概率论知识点总结69873

1、.概率论总结 目 录一、 前五章总结第一章 随机事件和概率 1第二章 随机变量及其分布.5第三章 多维随机变量及其分布10第四章 随机变量的数字特征13第五章 极限定理.18二、 学习概率论这门课的心得体会20 一、前五章总结第一章 随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用e表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为s或。2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或

2、. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用s或表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集精品.一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。3、定义：事件的包含与相等 若事件a发生必然导致事件b发生，则称b包含a，记为ba或ab。 若ab且ab则称事件a与事件b相等，记为ab。定义：和事件“事件a与事件b至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件a与事件b的和事件。记为ab。 用集合表示为: ab=e|ea，或eb。定义：积事件 称事件“事件a与事件b都发生”为a与b的积事件，记为ab或ab，用集合表示为a

3、b=e|ea且eb。定义：差事件称“事件a发生而事件b不发生,这一事件为事件a与事件b的差事件,记为ab,用集合表示为 a-b=e|ea，eb 。定义：互不相容事件或互斥事件 如果a，b两事件不能同时发生，即ab ，则称事件a与事件b是互不相容事件或互斥事件。定义6：逆事件/对立事件 称事件“a不发生”为事件a的逆事件，记为 。a与满足：a= s,且a=。运算律： 设a，b，c为事件，则有（1）交换律：ab=ba，ab=ba （2）结合律：a(bc)=(ab)c=abc a(bc)=(ab)c=abc 精品.（3）分配律：a(bc)(ab)(ac) a(bc)(ab)(ac)= abac（4）

4、德摩根律：小结：事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆； 四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。第二节：1、 设试验e是古典概型, 其样本空间s由n个样本点组成 , 事件a由k个样本点组成 . 则定义事件a的概率为：p(a)k/na包含的样本点数/s中的样本点数。2、 几何概率：设事件a是s的某个区域，它的面积为 (a)，则向区域s上随机投掷一点，该点落在区域a的概率为：p（a）=（a）/（s） 假如样本空间s可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向s上随机投掷一点的含义如前述，则事件a的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理

5、解为长度或体积即可.概率的性质：（1）p(f)=0,（2）（3）精品.（4） 若ab，则p(b-a)=p(b)-p(a), p(b) p(a).第四节：条件概率：在事件b发生的条件下，事件a发生的概率称为a对b的条件概率，记作p(a|b). 而条件概率p(a|b)是在原条件下又添加“b发生”这个条件时a发生的可能性大小，即p(a|b)仍是概率.乘法公式： 若p(b)0,则p(ab)=p(b)p(a|b) p(a)0,则p(ab)=p(a)p(b|a)全概率公式：设a1,a2,an是试验e的样本空间的一个划分，且p(ai)0，i =1,2,n, b是任一事件, 则 贝叶斯公式：设a1,a2,an

6、是试验e的样本空间的一个划分，且p(ai)0，i =1,2,n, b是任一事件且p(b)0, 则 第五节 ：若两事件a、b满足 p(ab)= p(a) p(b) 则称a、b独立，或称a、b相互独立.将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件a、b、c，若p(ac)= p(a)p(c) p(ab)= p(a)p(b) p(abc)= p(a)p(b)p(c) p(bc)= p(b)p(c) 四个等式同时 成立,则称事件 a、b、c相互独立. 第六节：定理 对于n重贝努利试验，事件a在n次试验中出现k次的概率为 总结：精品.1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独

7、立性的场合，它将扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。第二章：随机变量及其分布1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。分布函数：设 x 是一个 r.v，x为一个任意实数，称函数f(x)=p（xx）为 x 的分布函数。x 的分布函数是f(x)记作 x f(x) 或 fx(x).如果将 x 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 f(x) 的值就表示 x落在区间 （xx）。3、 离散

8、型随机变量及其分布定义1 ：设xk(k=1,2, )是离散型随机变量x所取的一切可能值，称等式p(x=xk)=pk, 为离散型随机变量x的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中pk,0；pk=1精品.分布律与分布函数的关系：（1）已知随机变量x的分布律，可求出x的分布函数： 设一离散型随机变量x的分布律为 px=xk=pk (k=1，2，) 由概率的可列可加性可得x的分布函数为 已知随机变量x的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。（2）已知随机变量x的分布函数，可求出x的分布律：一、 三种常用离散型随机变量的分布. 1（01）分布： 设随机变量x只可能取0与1两个值，它的分布律为 px=k=p

