复变函数与积分变换在电路中的应用

1、 结业论文 复变函数与积分变换 在电路中的应用 系 别： 电气与电子工程系专 业： 自动化姓 名： 学 号： 5555指导教师： 秦志新 摘要：众所周知，复变函数在众多专业课程中都有着非常重要的作用，就如在正弦稳态电流分析中，将复杂的三角函数方程利用欧拉公式转化为复平面内求解（相量法）或利用运算法（拉斯变换），从而把正弦稳态问题归结为以相量或象函数为变量的线性代数方程。 关键词：相量法，拉斯变换，正弦稳态，电路分析，复变函数，运算法。相量法是分析研究正线电流稳定状态的一种简单易行的方法，它是在数学理论和电路理论的基础上建立的一种系统的方法。根据电路的基本定律VCR、KCL和KVL，编写含有储能

2、原件的线性非时变电路的电路方程时，将获得一组常微（积）分方程.现以如图一所示电路RLC为例例1 已知：R=15W, L=12mH, C=5mF, ， 求电路中的电流i和各元件的电压相量，以及电路的等效导纳和并联等效电路。画出相量模型 解；求出相关变 正弦稳态电路方程是一组同频正弦函数描述的代数方程，电路基本定律所涉及的正弦电流，电压的运算，不会改变电流电压同频正弦量的性质，即正弦量乘常数（Ri）、正弦量的微分，正弦量的微分和同频正弦量的代数和（KCL）、（KVL）等运算，其结果仍是同频正弦量。可以看出，各同频正弦电流电压之间，在有效值、初相上的“差异和联系”寓于正弦函数描述电压、电流表达式及电

3、路方程中。无疑，求解和分析正弦函数所描述的电路方程，将能获得正确的结果或结论，但这一方法对于复杂电路将显得非常繁琐，使分析求解相当困难。基于这个问题，我们可以根据欧拉公式，将正弦函数用富指数函数表示，如前所述正弦量Us和i可表示为公式2(者不知道)上述变换表明，一个正弦量可以分解为一对共轭的复指数函数。根据叠加定理和数学理论，只要对其中一个分量进行求解就能写出全部结果，大大简化了求解的过程。例题 图1所示电路中，, ， 求电压和。 解：为了帮助理解和避免错误，可根据原电路图画出对应的相量模型，它是将时域中的正弦电压、电流用相量标记，电路中的电阻、电感和电容元件根据VCR的相量形式分别用复数形式

4、的R, ,标记，而其他与原电路相同。根据相量形式的电路图就可以直接写出相量形式的电路方程。图a所示电路相对应的相量形式的电路图如图b所示。图中根据元件的的相量形式有根据,有 所以上述变换只是数学形式上的变换，与式编号相比，并无实质性的区别，但在形式上实现了非常有益的转换，它将与时间有关的同频正弦函数的电路方程转化为与时间无关的复代数形式的电路方程。更重要的是，它将正弦稳态中全部同频的正弦电压、电流转化为由个正弦量的有效值和初相组合成的复数表示，如:写出下列正弦电流对应的相量解：根据国家规定标准，统一用表示，因此，电流的表达式可改写为 电流相量可按定义直接写成 使同频的各正弦量在有效值、初相上的

5、“差异和联系”，在电路方程中表现的更清晰、更直观，这将大大简化对正弦稳态的表述和分析求解的过程。拉普拉斯变换在复频域分析中的应用对于具有多个动态元件的复杂电路，除了将时域函数转换到复平面范围，利用欧拉公式转化为相量式，并用相量法求解外，我们也可以利用积分变换法求解复频域分析中的高阶微分方程。积分变换法是通过积分变换，把已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。求出频域方程后，再做反变换，返回时域，可以求得满足电路初始条件的原微分方程的解答，而不需要确定积分常数。拉斯变换是一种重要的积分变换，是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。例：t = 0时打开开关 ,求电感电流和电压。已知计算初值 画运算电路注意： ， 所以有： 所以的;一阶二阶电路应用在研究一阶电路和二阶电路中，所应用的方法是根据电路定律和元件的电压电流关系建立描述电路的方程，由上述讨论知，我们可以用相量法求解，但是对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解微分方程的方法比较困难。例如对于一个n阶微分方程，直接求解时需要知道变量及其各阶导数(知道n-1阶导数)在t=0时刻的值,而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0时刻的值，从这些值求得所需初始条件的工作量很大。 为简便求解各微