四川大学常微分方程教案

1、四 川 大 学 教 案【首页】课程名称常微分方程授课专业数学学院年级大二课程编号课程类型必修课校级公共课（ ）；基础或专业基础课（）；专业课（ ）选修课限选课（ ）；任选课（ ）授课方式课堂讲授（）；实践课（ ）考核方式考试（）；考查（ ）课程教学总学时数学 分 数学时分配课堂讲授 学时； 习题课，测验等 学时教材名称常微分方程作 者张伟年,杜正东,徐冰出版社及出版时间高等教育出版社. 可选参考书 . . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，. 蔡燧林, 常微分方程, 杭州：浙江大学出版社, . 丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育

2、出版社, . 金福临、李训经, 常微分方程, 上海：上海科学技术出版社, . 林武忠、汪志鸣、张九超, 常微分方程, 北京：科学出版社，. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松, 常微分方程(第二版), 北京：高等教育出版社, . 王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, . 叶彦谦, 常微分方程讲义(第二版), 北京：人民教育出版社, .授课教师张伟年职 称教授单 位数学学院授课时间年月年月注：表中（ ）选项请打“”四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 一 周， 第 次课章 节名 称第一讲: 常微分方程模型授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求. 了

3、解常微分方程的一般形式. 通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型教学内容提要一、问题的提出常微分方程的一般形式) 函数方程(泛函方程):) 微分方程 常微分方程 偏微分方程) 阶常微分方程(阶方程)二、几个具体的例子例 物体作水平运动例 自由落体运动例 弹簧振子的水平自由运动例 天体运动中的二体问题例 几何问题三、本讲习题 教学重点与难点重点：了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。作业、选作题习题, , .教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微

4、分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 一 周， 第 次课章 节名 称第二讲: 微分方程求解思想授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求. 了解微分方程的精确解与近似解. 微分方程的几何分析. 给出微分方程形式的分类教学内容提要一、 计算与近似计算. 微分方程的解 . 微分方程的通解与特解 . 初值问题(问题) . 近似解 二、几何分析. 积分曲线. 等倾线() 水平等倾线，竖直等倾线例例三、微分方程形式. 隐式微分方程. 规范形式 一阶方程. 一阶微分方程

5、组. 线性微分方程一阶线性微分方程的规范形式四、本讲习题 教学重点与难点重点： 了解微分方程的精确解与近似解 掌握微分方程形式的分类 难点：在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分析作业、选作题作业：习题 , ，().选作题：求以初速度在空气中铅直上抛的物体的运动方程,其中物体质量为,阻尼与速度的平方成正比,比例系数为.又问物体达到最高点的时间是多少？教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北

6、京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 二 周， 第 次课章 节名 称第三讲: 基本问题授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求. 含有个参数的函数是一个阶微分方程的通解。. 一个阶微分方程的通解包含个任意常数。教学内容提要一、主要结果事实: 微分方程的通解含有任意参数 问题: 给一个含有任意参数的函数,是否能找到一个微分方程,使得这个函数正好是这个方程的解呢? 定理二、证明思路 行列式不为.建立方程组 .求解参数 补充:隐函数定理，联系数学分析相关知识。 .解与方程的对应三、本讲习题教学重点与难点难点： 了解一个微分方程的解中的参数与微分方程

7、的解的关系； 给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个函数？作业、选作题作业：习题 ()().选作题：平面上安放长度为的细磁棒, 如果撒上一些小铁钉, 他们将按磁场的方向排列. 可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷, 磁量分别为和. 试求出这个磁场满足的微分方程. 进而, 画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社,

8、 .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 二周， 第 次课章 节名 称第四讲: 变量分离形式授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求. 什么是方程的隐式解. 什么是变量分离形式的方程. 分离变量法. 常数变易法. 可化为变量分离形式方程的求解教学内容提要一、初等积分法 初等积分法的定义 微分方程的隐式解 二、变量分离方程 变量分离形式方程 方程通解的求法 方程特解的求法 例 例 三、可化为变量分离方程的类型 一阶线性微分方程 常数变易法与常数变易公式 例 方程 例 齐次方程 线性分式形式的微分方程 例四、本讲习题 教学重点与难点重点：变量分离形式方程的求解难点： 方

