微积分的创立 数学史.ppt

1、微积分的创立,解析几何是代数与几何相结合的产物，它把变量引入数学，使得人们借助于数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，同时也为微积分的创立奠定了基础。微积分的创立是17世纪数学最重要的成就之一，也是科学技术发展史上最重大的事件之一。,牛顿称微积分为“流数术”，这个名称后来逐渐被淘汰。莱布尼茨使用了“差的计算”与“和的计算”。后来，“差的计算”变成专门的术语“微分学（calculus differentialis）”，而“和的计算”变成“积分学（calculus summatorius）”，两者合起来就是微积分（calculus）。,在中国，1859年5月10日，上海印刷发行了李善兰和伟烈

2、亚历合译的代微积拾级。原书是罗密士的解析几何与微积分基础。译名的“代”指的是解析几何（原译名为代数几何，解析几何为日文译名），“微”指微分，“积”指积分。Cululus译作“微积”。李善兰序中说：“是书先代数，次微分，由易而难，若阶级之渐升。”故名“拾级”。这就是中国微积分名称的来源。把calculcus译成“微积分”，可能是依数书记遗“不辩积微之为量，讵晓百忆于大千”句，取“积微成著”之义，译名反映了李善兰对概念的科学内容的深刻理解，并表现了汉学的高深造诣。,微积分产生的背景,事实上，“无限细分，无限求和”的微积分思想，在古代的西方和中国早就已经开始萌芽。 两千多年以前的古希腊时代，地中海沿

3、岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力，因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子；那时也已经出现了水轮机，利用流水的冲力推动水轮转动，水轮又经过齿轮的作用带动碾磨。为了精密地制造这些工件，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分、无限求和”的微积分思想的萌芽。,微积分产生的背景,古希腊科学家阿基米德在解决许多实际问题的同时，研究了圆的周长和面积的计算问题，他利用圆的内接正多边形和外切正多边形来推算，边数越多，圆和多边形就越接近。从圆心到多边形顶点的半径把多边形分成一个个三角形。也同时把圆分成一个个扇形。多边形的边数越多，三角形就越接

4、近扇形，三角形的底边（即多边形的一条边）便近似于扇形的圆弧；三角形的面积便近似于扇形的面积；各个三角形底边之和便近似于圆的周长；各个三角形面积之和就近似于圆的面积，而且随着边数的增多，这种近似就变得越来越精确。,微积分产生的背景,阿基米德从最简单的六边形一直做到96边形，得出圆周长和圆的直径的比值（圆周率）是3(10/71)与3(1/7)之间的数。在这个计算工作中，已包含了“无限细分，无限求和”的微积分思想，多边形不断增多边数，这就是对于圆周“无限细分”，由许多三角形的总和来求圆周长及圆面积，这就是“无限求和”。,微积分产生的背景,我国古代，也早就有了微积分思想的萌芽。 西汉刘歆在西京杂记中提

5、到的“记里车”，东汉张衡制造的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进的“木牛流马”，都要设计制造圆形的物件，从而产生了魏晋时刘徽提出的“割圆术”。 他从圆内接正六边形做起，令边数成倍的增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，直到正3072边形，用这个正3076边形面积来逼近圆面积，就得到的较精确值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”是思想方法。,微积分产生的背景,到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。开普勒根据长期的天文观测资料，总结出行星运动的三大定律；伽利略发现了自由落体的运动规律，这个

6、规律可表示成著名的公式S=1/2gt2；,微积分产生的背景,笛卡儿关于几何学的工作及费马对极值问题的研究，特别是他们关于解析几何的工作，开始有了变数概念，并把描述运动的函数关系和几何中曲线问题的研究统一起来了。,微积分产生的背景,问题1：求自由落体在下落后1秒钟这个时刻的瞬时速度？ 问题2：求一个曲边三角形的面积。 这两个问题在形式上虽然很不相同，但解决这些问题的基本思想却是一样的。前者属于微分学问题，后者属于积分学问题。用微积分解决问题的基本思想是先在局部“以不变代变”或“以直代曲”，求得所求量的近似值，然后在无限变化的过程中实现近似转化为精确。,先驱们的探索,17世纪以前，人类关于数学的知

