多元函数积分方法技巧

1、.多元函数积分方法技巧摘要：对于不同的背景，如讨论一般形状的物体的体积、质量、重心等问题的时候我们一般就要运用多元积分的内容。多元函数有各种不同的概念，因而多元函数积分学具有十分丰富的内容，其中最重要的还是多元函数积分的计算方法。关键词：多元函数 积分技巧提到积分，首先想到的应该就是二重积分了。这类积分实际上是通过计算曲顶柱体的体积来引出的。若f(x,y)=1则f(x,y)d=a(d),即积分区域的面积。计算方法如下：1、二次积分在直角坐标系两种不同次序积分：一是先积y后积x的累次积分，即：若在矩形区域上可积，且对每个，积分其存在，则累次积分也存在，且：其二是先积后积的累次积分，即：若在矩形区

2、域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且：2、二次积分在极坐标系下的积分： 当一些二重积分的积分区域用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑其计算问题.精品.例如:等.用极坐标计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域的草图; (2)将转化为,根据积分区域的草图确定和的积分范围; (3)将转化为二次定积分,并计算得出结果.三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投

3、影域d。多d上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域d上的二重积分，完成“后二”这一步。如果先做二重积分再做定积分，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面之间，即，过z作平行于xoy面的平面截，截面。区域的边界曲面都是z的函数。计算区域上的二重积分，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。精品.当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且的面积容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得

4、投影区域d(平面)：（1）d是x型或y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）；（2）d是圆域（或其部分），且被积函数形如时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如时，可选择球面坐标系计算计算积分应该注意以下几点: 首先,选择坐标系.先要考虑积分区域的形状,看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单,其次要看被积函数的特点,看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： 是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算。因而中只要, 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。精品.2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，