9、程的求解2 齐次方程的求解 3 线性分式形式的微分方程的求解作业、选作题作业：习题 , ()()()()(), ()()(), ()(), ()().选作题：设,是方程的两个互异解.求证对于该方程的任一解,下式恒成立, 其中是某常数.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 三 周， 第 次课章 节名 称第五讲: 恰当方程形式授 课

10、方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求. 什么是恰当方程2 如何判定微分方程是恰当的3 如何寻求恰当方程的解4 如何使方程变得恰当5 寻求特殊的积分因子教学内容提要一、恰当方程 恰当方程(全微分方程) 的形式与所满足的条件 首次积分 提出两个问题 ) 如何判断一个微分方程是否为恰当方程？ ) 若方程是恰当的,如何寻求全微分的原函数?二、恰当方程的判定定理定理 判定微分方程是恰当方程的充分必要条件例二、 积分因子法问题:有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程. 这时我们问:是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢? 积分因子 结论 问题: 如何来寻求这些积分因子?

11、特殊情况下的积分因子例 其它情况 进一步分析例四、本讲习题 教学重点与难点重点： 恰当方程的判定 寻求积分因子难点：寻求积分因子作业、选作题作业：习题 ()()(), ()()(), , 选择题：假设微分方程有形如的积分因子, 试确定其中的常数, 并求解该方程.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 三 周， 第 次课章 节名 称

12、第六讲: 隐式方程授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1 隐式方程2 隐式方程的化简教学内容提要一、隐式方程 一阶隐式方程的形式 求解思想) 将看成独立的变量) 将代数方程所定义的曲面参数化) 通过变量替换的方法把方程()化为导数已解出的显式方程) 用上两节已给出的方法求解. 具体求解方法二、几类可解的特殊的隐式方程 可以解出的方程 可以解出的方程 不显含的隐式方程 不显含的隐式方程 例三、其他情形 隐式方程中可解出， 例 隐式方程轮不显含， 例 教学重点与难点重点：隐式方程的求解作业、选作题教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德),

13、常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 四 周， 第 次课章 节名 称第七讲: 初等积分法的一些应用授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求方程的奇解与包络利用初等积分法求解一些特殊的高阶微分方程平面保守系统的轨道方程的解教学内容提要一、奇解 曲线族的包络 包络的性质 判别曲线 例 方程的奇解 方程的奇解判别 判别曲线 例二、高阶微分方程求解的基本思想: ) 不显含未知函数的

14、方程) 不显含自变量的方程) 齐次方程) 全微分方程例， 例 三、平面保守系统 一个具体例子 相平面，轨道，相图 更一般的情况四、方程 方程的求解 一种特殊情况 结果五、本讲习题 教学重点与难点重点； 方程的奇解判别 高阶微分方程求解的基本思想:作业、选作题作业：习题 ()()(), ()(), ()(), .选作题：) 求解下列方程 ) 试证若是方程的满足初始条件的解,则,其中在上连续.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王

15、柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 五 周， 第 次课章 节名 称第八讲: 存在性与唯一性授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义;理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提;掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.教学内容提要一、问题的提出解的存在性为方程的求解提供理论基础；的存在唯一性是近似计算的前提。二、存在唯一性定理定理三、矩阵函数的性质四、定理的证明证明共分五步完成小结五、本讲习题教学重点与难点重点：线性系统解的存在唯一性定理难点：线性系统解的存在唯一性

16、定理的证明作业、选作题作业：习题 , , . 选作题：设连续,且其中,非负. 试用逐步逼近法证明：教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 六 周， 第 次课章 节名 称第九讲: 齐次线性方程组的通解结构授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求. 掌握齐次线性微分方程组解的叠加原理;2. 理解向量函数线性相

17、关和线性无关的概念;3. 掌握行列式;4. 掌握公式和定理. 教学内容提要一、 线性相关与无关的定义二、解的叠加原理定理的证明思路三、行列式四、定理 定理的证明 基解矩阵与标准解矩阵的定义 初值问题的解 说明:对定理的一点解释五、本讲习题教学重点与难点重点： 齐次线性微分方程组解的叠加原理 公式和定理.难点：行列式作业、选作题作业：习题 , .选作题：设, 是周期连续的, 且为基解矩阵, 证明:也是基解矩阵且存在可逆矩阵, 使得.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程

