3.导数应用3.ppt

1、3 导数与微分的应用,3.1 拉格朗日中值定理 3.2 导数在求极限中的应用 3.3 函数单调性的判别法 3.4 函数的极值及其求法 3.5 最大值、最小值问题 3.6 函数的凹凸性与拐点 3.7 函数图像的描绘,本章介绍如何应用导数与微分来研究函数以及曲线的某些性态。,3.1 拉格朗日中值定理,中值定理是导数应用的理论基础。本节介绍最具一般性的拉格朗日中值定理。,定理3.1 (拉格朗日中值定理),(Lagrange mean-value theorem),设 y=f(x) 满足： (1) 在闭区间a, b上连续； (2) 在开区间(a, b)内可导。 则在开区间(a, b)内至少存在一个点，

2、使得,如果连续曲线 y=f(x) 的弧 AB 上除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C (, f () 使曲线在C处的切线 平行于割线AB：,a,A,b,B,C,y=f(x),说明：,(1) 中值定理的几何意义：,(2) 中值定理的物理意义：,路程函数为 s=f(t) 的物体作变速直线运动，物体在某时刻 t0 的瞬时速率 f (t0) 等于物体在(a, b)上的平均速率。,(3) 中值定理的医学意义：,医学数学模型 y=f(t) 在某 (c, f(c) 处的瞬时变化率等于 y=f(t) 在 (a, b) 上的平均变化率。 即：在变量变化过程中，至少有一个时刻的变化率等

3、于平均变化率。,(4) 的个数，的位置？,不确定。,(5) 如果 f(b)=f(a)，定理结果如何？,至少存在一个点 ，使得,显然，函数 y= x3+2x 在闭区间0, 1上连续,在开区间(0, 1)内可导。,例3.1.1,验证拉格朗日中值定理对函数 在区间0, 1上的正确性。,验证：,由于,由拉格朗日中值定理，要使,必有,即,显然， (0, 1)。,令 f(x) = arcsinx + arccosx 。,证明恒等式,例3.1.2,证明：,由拉格朗日中值定理，存在 (0, x) ，使得,又,从而,即,显然，函数在,0, x 上连续，在 (0, x) 内可导。,令 f(x) = arctanx

4、 。,证明不等式,例3.1.3,证明：,由拉格朗日中值定理，存在 (a, b) ，使得,又,从而,证毕。,显然，函数在 a, b 上,满足拉格朗日中值定理的条件。,3.2 导数在求极限中的应用,两个无穷小(或无穷大)的比的极限可能存在，也可能不存在。通常把这种极限称为未定式，用形式0/0 型(/)来表示。,利用导数可以方便地求出未定式极限。,型未定式极限,定理3.2 (洛必达法则-Ruleof LHospital ),如果,(2) f (x)和 g(x)在点a 附近存在，且 g(x)0；,(1),(3),存在（或为无穷大），则,定理的结论对 xa+、xa- 或 x等,说明：,若新表达式仍为不定

5、式，且满足定理条件，则可继续使用该法则。,也有同样的结论。,（或为无穷大）；,用 LHospital 法则求下列极限：,例3.2.1,(1),(2),(3),(4),(5),用 LHospital 法则求下列极限：,例3.2.2,(1),(2),以上两例说明：当x+时，虽然对数函数，幂函数和指数函数均趋于无穷大，但指数函数增长较快，幂函数次之，对数函数增长较慢。,其它情形的未定式极限：,0， -， 0， 00， 1,它们均可转换为 0/0型 或 /型。,其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5. 求,解: 原式,解: 原式,例6. 求,通分,取倒数,取对数,例7. 求,解:,利用

6、例5,通分,取倒数,取对数,例8. 求,解:,注意到,原式,不能用 LHospital 法则的例子：,例3.2.4,(1),(2),定理失效！,定理失效！,例3.,例4.,说明:,1) 例3 , 例4 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如,而,用洛必达法则,2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,3) 若,例如,极限不存在,求,例3.2.5,4） LHospital 法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。,解：,如直接用 LHospital 法则，显然分母的导数(尤其是高阶导数)较繁。如果用一个等价无穷小替代，运算就方便得多：,3.

7、3 函数单调性的判别法,本节介绍利用导数来判别函数的单调性。,定理3.4 (函数单调性的导数判别法 ),如果 f(x) 在a,b上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内,1) 如果 f (x) 0，那么 f (x) 单调上升；,2) 如果 f (x) 0，那么 f (x) 单调下降。,证明：,关键步骤：利用 Lagrange 中值定理。,详见P.71,提供了判断函数单调性的方法,例3.4.1,讨论函数 f (x) = x3-27x+5 的单调性。,解：,由定理3.4，利用导数来判别函数的单调性：,f (x) = 3x2-27,= 3(x+3)(x-3),列表讨论如下：,该函数的定义域为 (

