4多服务台的情形[M_M_C].ppt

1、文库专用,1,4.多服务台的情形M/M/C,4.1标准的M/M/C模型 即：M/M/C: /FCFS 标准的M/M/C模型与标准的M/M/1模型的各特征规定相同，另外，各服务台工作是相互独立且平均服务率相同，即1=2=3=c=，整个服务机构的平均服务率为：c(nc时) 或n(nc时),令 ，只有当 时，才不会形成无限队列。,文库专用,2,从右图的队列图分析系统中的状态转移关系，见下面状态转移图。,由上图知，当n=c时，为c，故可得差分方程：,文库专用,3,利用递推法解该差分方程可求得状态概率为：,这里： ， 1,文库专用,4,系统的运行指标为：,文库专用,5,例4. 某售票所有三个窗口，一个队

2、列形成M/M/C系统。顾客到达服从泊松流=0.9人/M，服务时间服从负指数分布，=0.4人/M，求： (1) 空闲的概率; (2) 平均队长Ls，Lq; (3) 平均等待时间和逗留时间Wq,Ws; (4)顾客到达后必须等待的概率.,解: (1),文库专用,6,(2),(3),文库专用,7,(4),为计算简化，现专门根据=/c值和c值编制了Wq数值表可供使用，其结构为：,顾客到达后必须等待的概率,文库专用,8,例如上题中可查表得： =0.75,c=3,Wg=0.756 ,文库专用,9,4.2 M/M/C型系统和C个M/M/1 型系统的比较,上面说的是M/M/C型系统，系统中只有一个队列，若系统c

3、个服务台前各有一个队列，则是c个M/M/1系统的迭加（见下面图示），虽然这两种系统看上去相似，但其运行指标却有很大差别。,文库专用,10,现仍以上面的例4进行分析。如果除排队方式外，其它条件不变，顾客到达每个窗口前各排一队，且进入队后坚持不换，这就形成了上面的队列，每个队列的平均到达率为1=2=c=/c=0.9/3= 0.3人/M.这样，原来的系统就变成了=0.3人/M的3个M/M/1型子系统，且相互独立。按M/M/1求解并与上面的比较得：,从上表可知，M/M/C系统明显比C个M/M/1系统的指标优。,文库专用,11,4.3 系统容量有限制的情形 （M/M/C/N/）,设系统的容量最大限制为N

4、(C）,当系统中顾客数n已达到N（即队列中的顾客数已达N-C）时，再来的顾客将被拒绝，其他条件与标准的M/M/C型相同。 此时的状态概率为：,文库专用,12,其中：,运行指标为：,文库专用,13,4.4 顾客源为有限的情况 （M/M/C/M）,设顾客源为有限m,且mc，顾客到达率是按每个顾客考虑的。在机器维修模型中就是有m台机器，C个修理工，机器故障率就是每个机器单位运转时间出故障的期望次数，系统中顾客数n就是出故障的机器台数。当nC时，无排队，有c-n个修理工空闲；当cnm时，有（n-c）台机器停机等待修理，系统处于繁忙状态。假定：(1)每个服务台速率均为的负指数分布，（2）故障修复时间与正

5、在生产的机器是否发生故障是相互独立的，则有：,文库专用,14,文库专用,15,例. 设有两个修理工人，负责5台机器的正常运行，每台机器平均损坏率为每运转小时1次，两工人能以相同的平均修复率4(次/小时)修好机器。求:1.等待修理的机器平均数2.需要修理的机器平均数3.有效损坏率4.等待修理时间5.停工时间,文库专用,16,解 m=5，=1(次/小时)，4(台/小时)，c2， c/m/1/4，,文库专用,17,5 一般服务时间的（M/G/1）模型,任意分布服务时间：任何情形下面的关系都正确： Ls=Lq+Lse (Lse-服务机构中的顾客数) Ws=Wq+ET （ET-服务平均时间） Ls=Ws

6、 ， Lq=Wq 当然，对于有容量限制和有限源情形要换成e. 5.1 Pollaczek-Khintchine(P-K)公式 对M/G/1模型,只要服务时间的ET和VarT存在，其他条件与 M/M/1相同，且1, =ET,则有：,5.2 定长服务时间 M/D/1模型 该情况是服务时间是确定的常数，如一条装配线上完成一件工作的时间是常数。则:T=1/ VarT=0 Ls=+2/2(1-),这就是著名的P-K公式，只要知道,ET, VarT,无论T服从什么分布，各项运行指标都可算出来。,文库专用,19,例5 某售票口，顾客平均2.5分钟到达一个，服从负指数分布，顾客在售票口前至少要占用一分钟，且服

7、务时间服从： f(y)= e-y+1 y1 0 y=0 即x是服从均值为1的负指数分布。 Ey=E1+x=2,Vary=Var1+x=Varx=1 根据P-K公式：,文库专用,20,人,文库专用,21,定长服务时间M/D/1模型,服务时间是确定的常数，例如在一条装配线 上完成一件工作的时间是常数。自动的汽车冲洗 台，冲洗一辆汽车的时间也是常数，这时: T=1/，VarT=0,文库专用,22,例6某实验室有一台自动检验机器性能的仪器，要求检机器的顾客按普阿松分布到达，每小时平均4个顾客，检验每台机器所需时间为6分钟。,(1) 在检验室内机器台数Ls（期望值）,(2) 等候检验的机器台数Lq,(3

