MBA 运筹学 127页 ppt.ppt

1、运筹学,吴祈宗教授,1、绪 论 2、线 性 规 划 3、运 输 问 题 4、动 态 规 划 5、图与网络分析 6、排 队 论 7、教学日历,运 筹 学 目录,说 明 本教学课件是与教材紧密配合使用的，教材为： 运筹学 杨民助编著 西安交通大学出版社，2000年6月 参考书： 运筹学 清华大学出版社 或其他的运筹学方面本科教材的相关内容 下面所标注的页号，均为本课程教材的页号。例如： p123 表示第123页 p31-34 表示从第31页到第34页,绪 论,运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究” 运筹学是运用科学的方法（如分析、试验、量化等）来决定如何最佳地运营和

2、设计各种系统的一门学科。运筹学对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 运筹学有广泛应用（可以自己找一些参考书看） 运筹学的产生和发展（可以自己找一些参考书看）,运筹学解决问题的过程,1）提出问题：认清问题 2）寻求可行方案：建模、求解 3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径 4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等 5）选择最优方案：决策 6）方案实施：回到实践中 7）后评估：考察问题是否得到完满解决 1）2）3）：形成问题；4）5）分析问题：定性分析与定量分析。构成决策。,运筹学的分支,线性规划 非线性规划 整数规划 动态规

3、划 多目标规划 随机规划 模糊规划等,图与网络理论 存储论 排队论 决策论 对策论 排序与统筹方法 可靠性理论等,运筹学在工商管理中的应用,生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下 料、配料问题、物料管理等 库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存 量等 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、 运输工具的调度以及建厂地址的选择等 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编 制、人员合理分配，建立人才评价体系等 市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与 销售计划制定等 财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管 理、现金管理等 * 设备维修、更新，项目选择、评价

4、，工程优化设计与管理等,运筹学方法使用情况(美1983)（%）,运筹学方法在中国使用情况(随机抽样)（%）,运筹学的推广应用前景,据美劳工局1992年统计预测: 运筹学应用分析人员需求从1990年到2005年的增长百分比预测为73%,增长速度排到各项职业的前三位. 结论: 运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的 工商企业对运筹学应用和需求是很大的 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做,学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎么做等。 自学时要掌握三个重要环节： 1、认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，

5、同时参考其他有关书籍。一般每一本运筹学教材都有自己的特点，但是基本原理、概念都是一致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使学习深入。但是，把时间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。 2、要在理解了基本概念和理论的基础上研究例题，注意例题是为了帮助你理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出错。因为，整个课程是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程度，知识融会贯通起来，你做题的正确性自己就有判断。 3、要学会做学习小结。每一节或一章学完后，必须学会用精炼的语言来该书所学内容。这样，你才能够从较

6、高的角度来看问题，更深刻的理解有关知识和内容。这就称作“把书读薄”，若能够结合自己参考大量文献后的深入理解，把相关知识从更深入、广泛的角度进行论述，则称之为“把书读厚” 在建数学模型时要结合实际应用，要学会用计算机软件解决问题。,如何学习运筹学课程,返回目录,各章节的重点、难点及注意事项,1、 线 性 规 划,线性规划模型： 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 300 2 x1 + x2 400 x2 250 x1 , x2 0 *看 p 7-9 例1-1，1-2,例1. 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的

7、设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表： 问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？,1、 线 性 规 划 （续1.1）,1. 1 线性规划的概念 线性规划的组成： 目标函数 Max f 或 Min f 约束条件 s.t. (subject to) 满足于 决策变量 用符号来表示可控制的因素,一般形式 ( p10- p 11) 目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （

8、 =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bm x1 ，x2 ， ，xn 0,标准形式 ( p11- p 15 ，例1-3) 目标函数： Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 0 *练习：p 68-70 习题1 1-1，1-2,1、 线 性 规 划 （续1.2）,1. 2 线性规划问题解的概念

9、及性质 熟悉下列一些解的概念（p15-16） 可行解、可行解集（可行域），最优解、最优值，基、基变量、非基变量，基本解、基本可行解，可行基、最优基。,图解方法及各有关概念的意义（p16-20） 看：图解法步骤，例1-4，1-5，1-6，1-7，1-8，1-9 下一页是一个图解法解题的一个例子，右图中的阴影部分为可行域。,单纯形法的理论基础（p20-30） 1.2.3段要求看懂，了解如何直接通过对约束矩阵的分析求出基本可行解 1.2.4, 1.2.5两段应注重结论的了解，如单纯形法思想和关于线性规划解的四个 定理，而对证明过程则可根据自己的数学基础来掌握： 基础很好，可要求掌握；否则，也可略去不