7、识基本上还停留在初等数学的水平上，即常量数学的阶段。从17世纪中叶到18世纪末，欧洲工业革命的兴起，广泛地采用了机器，为了设计和制造机器，就需要掌握机械运动的规律；水运的改进要求了解物体在液体中的运动规律；船只稳定性的研究促进了质点力学的发展；为了适应对外扩张和争霸的需要，战争中广泛使用枪炮，这就要研究抛射体的运动，所有这些生产和技术中出现的问题迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，但这些学科都是离不开数学的，因而也就推动了数学的发展。,先驱们的探索,17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家们的面前。 几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这

8、些难题的新的数学工具上来。 他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法，这些问题可以分为以下四类：,先驱们的探索,第一类是已知物体移动的距离可以表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，已知物体的加速度表示为时间的函数，求速度和距离。 第二类是求曲线的切线。 第三类是求函数的最大值与最小值，例如抛射体获得最大射程时的发射角，行星离开太阳的最远和最近距离等问题，这方面的工作是由开普勒的观测开始的。 第四类是求曲线的长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一个体积相当大的物体（例如行星）作用与另一个物体上的引力等。,科学的巨人牛顿,牛顿（Isaac Newto

9、n，16421727）诞生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯索普的一个农民家庭。在他出生之前，他的父亲已去世。3年后，他的母亲迫于贫苦再嫁给一位牧师，把牛顿留给祖母抚养。8年之后，牧师病故，牛顿的母亲带着和后夫所生的一子二女又回到乌尔斯普。牛顿自幼沉默寡言，性格倔强，这种习性可能来自他的家庭处境。,科学的巨人牛顿,牛顿12岁时才进入离家不远的格兰瑟姆中学学习。牛顿的母亲原希望他成为一个农民，赡养家庭，但牛顿本人却酷爱读书，以至经常忘了干活。随着年岁增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科学小试验。他在格兰瑟姆中学读书时，曾寄寓在一位药剂师家里，使他受到化学实验的熏陶。牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是

10、爱好读书，对自然现象有好奇心，例如颜色、日影四季的移动，尤好几何学、哥白尼的日心说等等。他还分门别类地记读书心得笔记，又喜欢别出心裁地做些小工具、小技巧、小发明、小试验。,科学的巨人牛顿,当时英国社会渗入基督教新教思想，牛顿家里有两位都以神父为职业的亲戚，这可能影响牛顿晚年的宗教生活。 从这些平凡的环境和活动中，看不出幼年的牛顿是一个才能出众异于常人的儿童。然而格兰瑟姆中学的校长J.斯托克斯，还有牛顿的一位当神父的叔父W.艾斯库别具慧眼，鼓励牛顿上大学读书。在他们的鼓励下，牛顿于1661年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院，1664年成为奖学金获得者，1665年获学士学位。,科学的巨人牛顿,1

11、7世纪中叶，剑桥大学的教育制度还渗透着浓厚的中世纪经院哲学的气味。当牛顿进入剑桥大学时，那里还在传授一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等等。,科学的巨人牛顿,两年之后三一学院出现了新气象。H.卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座，规定讲授自然科学知识如地理、物理、天文和数学课程。讲座的第一任教授就是巴罗。在巴罗的指导下，牛顿掌握了算术、三角，学习了欧几里得的几何原本。并阅读了开普勒的光学、笛卡儿的几何学和哲学原理、伽利略的关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话、R.胡克的显微图集和华莱士的无穷算术等著作，特别是笛卡儿的几何学和华莱士的无穷算术对他数学思想的形成尤为重要。,科学的巨人牛顿,

12、1665年8月，剑桥大学因为瘟疫流行而停课放假，牛顿回到故乡乌尔斯索普，在家乡躲避瘟疫的这两年间，牛顿思考了自然科学领域中的一些前人从未思考过的问题，踏进前人没有涉及的领域，创建了前所未有的惊人业绩。,科学的巨人牛顿,1665年初他创立了级数近似法以及把任何幂的二项式化为一个级数的规则。同年11月，创立了正流数法（微分）；次年1月，研究颜色理论；5月，开始研究反流数法（积分）。 这一年内，牛顿还开始研究重力问题，并试图把重力理论推广到月球的运行轨道上去。他还从开普勒定理中推导出使行星保持在他们轨道上的力必定于它们到旋转中心的距离平方成反比。,科学的巨人牛顿,牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传说，

