初三数学圆知识点复习专题

1、.圆苑老师一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条

2、直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；精品.四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧

3、的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：精品. 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧例题1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（ ）a平分一条直径的弦必垂直于这条直径 b平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦c弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 d在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）a过弦的中点的直线平分弦所对的弧 b过弦的中点的直线必过圆心c弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

4、 d弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度ab是_cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为_cm.3、如图，已知在中，弦，且，垂足为，于，于.（1）求证：四边形是正方形.精品.（2）若，求圆心到弦和的距离.4、已知：abc内接于o，ab=ac，半径ob=5cm，圆心o到bc的距离为3cm，求ab的长5、如图，f是以o为圆心，bc为直径的半圆上任意一点，a是的中点，adbc于d，求证：ad=bf.例题3、度数问题1、已知：在中，弦，点到的

5、距离等于的一半，求：的度数和圆的半径. 2、已知：o的半径，弦ab、ac的长分别是、.求的度数。例题4、相交问题如图，已知o的直径ab和弦cd相交于点e，ae=6cm，eb=2cm，bed=30，求cd的长.abdceo例题5、平行问题精品.在直径为50cm的o中，弦ab=40cm，弦cd=48cm，且abcd，求：ab与cd之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦ab，交小圆于c、d两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.例题7、平行与相似已知：如图，是的直径，是弦，于.求证：.六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

6、此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 精品.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三

7、角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？ 【例2】如图，已知o中，ab为直径，ab=10cm，弦ac=6cm，acb的平分线交o于d，求bc、ad和bd的长【例3】如图所示，已知ab为o的直径，ac为弦，odbc，交ac于d，bc=4cm（1）求证：acod； （2）求od的长； （3）若2sina1=0，求o的直径【例4】四边形abcd中，abdc，bc=b，ab=ac=ad=a，如图，求bd的长精品.【例5】如图1，ab是半o的直径，过a、b两点作半o的弦，当两弦交点恰好落在

8、半o上c点时，则有acacbcbc=ab2（1）如图2，若两弦交于点p在半o内，则apacbpbd=ab2是否成立？请说明理由（2）如图3，若两弦ac、bd的延长线交于p点，则ab2=参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 例1、如图7-107，o中，两弦abcd，m是ab的中点，过m点作弦de求证：e，m，o，c四点共圆九、切线的性质与判定定理精品.（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端

9、 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分利用切线性质计算线段的长度例1：如图，已知：ab是o的直径，p为延长线上的一点，pc切o于c，cdab于d，又pc=4，o的半径为3求：od的长精品.利用切线性质计算角的度数例2：如图，已知：ab是o的直径，cd切o于

10、c，aecd于e，bc的延长线与ae的延长线交于f，且af=bf求：a的度数利用切线性质证明角相等例3：如图，已知：ab为o的直径，过a作弦ac、ad，并延长与过b的切线交于m、n求证：mcn=mdn利用切线性质证线段相等例4：如图，已知：ab是o直径，coab，cd切o于d，ad交co于e求证：cd=ce精品.利用切线性质证两直线垂直例5：如图，已知：abc中，ab=ac，以ab为直径作o，交bc于d，de切o于d，交ac于e求证：deac十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分

11、直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 精品.（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 例1.如图1，正方形abcd的边长为1，以bc为直径。在正方形内作半圆o，过a作半圆切线，切点为f，交cd于e，求de：ae的值。例2.o中的两条弦ab与cd相交于e，若ae6cm，be2cm，cd7cm，那么ce_cm。图2例3.如图3，p是o外一点，pc切o于点c，pab是o的割线，交o于a、b两点

12、，如果pa：pb1：4，pc12cm，o的半径为10cm，则圆心o到ab的距离是_cm。图3例4.如图4，ab为o的直径，过b点作o的切线bc，oc交o于点e，ae的延长线交bc于点d，（1）求证：；（2）若abbc2厘米，求ce、cd的长。图4例5.如图5，pa、pc切o于a、c，pdb为割线。求证：adbccdab精品.图5例6.如图6，在直角三角形abc中，a90，以ab边为直径作o，交斜边bc于点d，过d点作o的切线交ac于e。图6 求证：bc2oe。十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；