圆的相关定理

1、圆幂定理定义圆幂=PO2-R2（该结论为欧拉公式） 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PAPB=PCPD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PAPB=PCPD。相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点

2、所分成的两段的积相等） 相交弦说明几何语言： 若弦AB、CD交于点P 则PAPB=PCPD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项 几何语言： 若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC2=PAPB（相交弦定理推论）切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 几何语言： PT切O于点T，PBA是O的割线 PT的平方=PAPB（切割线定理）推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： PT是O切线，PBA，PDC是O的割线 PDPC=

3、PAPB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT2（平方）=PAPB=PCPD证明切割线定理证明: 设ABP是O的一条割线，PT是O的一条切线，切点为T，则PT2=PAPB 证明：连接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) P=P(公共角) PBTPTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PBPA 割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LALB=LCLD。如下图所示。(LT是切线）证明如图直线ABP和CDP是自点P引的O的两条割线，则PAPB=PCPD

4、证明:连接AD、BC A和C都对弧BD 由圆周角定理，得 A=C 又APD=CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也就是APBP=CPDP切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 几何语言： l OA，点A在O上 直线l是O的切线（切线判定定理） 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径 几何语言： OA是O的半径，直线l切O于点A l OA（切线性质定理） 推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 几何语言： 直线PA、P

5、B分别切O于A、B两点 PA=PB，APO=BPO（切线长定理） 证明：连结OA、OB 直线PA、PB分别切O于A、B两点 OAAP、OBPB OAP=OBP=90 在OPA和OPB中： OAP=OBP OP=OP OA=OB=r OPAOPB（HL） PA=PB，APO=BPO弦切角定理弦切角（即图中ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC 几何语言：ACD所夹的是弧AC ACD=ABC=1/2COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理） 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

6、 几何语言：1所夹的是弧MN ，2所夹的是PQ ，弧MN = 弧PQ 1=2 证明：作ADEC ADC=90 ACD+CAD=90 ED与O切于点C OCED OCD=OCA+ACD=90 OCA=CAD OC=OA=r OCA=OAC COA=180-OCA-OAC=180-2CAD 又ACD=90-CAD ACDC=1/2COA ACD=ABC=1/2COA=1/2弧AC的度数弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角这种角必须满足三个条件： （1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点； （2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线； （3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线 它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可。 （4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质相关公式