13、说的也是在此时发生的轶事。总之，在家乡居住的这两年中，是牛顿科学生涯的黄金岁月，他一生中的许多重大科学思想和创造都是在这短短两年期间孕育、萌发和形成的。 牛顿的自然哲学的数学原理发表300周年纪念邮票。,科学的巨人牛顿,1667年牛顿重返剑桥大学，10月1日被选为三一学院的仲院侣，次年3月16日选为正院侣。巴罗对牛顿的才华非常赏识，1669年10月27日巴罗便让年仅26岁的牛顿接替他担任卢卡斯讲座的教授。1672年起他被接纳为皇家学会会员，1703年被选为皇家学会主席直到逝世。 剑桥大学三一学院教堂内的牛顿塑像,科学的巨人牛顿,牛顿在写作自然哲学之数学原理之后，厌倦了大学教授的生活，他得到在大

14、学学生时代结识的一位贵族后裔C.蒙塔古的帮助，于1696年谋得造币厂监督职位，1699年升任厂长，1701年辞去剑桥大学工作。当时英国币制混乱，牛顿运用他的冶金知识，制造新币。因改革币制有功，1705年受封为爵士。晚年研究宗教，著有圣经里两大错讹的历史考证等文。牛顿于1727年3月31日在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，以国葬礼葬于伦敦威斯敏斯特教堂。,科学的巨人牛顿,牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年秋，当时他认真研究了笛卡儿的几何学，对笛卡儿求曲线的切线方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找更好、更一般的方法。 1666年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分的论文流数短论，在该文中首次提出流数的概念，

15、所谓流数就是速度，在变速运动中速度的路程对时间的微商。至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加速度是速度的微商。,科学的巨人牛顿,1669年，牛顿又完成了关于微积分的第二篇论文运用无穷多项方程的分析学。牛顿在这里不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且还证明了面积可以由变化率的逆过程得到。这一事实实际上已经初步给出了微积分基本定理。不过也可以明显看出，牛顿在这里回避了运动变化的观点而将无限小增量“瞬”看作是静止的无限小量，并在某些情况下直接令其为0，这就带有了浓厚的不可分量的色彩。,科学的巨人牛顿,1671年，牛顿关于微积分的第3本论著流数术和无穷级数写成（1736

16、年出版）。在这部著作中，他恢复了在流数短论中采用的运动观点。对以物体运动为背景提出的流数概念作了进一步的论述，并清楚地称述了流数术所提出的中心问题是： 已知流量间的关系，求流数关系（即微分法）； 已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系（即积分法）。,科学的巨人牛顿,1676年，牛顿完成了他的第4篇论文曲线求积论（1704年发表），这是他最成熟的一部微积分论著。在这部著作中，他改变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做法，认为“数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。”为此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时的最后比。,科学的巨人牛顿,牛顿

17、的流数术，除了他的少数几个朋友之外，长久没有人知道，上述论著也都是在写出很长一段时间后才正式发表的。牛顿微积分学说最早的公开表述是在1687年出版的巨著自然哲学之数学原理中，这本书也是在他的朋友哈雷的鼓励和敦促下出版的，这是他一生主要工作的总结，也是科学史上的一件大事。,科学的巨人牛顿,科学的巨人牛顿,在这部著作中，牛顿以几何的语言介绍了他的“首末比方法”，并对此作出解释：“量在其中消逝发最后比，严格地说，不是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限。它与这个极限虽然比任何给出的差更小，但这些量在无限缩小以前既不能超过也不能达到这个极限。”表现出牛顿曾经试图以极限的方式作为微积分基础的

18、强烈倾向。但牛顿并没有完全放弃无穷小的观念，他在创导首末比的同时也保留了无限小瞬即不可分量的思想，尽管这种做法被有些人认为是自相矛盾，但客观上也反映了牛顿曾试图对微积分的基础给出不同的解释，这正表明了他对如何建立严格的微积分基础进行了谨慎的思考。,科学的巨人牛顿,除了对微积分的重要贡献之外，牛顿还在函数理论、无穷级数、微分方程、变分法、代数和解析几何等领域都有杰出贡献。 许多人对他由衷的敬佩，连与他同时代的莱布尼茨也对牛顿倍加赞誉：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半。” 拉格朗日更不是不吝言辞地说道：“他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人因为这个宇宙体系只能被发