18、(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 六 周， 第 次课章 节名 称第十讲: 非齐次线性方程组的通解授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求. 深刻理解齐次与非齐次线性方程组解之间的关系;2. 掌握常数变易法;3. 理解并学会使用常数变易公式.教学内容提要一、通解结构二、通解定理三、常数变易法通解定理的证明 四、本讲习题教学重点与难点重点：常数变易公式及其应用 难点：常数变易法作业、选作题作业：习题 , 选作题：设是区间上的阶连续矩阵函数, 是区间上的不恒为零的维连

19、续列向量. 试证非齐次线性方程组存在且至多存在个线性无关的解。教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 七 周， 第 次课章 节名 称第十一讲: 高阶线性方程授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 深刻理解高阶方程与一阶方程组解的区别和联系。2. 掌握利用公式降阶的方法。教学内容提要一、高阶方程与一阶

20、方程组 阶线性微分方程的一般形式 齐次与非齐次的情况二、行列式定义 三、定理四、通解结构五、例题六、本讲习题教学重点与难点重点：高阶线性方程的解作业、选作题作业：习题 , , , 选作题：不用 公式而直接用变量代换来对方程降阶并证明其通解表达式. 教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 七 周， 第 次课章 节名 称第十二讲: 复

21、值解和级数解法授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 深刻理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系。2. 了解定理。3. 掌握幂级数解法。教学内容提要一、复值矩阵函数 复值矩阵函数的定义复值矩阵函数的求导与积分二、复值线性方程组定理，定理 三、定理推论四、幂级数解法五、例题六、本讲习题教学重点与难点重点： 理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系 微分方程的幂级数解法难点： 定理的理解作业、选作题作业：习题 , , .选作题：用幂级数法求方程 满足初值条件, 的解.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、

22、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 九 周， 第 次课章 节名 称第十三讲: 齐次问题授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 掌握待定指数函数法 。2. 深刻理解齐次方程的基本解组的求解方法 。教学内容提要一、微分方程的算子形式二、齐次方程的基本解组待定指数函数法定理定理推论三、例题四、本讲习题教学重点与难点重点：齐次方程的基本解组的求解方法作业、选作题作业：习题 (),(),(), 选

23、作题：分析振动方程 的特征根并给出通解,这里,.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 九 周， 第 次课章 节名 称第十四讲: 非齐次问题授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 掌握多项式微分算子的逆算子的基本性质。2. 深刻理解非齐次方程的特解的算子解法。教学内容提要一、逆算子的基本性质三条性质

24、二、非齐次方程的算子解法定理) 解析展开法或解析相除法 ) 代换法 ) 二项式法 三点注意事项三、例题四、本讲习题教学重点与难点重点：逆算子的基本性质难点：非齐次方程的特解的算子解法作业、选作题作业：习题 (),(),().选作题：证明方程在适当的自变量代换下, 能化为常系数线性齐次方程.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十

25、 周， 第 次课章 节名 称第十五讲: 常系数线性方程组授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 掌握 指数函数法。2. 掌握矩阵指数函数法。3. 深刻理解齐次方程组对应于不同的特征值，其基本解组的不同表达形式。教学内容提要一、矩阵指数函数引理矩阵指数函数的三条基本性质 二、齐次方程组的基本解组定理三、例题四、本讲习题教学重点与难点重点：求齐次方程组的基本解组难点：矩阵指数函数的基本性质作业、选作题作业:习题 , (), (), ().选作题:给定齐次方程组, 证明若的所有特征根实部都, 则所有解当时趋于；若实部都且零实部的特征根都是简单根, 则一切解对都有界；若

26、有一个特征根实部 , 则有解趋向无穷.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十 周， 第 次课章 节名 称第十六讲: 应用:机械振动授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求了解一个具体例子教学内容提要关于弹性振动问题 分成下列几种情况讨论一、无阻尼自由振动 物理解释， 谐振动二、有阻尼自由振动有限运动，

