 个。下面给出矩阵A的秩的概念。,定义 8,矩阵A的所有不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作R(A),并归定 R(O)=0.,如果n阶方阵A的秩等于n，则称A为满秩矩阵，否则称A为降秩矩阵。如果 矩阵A的秩R(A)=n,则称矩阵A为列满秩矩阵；如果 矩阵 的秩为m，则称矩阵A为行满秩矩阵。,例如对于矩阵,所以矩阵A的秩R(A)=3,由矩阵的秩概念可得,定理 3,由定义8知:,例,解,定理 4,证,经过一次初等行变换,矩阵的秩不变,经若干次初等行变换,矩阵的秩当然还不会变,推论 初等列变换也不改变矩阵的秩 证 设A经初等列变换化成了矩阵B,则有,例,解 可把A化成阶梯型,也可作如下初等变换,推论,定理 5,推论 同型矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B).,推论,R(A) = 2.,解,例 设A为n阶矩阵(n2),证明,证 若R(A)=n:, R(A) n-1:,detA0，,A中所有n-1阶子式均为零，,例 证明,证,存在

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