3数字信号处理讲义ch2_2dft性质

1、数字信号处理(Digital Signal Processing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地离散傅里叶变换(DFT)有限长序列的傅里叶分析离散傅里叶变换的性质利用DFT计算线性卷积利用DFT分析信号的频谱离散傅里叶变换的性质1.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFTDFT性质DFTax1k + bx2k= aDFTx1k+ bDFTx2k符号(k)N ： 表示对k进行模运算k = k1 + k2 N ,k1 = 0,1,L, N -1,(k )N= k1Zk2例：N=3，k= -3,-2,x1-1,x20 ,x01,x12,x23,x04x1x0x(k) N DFT性质

2、离散傅里叶变换的性质2. 循环位移(Circular shift of a sequence)循环位移定义为yk = x(k + n)N RN k DFT性质序列的循环位移过程x(k)5 xk , N = 5kk01234-5 -4 -3 -2 -10123456789x(k + 2)5 k-5 -4 -3 -2 -101234567x(k + 2)5 RN kk01234DFT性质离散傅里叶变换的性质DFT时域循环位移特性 DFSxk-mn N+n = WX mDFT频域循环位移特性 DFSWx k = X m + l lkNDFTW lk xk = X (m + l)RmNNNDFTx(k

3、 + n)N RN k = W -mn X mN离散傅里叶变换的性质3.对称性 (symmetry)周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为当序列xk为实序列时，周期偶对称序列满足当序列xk为实序列时，周期奇对称序列满足DFT性质xk = - x(-k )N RN kxk = x(-k )N RN kxk = - x *(-k ) N RN kxk = x *(-k )N RN k = x * N - k实序列序列xk 周期偶对称的例xk = x(-k ) N长度N=4的实

4、序列xkRN k 长度N=5的实序列xkkk012301234离散傅里叶变换的性质3.对称性 (symmetry)当xk是实序列时DFT性质X m = X * (-m )RmNNDFT x * (-k )Rk = X * mNNDFT x * k = X * (-m)RmNN例：已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X0=3.1,X2=2.5+4.6j,X4=-1.7+5.2j,X6=9.3+6.3j,X8=5.5-8.0j。确定DFT在奇数点的值。解：根据实序列DFT的对称特性Xm=X *(-m)NX1=X*(-1)9= X*8= 5.5+8.0j;X3=X*(-3)9= X*6= 9.3-

5、6.3j；X5=X*(-5)9= X*4= -1.7-5.2j;X7=X*(-7)9= X*2= 2.5-4.6j;可得离散傅里叶变换的性质4.序列的循环卷积DFT性质定 义 x k N xk= x (n)x(k - n)RkN -1121N2N Nn=0例:试计算如图所示序列N=4循环卷积xk,N=43h(-n) 41N2101123h(1-n)N0123hk10123h(2-n)N01231x k 4h k 0123432h(3-n)N1101230123Ndk-n=x(k-n)NRNkxk结论循环卷积的矩阵表示 y0 x2 0 y1 x1 =2 y2 x2 2 y3 x32例: xk=1

6、,2,3,4,hk=0,1,0,0，则N=4的循环卷积为4010110010102001 = yk = 20033004DFT性质 x1 0x1 3x1 2x1 1 x1x0x3x21111 x1 2x1 1x1 0x1 3 x3x2x1x01111卷积定理时域卷积定理:时域的卷积对应频域的乘积频域卷积定理:时域的乘积对应频域的卷积DFT性质DFTx k xk =1XmNXm12N12DFTx1k Nx2k= X1mX2m有限序列DFT与z变换的关系N -1- j 2 km= N -1-kX ( z )xk z= xk ej2 m NN= X m 2 pNz =ejz =emk =0k =0Im(z)z平面j 2pNm 2pNRe(z)01-1 2pN( N - 1)单位圆-jxk的Xm等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样由序列DFT表示序列z变换已知Xm，能否求得X(z)?IDFTxk Z变换 X (z)X m(内插公式)(1 - z -N ) N -1X mX (z) =-1-mNm=01 - zWN频域抽样任一序列 xk 的z变换 X(