QMChap4态和力学量的表象.ppt

1、第四章 态和力学量的表象,量子态是态矢量空间中的一个矢量，矢量可以选用不同的基底来表示，不同的基底也就是表象理论中的不同的表象。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前所采用的表象是坐标表象。这里我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克符号。, 态的表象,同一矢量用不同的基矢量来表示,基矢或者说基底有无穷多种取法， 因此一个矢量有无穷多种表示。,二、波函数 在Q表象的表示(分立谱) 1、定义 波函数 用力学量算符Q的本征函数展开所得到的全部展开系数组，称为量子态 在Q表象的表示。,2、矩阵表示 若,是 在Q表象中的表示,量子态 在Q表象的表示，用矩阵表示为 它的共轭为,所谓的Q表象

2、,实际上就是以Q算符的本征函数为基底的表象.,三、推广到连续谱,若Q算符的本征值是连续谱,即 (q是连续谱),我们不再推导而是直接由类比给出：,分立谱： 连续谱：,四. 坐标表象,五、动量表象的波函数,和 可以互求，它们包含同样多的信息。我们称这样做是变换到了动量表象, 可以称为动量表象中的“波函数”,动量表象基底为,动量表象中的归一化条件为： 证明:,例:自由粒子的波函数 自由粒子的德布洛意平面波是 它在动量表象中的表示是, 算符的矩阵表示,在坐标表象中：,在 表象中：,于是有：,可见 必是一矩阵。,一、算符的矩阵表示,以 um* 乘以上式并积分，得,写成矩阵形式如下,1. 以二阶矩阵为例复

3、习有关数学：,2.共轭转置矩阵和厄密矩阵 共轭转置矩阵的矩阵元之间有如下的关系,二、厄密算符的矩阵,于是我们知道，一个矩阵取其共轭转置，相当于矩阵转置 后再取复共轭。即,当一个矩阵等于它的共轭转置矩阵，即满足条件,时，称为厄密矩阵。由(4.2-6)式和(4.2-8)式可知，厄密矩阵的矩阵元满足下述关系,这一式子意味着，厄密矩阵的对角元（ ）为实数；而其余的 各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄反射对称的。量子 力学中要用厄密算符来描写力学量，所以同它们对应的矩阵必 是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数，由此也可得到厄 密算符的本征值必定是实数的结论。,厄密算符的矩阵是厄密矩阵：,三、算符在

4、自身表象中为对角阵,在其自身表象中的矩阵元,因此我们常说 表象为以 为对角线的表象。在 ， 为对角的表象即以 ， 的共同本征函数为基矢的表象。,四、推广到连续谱 分立谱 连续谱,五、既有分立谱又有连续谱,在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。,算符的矩阵元为:,例如算符F在坐标表象中的矩阵元:,4.3 量子力学公式的矩阵表示,一、平均值公式（ 不显含t）,二、薛定谔方程,用 左乘上式两边并积分：,薛定谔方程在Q表象中的表示,具体写成矩阵表示,三、本征方程,1. 本征方程,2. 求解本征值和本征矢 将(1)式中等号右边部分移至左边，得：,方程（2）是一个线性齐次代数方程组：,这个方程组有非零解的

5、条件是系数行列式等于零，即：,方程（3）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组 值 它们就是F的本征值。把求得的i 分别代入 （2）式中就可以求得与这i 对应的本征矢 其中i=1,2, n, 。,例题: 在Q表象的基矢有两个: 算符F有如下性质:,1)求F的本征值和本征函数. 2)已知粒子状态为 测量力学量F的可能值及相应的几率和平均值.,解: 1)先求出F的矩阵.由公式:,最后得到矩阵:,算符的本征值方程为,把方程变形,a和b有非零解的条件是系数行列式等于零,得到两个本征值:,下面来求对应的本征函数,我们得到第一个本征函数为,同理,我们可得到第二个本征函数为:,b可以由归一化条件来确定,2)

6、求测量的可能值及相应几率,所以测量F得到 4 和 -1 的几率分别是,在Q表象中矩阵,求平均值,另一种方法, 幺正变换,本节研究表象间的变换。事实上数学中已讨论过，从一组幺正基到另一组幺正基的变换通过一个幺正变换。,2. 变换矩阵,用矩阵表示为:,显然变换矩阵完全由两表象的基底确定。 事实上，表象间的各个量的变换将都由S矩阵决定。,二. 幺正变换,线性代数中已证明了，从一组正交归一基到另一组正交归一基的变换矩阵是幺正矩阵。下面我们来证明上面的变换矩阵是幺正矩阵,证明: (先证明前一部分),再来证明另一式，,三. 力学量算符的表象变换,已知基底变换 其中,写成矩阵形式即,此即力学量由A表象到B表

7、象的变换公式。,具体地可以写成:,四. 波函数的表象变换,下面讨论态的表象变换,写成矩阵形式即,简单地可以写为:,这里是S+矩阵,五. 幺正变换的重要性质,1. 幺正变换不改变算符的本征值,若算符F在A表象中的本征值方程为:,（矩阵形式）,变换到B表象,在B表象中算符的表示：,本征矢在B表象中表示：,上面表明，算符的本征值不因表象的改变而改变。,这里是算符的本征值,2. 幺正变换不改变矩阵的迹,我们在这里应用了公式：,3. 幺正变换不改变矢量的内积, 狄喇克(Dirac)符号,在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指明坐标系。 同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体表象。这种描写

8、的方式是狄喇克最先引用的，这样的一套符号就称为狄拉克符号。 它有简明和使用方便的优点,在文献中被广泛应用.,1. 定义右矢和左矢,微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 ，称为右矢，表示某一确定的右矢A，可以用符号 微观体系的状态也可以用另一种矢量来表示，这种矢量符号是 ，称为左矢。表示某一确定的左矢B可以用符号 。 右矢和左矢是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种表象中的相应分量互为共厄复数。,例如:,分别表示坐标算符,动量算符,能量算符和角动量算符的本征态.,例如:,左矢和右矢二者的关系可以简单表示：,2. 定义内积,态的归一是,两态正交是,二. 算符的定义,显然有,例如

9、:,算符是对右矢的运算,1. 在Q表象中和表示,用 左乘展开式两边,三. 表象,即:,2. 在x表象中的表示,下面我们来求波函数的Dirac符号表示,波函数用Drac符号表示为:,或者 其共轭式为,3. 定义单位算符:,应用例子：,单位算符在狄拉克符号的运算中十分有用,4.算符F在Q表象中的表示矩阵,算符的定义式,用 左乘上面等式两边,显然与前面讨论的结果完全一致。,例写出: 在Q表象中表示,因为已知 所以有,用前面的符号表示,5. 的共轭式,上式中，由于是 任意基矢，于是有,因此我们得到如下共轭关系,平均值公式是:,Q表象基矢量集 的正交归一性可表为,态矢量在Q表象 中的展开式是,算符F在Q表象 中的矩阵元是,下面把一些重要的式子再专门列出:,现将一些公式的通常写法与用狄拉克符号的写法对照如下：,例：Dirac符号在表象变换中的应用 表象变换公式只是简单地插入单位算符,选用不同的表象来描写态函数和经典力学中选用不