北京交通大学概率论课件第一章.ppt

1、概率论与数理统计,（面向工科各专业）,教材 概率论与数理统计 北京交通大学概率统计课程组编 科学出版社参考书 1. 概率论与数理统计（盛聚等编4版 高教出版社） 2.概率论与数理统计教程（茆诗松等编 高教出版社） 主讲人：张作泉 教授 博导 （北京交通大学理学院） ,1. 考试内容：本学期第一次考核内容为第一章和第二章，第二次考核内容为第三章、第四章和第五章，第三次考核为期末考试，考核全部内容，即前六章。 2. 期末最终成绩构成：两次月考各占10%，共占20%，作业与考勤占20%（其中，三次随机点名不到或者严重违纪者取消考试资格；旷课一次扣3-5分; 作业一次不交扣2分，扣完为止），期末占60

2、%。,学 期 考 核,本课程ABC,国内有关经典著作,国外有关经典著作,概率(或然率或几率) 随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题

3、作出推断或预测，直至为采取一定的决策,策和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.,数理统计与概率论是两个有密切联系的学科 , ,但在研究问题的方法上有很大区别：,概率论 已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;,数理统计 通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性.,数理统计的核心问题由样本推断总体,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,1. 气象、

4、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,6. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程 来描述;,7. 研究化学反应的时变率，要以马尔,序列分析方法非常有用;,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,8. 生物学中研究 群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流行问

5、,题要用到多变量非线性生灭过程,9. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数.,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学试验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：, 1 随机试验（random experiment ）,第一章 概率与随机事件,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。,E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E5：记录寻呼台一昼夜接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录

6、某地一昼夜的最高温度和最低温度。,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,返回主目录,随机试验,这些试验具有以下特点：,可以在相同的条件下重复进行；,每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明 确试验的所有可能结果；,我们把满足以上三个特点的试验称为随机试验。,第一章 概率与随机事件,一 样本空间 二 随 机 事 件,P (2)取了n次都未取出黑球的概率,则,第一章,条件概率,返回主目录,解：,第一章,条件概率,返回主目录,由乘法公式，我们有,三、全概率公式和贝叶斯公式,S,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,定义 设 S 为试验 E 的样本空间， 为 E 的一组事件。若满足

7、(1) (2) 则称 为 样本空间 S 的一个划分。,第一章,返回主目录,全 概 率 公 式：,设随机事件,满足：,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明,由条件：,得,而且由,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,S,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明思路总结：,用样本空间的划分,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,S,第一章,返回主目录,1、划整为零：,2、用乘法公式计算每部分的概率：,全概率公式和贝叶

8、斯公式,全概率公式的使用,我们把事件A看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则要计算结果A发生的概率就用全概率公式,第一章,返回主目录,（已知原因，求结果）,全概率公式和贝叶斯公式,常用的全概率公式有,第一章,返回主目录,是样本空间 S 的一个划分。,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,如果试验分两个步骤，每一步骤都有随机性。,全概率公式和贝叶斯公式,每一原因对结果的影响程度,例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.

9、64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,第一章,返回主目录,分析：试验分两个步骤.,全概率公式和贝叶斯公式,例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,第一章,返回主目录,解：,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名,又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.3

10、2,由全概率公式，有,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,思考：,今随机选一人参加比赛,结果射中了目标， 求该选手是一级选手的概率,前面的问题:今随机选一人参加比赛，试求该小组在 比赛中射中目标的概率,全概率公式和贝叶斯公式,Bayes （逆概）公 式：,设随机事件,满足,全概率公式,条件概率,乘法定理,则,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,Bayes公式的使用,我们把事件A看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 n个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章,返回主目录,验前概

11、率,验后概率,（已知结果，求原因）,全概率公式和贝叶斯公式,Bayes公式的使用,如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 n个 原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章,返回主目录,（已知结果，求原因）,全概率公式和贝叶斯公式,例7 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知,2）已知 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章,返回主目录,（结果）,（原因）,1）求用此方法判断被检查者患有肝癌的概率；,今随机选一人用此方法做肝癌检查.,全概率公式和贝叶斯公式,2）已知 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝

12、癌的概率,第一章,返回主目录,（结果: A）,（原因: ）,1）求用此方法判断被检查者患有肝癌的概率；,分析：今随机选一人用此方法做肝癌检查.,全概率公式和贝叶斯公式,指试验分两个步骤： 第一步 随机选一人，选到的人可能是真正患有 肝癌， 也可能是不患有肝癌； 第二步 用此方法判断被检查者患有肝癌。,例 7（续）,解 由已知，得,第一章,返回主目录,1）由全概率公式，有,全概率公式和贝叶斯公式,例 7（续）,第一章,返回主目录,2）由Bayes公式，得,全概率公式和贝叶斯公式,例 8 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂 次品率 提供晶体管