27、阻尼谐振三、无阻尼强迫振动四、有阻尼强迫振动共振现象五、本讲习题教学重点与难点重点：分析机械振动运动方程的解作业、选作题作业：习题 , .选作题：考虑一个由电感, 电容和电源串联组成的简单闭合电路, 其中.试证当时,将发生共振现象,且当时,电位差变得无界.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十一 周， 第 次课章 节名 称第十

28、七讲: 存在唯一性定理授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 掌握存在唯一性定理及其证明。2. 深刻理解迭代法并与未来泛函分析学习相联系。3. 思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系。4. 存在唯一性定理的局限性: 结果是局部的。教学内容提要一、问题的提出 二、条件的定义 三、存在唯一性定理 四、定理的证明证明思想: 逐步逼近法 证明分五步完成五、几何意义有具体图例六、例题七、本讲习题教学重点与难点重点： 条件的意义 存在唯一性定理的证明与几何意义 难点：思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系。作业、选作题作业：习题 , , , .选作题：试求初值问题的

29、迭代序列,并通过求迭代序列的极限求出初值问题的解。 教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十一 周， 第 次课章 节名 称第十八讲: 存在性定理 授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 掌握存在性定理及其证明.2. 掌握折线法及其与微分方程的近似解法的联系.3. 从函数空间的高度理解引理.4. 与

30、存在唯一性定理的比较.教学内容提要一、存在性定理二、定理的证明思想: 折线法折线法的构造及其几何意义三、一致有界与等度连续 一致有界与等度连续的定义 对定义的进一步说明 四、引理 比较 上的有界的无限点集必有收敛子列.五、存在性定理的证明 分四步完成 六、逼近解的定义七、本讲习题教学重点与难点重点： 掌握存在性定理及其证明 掌握折线法及其与微分方程的近似解法的联系.难点： 试着从函数空间的高度理解引理 与存在唯一性定理的比较作业、选作题作业：习题 第, 题.选作题：利用存在定理证明隐函数定理的存在性部分.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家

31、骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十二 周， 第 次课章 节名 称第十九讲: 解的延拓 授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 了解存在唯一性定理和存在性定理的局限性。2. 深刻理解解的延拓的几何意义。3. 掌握解的延拓定理及其证明。4. 通过例题学习初步的定性分析方法教学内容提要一、存在性定理的局限性 问题 随着定义区域增大,由存在性定理所能确定的解的存在区间反而还缩小了!二、解

32、的延拓思想三、解的延拓的几何意义四、饱和解断言 任一饱和解的存在区间必为一个开区间思考题 证明这一断言五、解的延拓定理证明思想 情形 情形六、整体解:若干推论 推论 ，推论七、定理八、本讲习题教学重点与难点重点：理解解的延拓的几何意义，定理的证明难点：初步的定性分析方法作业、选作题作业：习题 , ().选作题：证明方程任一解的存在区间都是有界的.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民

33、教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十二 周， 第 次课章 节名 称第二十讲: 微分不等式与比较定理授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 掌握不等式及其推广。2. 掌握比较定理,特别是第一比较定理。3. 理解最大解和最小解的概念及其几何解释。4. 通过学习相关定理的证明掌握定性分析中的典型方法。教学内容提要一、不等式思考题 证明这一定理二、推广的不等式定理的证明思想推论三、第一比较定理四、最大解和最小解定理五、第二比较定理六、本讲习题教学重点与难点重点： 不等式与推广的不等式 第一比较定理与第二比较定理难点： 不等式与推广的不等式 的区别与

34、联系 两个比较定理的区别和联系作业、选作题作业:习题 , , .选作题：证明若初值问题的积分曲线与直线当时有交点,则其中，为初值问题的解.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十三 周， 第 次课章 节名 称第二十一讲: 解对初值和参数的依赖性授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 掌握解对初值和

35、参数的依赖性及其应用。2. 进一步深刻理解迭代法。3. 理解主要结果的证明方法和几何意义。4. 理解局部性结果和全局性结果的差别和联系。 教学内容提要一、问题的提出问题：当初值或参数值发生微小改变时相应的解如何改变?二、问题的化简三、局部连续依赖性定理定理的证明思想四、整体连续依赖性定理整体连续依赖性的几何意义五、依赖性例题依赖性定理 六、本讲习题教学重点与难点重点： 掌握解对初值和参数的依赖性及其应用 深刻理解迭代法在定理证明中的使用，以及该定理的几何意义难点：局部性及全局性结果的差别和联系作业、选作题作业：习题 , .选作题：给定方程求和在处的表达式, 并证明若是方程满足初值条件的解,则恒