8、-, +)。,所以， f (x)在(-, -3)，(3, +)内递增；在(-3, 3)内递减。,例3.4.2,讨论函数 的单调性。,解：,x 0 时，,列表讨论如下：,该函数的定义域为 (-, +)。,x = 0 时，函数不可导。,o x,y,所以， f (x)在(0, +)内递增；在(-, 0)内递减。,利用函数的单调性可以证明不等式。,例3.4.3,证明 arctanx0)。,证明：,令 f(x) = arctanx - x,由定理3.4知， f(x) 单调递减。,则,故当 x0 时， f(x) f (0) = 0，,即 arctanx x。,3.4 函数的极值及其求法,3.4.1 极值的

9、概念3.4.2 极值的求法,3.4.1 极值的概念,定义3.1,设函数 f(x) 在 x=x0 的某邻域内有定义，如果对该邻域内任意的 x (xx0)，均有,f(x0) f(x),则称f(x)在x0取得极小值(relative minimum) f(x0)，,并称点 x0 为 f(x) 的极小值点。,如果对该邻域内任意的 x (xx0)，均有,则称f(x)在x0取得极大值 (relative maximum) f(x0)，并称点 x0 为 f(x) 的极大值点。,f(x0) f(x),1. 极值表示函数的局部性质还是整体性质？,2. 极大值一定比极小值大吗？,a b,x1 x2 x4 x5 x

10、6 x7,3.4.2 极值的求法,定理3.5 (函数取得极值的必要条件 ),设y=f(x)在x0处有极值，且 f (x0)存在，则,1) 使函数的一阶导数为零的点叫函数的驻点。,可导的极值点必然是驻点。,f (x0) = 0,说明：, 利用函数的导数判断极值,a x1 x2 x4 x5 x6 b,a x1 x2 x4 x5 x6 b,2) 几何上，可导的极值点处切线是水平的。,说明：,3) 导数不存在的点是否可能是函数的极值点？,x7,4) 驻点是否一定是函数的极值点？,x3,首先考察下列函数的图形:,定理3.6 (函数极值的一阶导数判别法 第一充分条件),设 y=f(x) 在 x0 的邻域内

11、可导，f (x0)=0 (或不存在)。当 x 递增变动经过 x0 时：,1) 若 f (x) 由负变正, 则 f(x) 在 x0 处有极小值 f(x0)；,2) 若 f (x)由正变负, 则 f(x) 在 x0 处有极大值 f(x0)；,3) 若 f (x) 的符号不变，则 f(x) 在 x0 处没有极值。,a x1 x2 x3 x4 x5 x6 b,x7,例3.5.1,求函数 f(x)=x3-6x2 +9x+5 的极值。,解：,f(x) 的定义域为(- , +)。,f (x) = 3x2-12x+9,= 3(x-1)(x-3)，,令 f (x) =0, 得驻点 x1=1, x2=3。,f (

12、x) 处处可导。,列表如下：,故 f (x) 在 x=1 有极大值 f (1)=9；在 x=3 有极小值 f (3)=5 。,求函数 的极值。,例3.5.2,解：,f(x)的定义域为(-, +)。,x2时，,列表如下：,x=2时， f (x) 不存在。,o x,y,2,1,求函数 的极值。,例3.5.3,解：,f(x)的定义域为(-, +)。,f (x) =x3+x2-x-1=(x+1)2(x-1),令 f (x) =0 得：x1= -1，x2=1,f (x) 在(-, +)内处处可导。,故 f (x) 在 x2=1 处取得极值 f (1) = -11/12 。,驻点和导数不存在的点为可能的极

13、值点。,定理3.7 (函数极值的二阶导数判别法 第二充分条件),设 y=f(x) 在点 x0 二阶可导，f (x0)=0。则,1) 若f (x0)0, 则 f(x) 在x0处有极小值 f(x0)；,2) 若f (x0)0, 则 f(x) 在x0处有极大值 f(x0)；,3) 若f (x0)=0 ，则不能判断 f(x) 在x0有无极值。,求函数 f (x) =ex + e -x 的极值。,例3.5.4,解：,f(x)的定义域为(-, +)。,f (x) = ex - e -x,驻点：x=0； f (x)在(-, +)内处处可导。,f (x)= ex + e -x,f (0)= 2 0,由极值的第

14、二充分条件知，f(x)在 x = 0 有极小值 f (0) = 2。,求证函数 f (x) =ex sinx有无穷多个的极大（小）值。,例3.5.5,解：,f(x)的定义域为(-, +)。,f (x) = ex (sinx+cosx),且 f (x)在(-, +)内处处可导。,令 ，得驻点：,f (x),有,(1)故当： 时，驻点,即f(x)在 有极小值,有,(2)故当： 时，驻点,即f(x)在 有极大值,3.5 最大值、最小值问题,将函数的极值与边界点的函数值作比较，可以确定函数的最大值与最小值。实际操作步骤为：,1) 求出驻点处与不可导点处的函数值；,2) 求出讨论区间端点处的函数值；,3