13、的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,S,B1,B2,B3,A,第一章,全概率公式和贝叶斯公式,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。,解 ： 设 A =“取到的是一只次品”， Bi ( i= 1,2,3)=“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,（结果）,（原因）,元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.0

14、1 0.80 3 0.03 0.05,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,A,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）第一次取到的零件是一等品的条件下 ，第二次取到的也是一等品的概率； （3）已知第一次取到的零

15、件是一等品，求它是第一箱的零件的概率；,例9,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,解 ： 设 Ai 表示“第i次取到一等品”(i=1,2)，,返回主目录,Bi ( i= 1,2)表示“取到的是第 i箱中的产品”,全概率公式和贝叶斯公式,例9（续）,1）由全概率公式，有,第一章,（结果）,（原因）,例9（续）,返回主目录,2）由全概率公式和条件概率公式，有,第一章,例9（续）,返回主目录,3）由贝叶斯公式，有,第一章,例10 袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球 若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率。,第一章,返回主目录,*,解：设 A= 取出的球

16、全是白球 ,全概率公式和贝叶斯公式,则由Bayes公式，得,第一章,返回主目录,例10（续）,全概率公式和贝叶斯公式,例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,解 ：,第一章,返回主目录,作业：,全概率公式和贝叶斯公式,1-6 四.事件的独立性,第一章,独立性,返回主目录,解决如下问题: 在什么条件下,P(

17、AB)=P(A)P(B).,例 1,袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出一球，取后放回令： A= 第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球 ， 求,第一章,独立性,返回主目录,例 1（续）,第一章,独立性,返回主目录,说明,由例 1,可知,这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变,由此，我们引出事件独立性的概念,第一章,独立性,返回主目录,或,1. 两事件独立的定义,设 A、B 是两个随机

18、事件，如果,则称 A 与 B 是相互独立的随机事件,两事件独立性的性质：,则事件A 与 B 相互独立的,第一章,独立性,返回主目录,充分必要条件为：,1）如果,第一章,独立性,故“A与B相互独立”，指A是否发生不影响B 发生的概率。,第一章,独立性,2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立,可知必然事件S 与任意事件 A 相互独立；,可知不可能事件与任意随机事件A相互独立.,由,证明：由,3) 若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,解：为方便起见，只证,相互独立.,第一章,独立性,返回主目录,第一章,独立性,返回主目录,注意1：两事件相互独立与

19、互不相容的区别： “A与B互不相容”，指两事件不能同时发生 (A与B没有公共样本点), 即 AB=, 或 P（AB）=0。 “A与B相互独立”，指A是否发生不影响B 发生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或,注意2：,设事件 A 与 B 满足：,即：1)若事件 A 与 B 相互独立，则 AB；,2)若 AB =，则事件 A 与 B 不相互独立。,证明：,第一章,独立性,返回主目录,则互不相容与相互独立不能同时成立。,2)由于AB =，所以,但是，由题设,这表明，事件 A 与 B 不相互独立,第一章,独立性,因此， 互不相容与相互独立不能同时成立。,返回主目录,由上面的讨论我们注意到下面的结

20、论：,第一章,独立性,返回主目录,注意3：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,例 1（不独立事件的例子）,袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出一球， 取后不放回令： A= 第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球 ， 则,所以，,第一章,独立性,返回主目录,第一章,独立性,返回主目录,因此,这表明，事件 A 与事件 B 不相互独立事实上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球

21、的概率自然也应发生变化或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的,第一章,独立性,返回主目录,2 、三个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，如果,则称A、B、C是相互独立的随机事件,第一章,独立性,返回主目录,注意4：A,B,C三个事件相互独立,必有A,B,C三个事件 两两独立;反之,不一定.,注意5：,在三个事件相互独立的定义中，四个等式是缺一不 可的即：前三个等式的成立不能推出第四个等 式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立,第一章,独立性,返回主目录,例 2 (1),袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三

22、种颜色现从袋中任意取出一球，令： A= 取出的球涂有红色 B= 取出的球涂有白色 C= 取出的球涂有黑色 则：A,B,C 两两独立，但不相互独立。,第一章,独立性,返回主目录,由此可见,但是,这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的,第一章,独立性,返回主目录,例 2 (2),记 A=1，2，3，4， B=4，5，6， C=3，4，5,第一章,独立性,返回主目录,现掷一枚均匀的骰子，,观察出现的点数。,则：,但,第一章,独立性,返回主目录,注意6 三个事件相互独立的性质： 若A，B，C是相互独立的三个事件，则,3 、n个事件的相互独立性,第一章,独立性,返回主目录,说 明,在上面的公式中，,第一章,返回主目录,注意7 独立随机事件的性质：,独立性,第一章,返回主目录,独立性,加法公式的推广,第一章,返回主目录,若 是相互独立的事件，则,相互独立事件至少发生其一的概率的计算,第一章,返回主目录,独立性,注意8,第一章,返回主目录,独立性,第一章,返回主目录,独立性,例 5 要验收一批 ( 100 件) 乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至