8、)每台机器在室内消耗时间Ws,(4)每台机器平均等待检验的时间Wq,文库专用,23,5.3 爱尔朗服务时间M/Ek/1模型 如图示，若顾客必须经过k个服务站，在每个服务站的服务时间Ti相互独立，并服从相同的负 指数分布（参数为k），那么 服从k阶爱尔朗分布。,文库专用,24,则M/Ek/1模型的运行指标为：,文库专用,25,例7 某单人裁缝店做西服,每套需经过4个不同的工序,4个工序完成后才开始做另一套.每一工序的时间服从普阿松分布,期望值为2小时.顾客到达服从普阿松分布,平均订货率为5.5套/周(设一周为6天,每天8小时).问一顾客为等到做好一套西服的期望时间为多长？,=5.5套/周,设为平

9、均服务率（单位时间做完的套数）,1/为平均每套所需要的时间,1/4为平均每工序所需要的时间,=1/8套/小时=6套/周,解,文库专用,26,6 经济分析排队系统优化,排队系统优化问题分为两类：系统设计和系统控制优化。前者称为静态问题，研究如何使设备达到最大效益或机构最为经济。后者称为动态问题，研究如何运营可使某个目标达到最优，该问题是多年来的研究重点之一。因涉及更多的数学知识，本节我们只讨论静态问题。 从静态考虑，排队系统主要涉及两项费用：等待损失费用和服务费用。服务费容易确切计算，而等待费不易确定。它们之间的关系如下图示：,文库专用,27,研究这类问题，对离散变量常用边际分析法，对连续变量常

10、用经典的微分法。也可用NLP及DP.,图中的服务水平主要是平均服务率，其他是服务设备（台数c）及队列限制N等也可以通过服务强度表示。,文库专用,28,6.1 M/M/1 模型中的最优服务率,1、标准的M/M/1 Model 设：Cs为在=1时服务机构的单位时间费用，Cw为每个顾客在系统停留单位时间的费用。则总单位时间成本z为:,文库专用,29,2、系统容量为N的情形 该系统中顾客到达后在系统中超过N个时，将被拒绝,拒绝概率为PN, 则1-PN为接受概率, 所以(1-PN)为单位时间内进入系统的顾客平均数，也是单位时间内实际服务的平均数。 (1-PN)=(1-P0). 设每服务一个能收入G元，于

11、是单位时间收入期望值为(1-PN)G元，纯利润为：,文库专用,30,文库专用,31,解上式的最优解* 要求出满足上式的*是比较困难的，可用数值解法或作图法。,令dz/d=0,文库专用,32,3 顾客源为有限的情形,设共有机器m台，各台连续运转时间服从负指数分布。由1个 修理工人，修理时间服从负指数分布。当服务率1时的 修理费用cs，单位时间每台机器运转可得收入G元。平均运 转台数为m-Ls,所以单位时间纯利润为,式中的,称为普阿松部分和， 而,文库专用,33,文库专用,34,当给定m、G、cs、，要由上式解出*是很困难的， 通常是利用普阿松分布表通过数值计算来求得，或将上 式左方(对一定的m)

12、作为的函数作出图形(图10-20)，对 于给定的 根据图形可求出*/。,文库专用,35,6.2 M/M/C模型中最优服务台数C,仅讨论标准的M/M/C模型，且在稳态下，单位时间全部费用的期望值为：(包括服务成本与等待费用),式中:Cs每个服务台单位服务时间成本； Cw每个顾客在系统中停留单位时间成本； L系统中顾客的平均数Ls或队列平均数 Lq，是C的函数。 这里Z是C的函数,且C只能取整数解,故不能用微分法求C*, 而只能用边际分析法(Marginal Analysis)：,文库专用,36,因为 z(c*) 是最小值，则有：,将z期望费用公式代入：,合并化简得：,依次求C=1,2,3，的 L

13、值，即可找出符合上式的C*。,文库专用,37,例6某检验中心，为各用户检验产品，用户每天到达按泊松流=48个/天，每个用户每天停工损失6元，服务时间服从负指数分布=25个/天，每设1个检验台每天服务成本4元，其他条件为标准M/M/C模型，问设几个服务台费用最少？ 解：Cs=4元 Cw=6=48 =25,下面再分别计算当服务台C=1,2,3,时Ls值。计算过程如下：,文库专用,38,计算 L(C*)-L(C*+1)及 L(C*-1)-L(C*) c=1 - c=2 18.930 c=3 0.612 18.930 c=4 0.116 0.612,文库专用,39,例 某工厂生产一项产品，其加工的某道

14、工序可有两种方案，采用设备A,平均加工时间为4min，指数分布,设备费用为每小时2元；采用设备B，加工时间为5min，设备费用为每小时1.8元。产品以每小时8件的速率到达这一工序。产品在加工过程中，每延误1h，对工厂将有3元的损失，问应该选择哪一设备？,文库专用,40,某厂拟用1名修理工人，已知平均送修的设备数=0.2台/h，现有2种级别的工人可聘：A级工，其工作能力为=0.25台/h，工资每小时10元；B级工，其工作能力为=0.28台/h，工资每小时20元。因设备送修，平均每台每小时造成停工损失为40元。问应聘那一种工人，可使工厂的经济效益较高。,某私人诊所平均每间隔20min有一位病人前来就诊，医生平均诊断时间为15min，且均服从负指数分布。（1）医生希望到达的病人没有座位的概率小于0.01，问应设多少把椅子？（2）如果诊所仅有5把椅子，没有座位的病人不能等候，这种情况下病人平均等候就诊的时间是多少？,文库专用,41,例 某小旅馆要确定最合适的床位数。旅馆平均每天到达4人，波松分布，每个顾客平均住1天，指数分布。旅客到达时发现床位已满，则离去。床位数可从1考虑到10，提供