15、) 比较以上三种函数值的大小，即可得出函数的最大值与最小值。,最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),求函数 f (x)=2x3+3x2 -12x+14 在 -3, 4 上的最大值和最小值。,例3.6.1,解：,f (x) = 2x3 + 3x2 12x + 14，,由于 f (

16、-3)=23，f (-2)=34， f (1)=7，f (4)=142，,f (x) = 6x2 + 6x 12 = 6(x+2)(x-1)，,解方程 f (x) = 0，得 x1= -2，x2=1，,比较可得， f (x) 在 x =4 取得它在 -3, 4 上的最大值 f (4)=142；在 x =1 取得它在 -3, 4 上的最小值 f (1)=7。,实际判断原则,实际问题中，往往可根据问题的性质来判定函数的最大值和最小值，而免去繁复的验证。,例如口服某种药物以后，体内的血药浓度变化过程中的极值即为最大值；用一定长度的材料制作窗框，其所围面积的极值即为最大值；,P. 例,设容积(体积)为

17、 V , 半径为 r , 高为 h .,用料最省即指容器的表面积 A 最小.,应用题,解,又 A 的最小值一定存在 ,故当要求的容器的容积为 A 时 , 选择半径,某出版社出版一种书, 印刷 x 册所需,成本为,每册售价 p 与,假设书可全部售出, 问应将价格 p 定为多,少才能使出版社获利最大？,由经验公式, 得,于是,得唯一极值可疑点,解,即为 Q 的最大点 .,从而应将价格 p 定为,此时最大获利为,例. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知

18、 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,我们说一个函数单调增加, 你能画出函数,所对应的曲线的图形吗?,.,.,曲线的凹凸性、拐点,3.6 函数的凹凸性与拐点,本节介绍利用二阶导数来研究函数所表示的曲线的弯曲状况。,定义3.2,凹曲线(concave) : 曲线在切线的上方；,凸曲线(convex) : 曲线在切线的下方；,拐点(point of inflection): 曲线凹凸变化的分界点.,凹曲线,凸曲线,拐点,M,凹曲线,凸曲线,观察下图中切线斜率(即一阶导数)的变化情况：,x1,x2,x3,x4,x5,定理3.8 (函数凹

19、凸性的二阶导数判别法),设 y=f(x) 在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则,若在(a,b)内 f (x)0, 则曲线 y=f(x) 在(a,b)内是凹的；,2) 若在(a,b)内 f (x)0, 则曲线 y=f(x) 在(a,b)内是 凸的；,3) 若在 x0 附近当 x 从左至右经过 x0 时 f (x) 改变符 号，则点 x0 是曲线 y=f(x) 的拐点。,求函数 f(x)=3x4-4x3+1 的拐点，并讨论其所表示的曲线的凹凸性。,例3.7.1,解：,函数的定义域为(- , +)，,f (x) = 12x3-12x2，,f (x)= 36x2-24x = 12x(3x-2)，,令

20、f (x)= 0，得 x1 = 0，x2 = 2/3。,列表讨论如下：,所以， x=0 是函数的拐点。函数的曲线在(-, 0)和(2/3, +)内是凹的，在(0, 2/3)内是凸的。,求函数 的拐点。,例3.7.2,解：,函数的定义域为(- , +)，,方程 y= 0 无解；,x=0 时， y 不存在。,列表讨论如下：,可见，函数的拐点为 x=0 。,问：曲线 y=x4 是否有拐点？,例3.7.3,解：,显然，只有x=0是方程 y=12x2 =0 的根。,但当 x0 时， y0，因此 (0, 0) 不是曲线的拐点。,曲线在 (-, +) 内是凹的，它没有拐点。,3.7 函数图像的描绘,确定函数

21、y=f(x)的图像的一般步骤：,确定函数y=f(x)的定义域、值域； 讨论基本特性(奇偶性、周期性、对称性)； 利用一阶导数确定单调区间、极值、极值点； 利用二阶导数确定凹凸区间、拐点； 利用极限确定渐近线(水平、垂直、斜线)； 描点 (使一阶导数为零的点、使二阶导数为零的点、与坐标轴的交点、必要时补充一些辅助点)； 结合 3、4、5 步的结果，联结6步中的点画出图形。,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,曲线的渐近线,定义 . 若曲线 C 上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,1.

22、 水平与垂(铅)直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,( P75 题13),例2. 求曲线,的渐近线 .,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,(1) 定义域为(-, +) ；,例3.8.1,描绘函数 y = x3-x2-x+1 的图形。,解：,(2) 令 y=0, x = -1/3 和 1；令 y = 0, x = 1/3.,以点 x = -1/3, x = 1/3 和 x=1 把定义域划分为四个部分列表讨论如下：,极大 32/27,极小 0,拐点 16/27,(3) 没有渐近线。,极大 32/27,极小 0,拐点 16/27,x,o,y,1,-1,(-1/3, 32/27 ),(1/3, 16/27 ),1,(3/2, 5/8 ),(4) 描点：,(-1,0), (-1/3, 32/27 ), (