6.2 环和域.ppt

1、一、环,定义：设G是非空集合，在G上定义两个运算，称为加法+,和乘法两个二元运算，且满足： (1)(G,+ )是交换群，(阿贝尔群) (2)(G,)是个半群 (3)乘法对加法适合分配律， 即a,b,cG,有a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc。 则称代数系统(G,+,)为环 即环有两个代数运算，对乘法存在结合律；对加法存在结合律、交换律、单位元、每个元素有逆元；另乘法对加法而言成立左右分配律。,例如,例1:整数集合Z，对于数的加法和乘 法是个环，称为整数环。(Z,+,) 例2:实域上的n阶矩阵的全体组成的集合Mn(R),在矩阵的加法和乘法下构成一个环，称为n阶方正环。(Mn(R

2、),+,) 例3:仅有数字0构成的集合0，对数的加法和乘法，构成一个环(0,+,)，称为零环。,例4: 例 n=6来举例 Zn=0, 1, 2,3,4,5 则Zn在此加法和乘法下是一个环，称为剩余类环。,例如,环的基本性质：,(1)加法有结合律； (2)加法中有交换律a,bG,a+b=b+a； (3)加法满足消去律，若a+b=a+c则b=c (4)加法的单位为0，是乘法的零元0，称为环的零元； (5)加法的逆元在环中称为负元；aG存在负元-aG，a+(-a)=0,通常把a+(-b)记作a-b，称为减法。 如果a对乘法存在逆元，称为a的逆元,记为a-1；,环的基本性质（续),(6)因加法有交换律

3、，有加法的指数律，对任意整m,n a(m+n)=am+an n(a+b)=na+nb 因乘法而言是半群(G,) (7) 乘法有结合律 (8)乘法对加法有分配律 (9) a0=0,0a=0.因a0=a(0+0)=a0+a0 用消去律得a0=0 (10)(-a)b=-ab,a(-b)=-ab 因ab+a(-b)=a(b+(-b)=a0=0 a(-b)是ab的负元 a(-b)=-ab,环的基本性质（续),（11）(-a)(-b)=ab 因a(-b)+(-a)(-b)=(a+(-a)(-b)=0(-b)=0 a(-b)的负元是(-a)(-b)，又因 a(-b)=-ab a(-b)的负元是-(-ab)=

4、ab,负元唯一， (-a)(-b)=ab, (12) 乘法对减法成立分配律 a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca,因为 a(b-c)=a(b+(-c)=ab+a(-c)=ab-ac (13) 分配律推广到为 a(b1+b2+-bn)=ab1+ab2+abn,左右零因子,设(G,+,)是环,设a,bG,如果a0,b0,但ab=0,则a是环G中的左零因子,b是环G中的右零因子,如果一个元素a G,既是左零因子又是右零因子,则称它是一个零因子,如果G中没有零因子,称此环为没有零因子的环。,在n阶矩阵中的零因子,M2 (R)中 A0,B0, A是左零因子，B是右零因子，可以证明，A、B均是零因子，因此M2(R) 是含零因子的环。,在 中的零因子,364=12 mod 6=0 ，3和4是零因子。,整环,定义4:设(G,+,)是环,且满足 (1)乘法有交换律；（交换环） (2)G-0中对乘法存在单元1,即1G,有 1a=a, a1=a；（含幺环） (3)G中没有零因子,即a,bG,a0,b0,则ab0,则称环(G,+,)为整环。,例:整数环(G,+,)是整环,整环中满足消去律,即a,b,cG,如a0,ab=ac,则b=c,域,设(S,+,)是代数系数,如满足 (1)(S,+)是交换律； (2)(S-