9、k(1-p)1-k , k=0，1. (0p1)则称x服从（01）分布,记为x（01）分布。 （01）分布的分布律用表格表示为：x 0 1p 1-p p 易求得其分布函数为2.二项分布（binomial distribution)：定义：若离散型随机变量x的分布律为其中0p0 是常数,则称 x 服从参数为 入 的泊松分布,记作xp(入).、连续型随机变量1概率密度f(x)的性质 （1）f(x)0（2）(3).x落在区间(x1，x2)的概率 几何意义：x落在区间(x1，x2)的概率px10则称 x 服从参数为 入的指数分布. 常简记为 xe( 入)指数分布的分布函数为指数分布的一个重要特性是”无

10、记忆性”.设随机变量x满足：对于任意的so，t0,有 则称随机变量x具有无记忆性。3. 正态分布若r.v x的概率密度为其中 和 都是常数， 任意， 0，则称x服从参数为 和 的正态分布. 记作f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 的正态分布称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 随机变量函数的分布设x为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，求y=g(x) （g连续）的概率密度。1一般方法分布函数法 可先求出y的分布函数fy(y)：精品.因为fy(y)=pyy=pg(x)y，设ly=x|g(x)y则再由fy(y)进一步求出y的

11、概率密度 2. 设连续型随机变量x的密度函数为jx(x), y=f(x)连续, 求y= f(x)的密度函数的方法有三种：（1）分布函数法；（2）若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则 可用公式法；（3）若y=g(x)在不相重叠的区间i1,i2,上逐段严格单 调，其反函数分别为h1(y), h2(y), ,且h1(y), h 2(y), ,均为连续函数，则y= g(x)是连续型随机变量， 其密度函数为 对于连续型随机变量，在求y=g(x) 的分布时，关键的一步是把事件 g(x) y 转化为x在一定范围内取值的形式，从而可以利用 x 的分布来求 p g(x) y .。第三章 、多维随机变

12、量. 分布函数的性质精品.对于任意固定的y，对于任意固定的x，离散型随机变量的分布、连续型随机变量及其概率密度性质 边缘分布 1离散型随机变量的边缘分布律精品.连续型随机变量的边缘分布随机变量的独立性：两个随机变量函数的分布一、 离散型随机变量函数的分布 精品.二、 连续型随机变量函数的分布第四章.、随机变量的数字特征随机变量的数学期望 e(x)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 x 取可能值的真正的平均值, 也称均值.2.连续型随机变量数学期望的定义数学期望的本质 定积分 它是一个数不再是随机变量3.数学期望的性质e (c ) = c e

13、 (cx ) = ce (x )精品.e (x + y ) = e (x ) + e (y ) 当x ,y 独立时，e (x y ) = e (x )e (y )若存在数 a 使 p(x a) = 1, 则 e (x ) a ；若存在数 b 使 p(x b) = 1, 则 e (x ) b.第二节：随机变量的方差方差的定义d(x ) 描述 r.v. x 的取值偏离平均值 的平均偏离程度5. 随机变量方差的计算 利用公式计算方差的性质 1.d (c) = 0 2.d (cx ) = c2d(x)d(ax+b ) = a2d(x)特别地，若x ,y 相互独立，则若xi，xj均相互独立，均为常数，则

14、2若x ,y 相互独立可得精品.逆命题不成立；3若x ,y 相互独立可得逆命题不成立。4. 对任意常数c, d (x ) e(x c)2 ,当且仅当c = e(x )时等号成立5. d (x ) = 0 等价于p (x = e(x)=1 称为x 依概率 1 等于常数 e(x)。切比雪夫不等式 设随机变量x有期望e(x)和方差 ，则对于任给 0,精品.第三节、协方差与相关系数若则称x，y不相关。注：（1）x和y的相关系数又成为标准协方差，它是一个无量纲的量。2、若随机变量x和y相互独立 精品.协方差的计算公式1、 cov(x,y)=e(xy)-e(x)e(y)2、 d(x+_y)=d(x)+d(

15、y)+2cov(x,y)协方差的性质：相关系数：1、 二维正态分布密度函数中，参数p代表了与y的相关系数。2、 二维正态随机变量x和y相关系数为零等价于x和y相互独立。即 xy相互独立 等价于 xy不相关不相关的充要条件相关系数的性质：精品.第五章：极限定理大数定理：设xn为一随机变量序列,e(xn)存在，记 则称xn服从（弱）大数定律。 切比雪夫大数定律： 设 x1,x2, 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 d(xi) k，i=1,2, ，则对任意的0马尔科夫条件：在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出只要 ()， 则大数定理就能成立。切比雪夫大数定律的特殊情况：设x1,x2, 是独立随机变量序列，且e(xi)= ，d(xi)= ， i=1,2,则对任给 0,辛钦大