19、现一次。” 连诗人蒲普在诗中说：“宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里，神说：让牛顿降生吧！一切都会是光明的。”,科学的巨人牛顿,然而就这样一位科学巨人，却是十分谦虚的，他曾经说过：“我不知道世人把我看成什么样的人。但是，对于我自己来说，就像一个在海边玩耍的孩子，有时找到一块比较平滑或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前的却是完全没有被发现的真理的海洋。” 并称：“如果我比别人看得更远，那只是因为我站在了巨人的肩上。”,科学的巨人牛顿,1727年牛顿去世，被葬于伦敦威斯特敏斯特大教堂，葬仪十分隆重。 正如法国文学家伏尔泰所说：“我曾见过一位数学教授，只是由于他贡献非凡，死后葬仪之显赫犹如一位贤君。”,

20、多才多艺的数学大师莱布尼茨,与牛顿分享微积分创立的荣誉的德国数学家莱布尼茨（Gottfrid Wilhelm Leibniz，16461716）出生与德国莱比锡，是微积分的另一个奠基者，他的学识包括哲学、历史、生物学、机械、物理、数学、神学等等。,多才多艺的数学大师莱布尼茨,莱布尼茨于1661年（15岁）考入莱比锡大学学习法律，同时努力学好各门功课。那时德国大学水平是很低的，欧几里得几何学的教师讲解含糊不清，除了莱布尼茨外，便没有人能听懂。高等数学是完全没有的。1666年莱布尼茨发表了一篇关于数理逻辑的论文，虽然是极不成熟的作品，但已显示出他的数学才能。,多才多艺的数学大师莱布尼茨,1672年

21、，他在巴黎见到了惠更斯，在惠更斯的鼓励下，开始深入研究数学，在1673年访问伦敦时，他会见了许多数学家，学到了不少关于无穷级数的知识，获得了一本巴罗的几何讲义，还知道了牛顿的一些工作。 回巴黎后，他研究了卡瓦列利、伽利略、帕斯卡、笛卡儿等人的数学著作。他在求积问题的研究中的第一批成果之一是求出一个单位圆的面积是无穷级数1-1/3+1/5-1/7+的四倍，即5/=1-1/3+1/5-1/7+。,多才多艺的数学大师莱布尼茨,在他以后的研究中，主要以后的研究中，主要致力于切线问题以及求积问题，并根据巴罗的“微分三角形”，终于在1684年（牛顿自然哲学之数学原理出版前3年）发表了他的第一篇微分学论文，

22、这是世界上最早的微积分文献。 这篇论文有一个很长而古怪的标题：“一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算。”,多才多艺的数学大师莱布尼茨,多才多艺的数学大师莱布尼茨,这篇仅6页纸、内容并不丰富、说理也颇为含混的文章，却具有划时代的意义。 它已含有现代的微积分符号和基本微分法则：dax=adx；d(z-y+w+x)=dz-dy+dw+dx；duv=udv+vdu。导数记作dx:dy，在1675年的手稿中记作dx/dy，1676年记作dy/dx，后来在1693年的另一篇论文中用ddx:dy2表示2阶导数。1684年的论文还给出极值的条件是dy=0，拐点的

23、条件是d2y=0。,多才多艺的数学大师莱布尼茨,莱布尼茨断定一个事实：作为求和过程的积分是微分的逆。这种想法已出现在巴罗和牛顿的著作中，他们用反微分求得面积，但莱布尼茨是第一次表达出求和与微分之间的关系。 这一关系的现代表述就是众所周知的牛顿-莱布尼茨公式：设f(x)是a,b上连续，且当xa,b时，F(x)=f(x)，则 f(x)dx=F(b)-F(a)。 这一结论出现在莱布尼茨1677年的一篇手稿中。,多才多艺的数学大师莱布尼茨,1686年，莱布尼茨在学艺上发表了题为深奥的几何不可分量及无限的分析的第一篇积分学论文。在这篇论文中，他初步论述了求积（积分）问题与切线（微分）问题的互逆关系。 莱

24、布尼茨还是历史上最大的符号学者之一。他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。他煞费苦心地研究，要把记号选得最好。当然，他的dx,dy和dx /dy仍然是标准的。,多才多艺的数学大师莱布尼茨,莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。 莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共轭复数的和是实数等结论。在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。 他还对线形方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。,多才多艺

25、的数学大师莱布尼茨,此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。 1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工具的又一进步。 他还系统地阐述了二进制记数法，并把它和中国的八卦联系起来，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。,多才多艺的数学大师莱布尼茨,莱布尼茨的物理学成就也是非凡的。 在光学方面，莱布尼茨也有所建树。 另外，莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。,多才多艺的数学大师莱布尼茨,在中国近况一书的绪论中，莱布尼茨写到：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过”。“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分仲