36、有教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十三 周， 第 次课章 节名 称第二十二讲: 微分方程数值解授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 了解微分方程数值解的发展历程。2. 掌握几种典型的数值解方法并比较其优缺点。3. 初步掌握数值计算的误差估计 。4. 通过学习编写计算程序培养动手能力。教学内

37、容提要一、微分方程的数值解数值解的概念基本思想单步法与多步法二、公式公式的特点 显式单步法,简单,直观三、梯形方法梯形方法的特点 隐式单步法,四、改进的公式改进的公式的特点 与梯形方法一样有二阶精度 算法比梯形方法简单, 计算量不大五、局部误差的估计六、显式方法级显式方法的一般形式四阶公式七、本讲习题教学重点与难点重点：掌握几种典型的数值解方法并比较其优缺点：公式，梯形方法，改进的公式与显式方法难点：各种数值解法的局部误差的估计作业、选作题作业：习题 , .选作题;证明改进的公式具有二阶精度.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、

38、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十四 周， 第 次课章 节名 称第二十三讲: 动力系统概念授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 初步了解微分方程定性理论的创立和发展历史。2. 了解微分方程定性理论的研究对象和主要任务。3. 掌握自治系统区别于非自治系统的特殊性质。4. 了解动力系统的基本概念。 教学内容提要一、微分方程定性理论的创立和发展微分方程定性理论的创立者二、自治系统及其基本概念相空

39、间， 向量场， 轨道， 微分方程定性理论的主要任务平衡点， 定常解，奇点，闭轨或周期轨三、自治系统的解的性质()积分曲线的平移不变性()群性质()轨道唯一性:上述性质的证明思想四、动力系统教学重点与难点重点： 掌握自治系统区别于非自治系统的特殊性质 了解动力系统的基本概念难点：微分方程定性理论的研究对象和主要任务作业、选作题教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川

40、 大 学 教 案【理科】周 次第 十五 周， 第 次课章 节名 称第二十四讲: 稳定性授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 了解解对初值的连续依赖性与稳定性的区别。2. 深刻理解稳定性这一重要概念及其几何意义 。3. 掌握线性方程组零解稳定性的判别方法。4. 掌握由线性近似判断微分方程零解的稳定性的方法。5. 加深对不等式和常数变易公式等重要知识点的理解。教学内容提要一、问题的背景问题：在什么条件下, 简化后的皆与实际解之间的误差不会导致“差之毫厘,失之千里”的结果?稳定性问题 一个例子二、稳定性的概念 稳定 稳定的几何意义 渐近稳定 渐近稳定的几何意义 不稳

41、定三、线性系统零解稳定性的判定 一般线性系统零解稳定性的判定 常系数线性系统零解稳定性的判定四、线性系统零解稳定性的判定五、一个重要引理 思考题: 证明这一引理六、定理的证明第一步 利用常数变易公式将方程表示为等价积分形式.第二步 利用不等式对方程的解进行估计, 证明其有界第三步 证明解向右可延拓到区间第四步 证明零解是渐近稳定的.七、本讲习题 教学重点与难点重点： 稳定性的概念以及其几何意义 线性系统零解稳定性的判定难点：加深对不等式和常数变易公式等重要知识点的理解作业、选作题作业：习题 , , .选作题：设在上连续,，的解存在唯一,其零解稳定,且存在和使得分别由初值条件和确定的解当时都趋于

42、零.证明零解渐近稳定.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注. . (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, .王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, .四 川 大 学 教 案【理科】周 次第 十五 周， 第 次课章 节名 称第二十五讲: 直接法授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1. 了解由线性近似判断微分方程零解的稳定性的方法的局限。2. 通过应用实例体会直接法的思想。3. 掌握稳定性判据及其应用。4. 了解稳定性判据的几何意义。教学内容提要一、直接法的思想直接法的基本想法: 观察在零解附近任意一个解()的轨道是否越走距离零解(即)越近或始终不远离零解二、定正