10、看。 *习题：p70 习题1 1-3，1-4,1、 线 性 规 划 （续1.2）,例1. 目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + x2 300 (A) 2 x1 + x2 400 (B) x2 250 (C) x1 0 (D) x2 0 (E) 得到最优解： x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500,1、 线 性 规 划 （续1.3）,1. 3 单纯形法 利用单纯形表的方法求解线性规划重点 (p30-45 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3) 此项内容是本章的重点，学习中应注意掌握表格单纯形法求解线性规划问题的基本

11、过程。要通过读懂教材内容以及大量练习来掌握。,1、 线 性 规 划 （续1.3）,表格单纯形法 ( p40- p 45) 考虑： bi 0 i = 1 , , m Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn bm x1 ，x2 ， ，xn 0 加入松弛变量： Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn

12、+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn+ xn+m = bm x1 ，x2 ， ，xn ，xn+1 ， ，xn+m 0,显然，xj = 0 j = 1, , n ; xn+i = bi i = 1 , , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。 以下是初始单纯形表： m m 其中：f = - cn+i bi j = cj - cn+i aij 为检验数 cn+i = 0 i= 1,m i = 1 i = 1 an+i,i = 1 , an+i,j = 0 ( ji ) i , j = 1

13、, , m,1、 线 性 规 划 （续1.3）,1、 线 性 规 划 （续1.3单纯形法解题例）,例1。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A有50个单位的剩余）,注意：单纯形法中， 1、每一步运算只能用矩阵初等行变换； 2、表中第3列的数总应保持非负（ 0）； 3、当所有检验数均非正（ 0）时，得到最优单纯形表。,1、 线 性

14、规 划 （续1.3）,1、 线 性 规 划 （续1.3）,一般情况的处理及注意事项的强调（p45-55） 1.3.4段主要是讨论初始基本可行解不明显时，常用的方法。要弄清它的原理，并通过例1-14 例1-17掌握这些方法，同时进一步熟悉用单纯形法解题。 考虑一般问题： bi 0 i = 1 , , m Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 0,

15、1、 线 性 规 划 （续1.3）,大M法： 引入人工变量 xn+i 0 i = 1 , , m ; 充分大正数 M 。 得到， Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn + M xn+1 + + M xn+m s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn + xn+m = bm x1 ，x2 ， ，xn ，xn+1 ， ，xn+m 0 显然，xj = 0 j=1, , n ; xn+i = bi i

16、 =1 , , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。 结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , , m 则是原问题的最优解；否则，原问题无可行解。,1、 线 性 规 划 （续1.3）,两阶段法：引入人工变量 xn+i 0，i = 1 , , m；构造， Max z = - xn+1 - xn+2 - - xn+m s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn + xn+m = bm x1 ，x2 ， ，

17、xn ，xn+1 ， ，xn+m 0 第一阶段求解上述问题： 显然，xj = 0 j=1, , n ; xn+i = bi i =1 , , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。 结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , , m 则是原问题的基本可行解；否则，原问题无可行解。 得到原问题的基本可行解后，第二阶段求解原问题。,1、 线 性 规 划 （续1.3）例题,例：（LP） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 +

18、x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 0 大M法问题（LP - M） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 - M x5 - M x6 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0 两阶段法 ：第一阶段问题（LP - 1） Max z = - x5 - x6 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 2

19、0 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0,1、 线 性 规 划 （续1.3）大M法例,大M法 （LP - M）,得到最优解：(25/3，10/3，0，11)T 最优目标值：112/3,1、 线 性 规 划 （续1.3）两阶段法例,第一阶段 （LP - 1）,得到原问题的基本可行解：(0，15/7，25/7，52/7)T,1、 线 性 规 划 （续1.3）两阶段法例,第二阶段 把基本可行解填入表中,得到原问题的最优解：(25/3，10/3，0，11)T 最优目标值：112/3,1、 线 性 规 划 （续1.3）,1.3.

20、5 矩阵描述 此段为选读，有困难者可不看。 1.3.6 段单纯形迭代过程中的几点注意事项是对有关内容的强调和补充，要认真学习、理解。 *习题：p70-71 习题1 1-5，1-6,1. 4 线性规划应用 建模（p55-68） 本节介绍了些线性规划应用的例子，这些例子从多个方面介绍建模对未来是很有用的，应认真对待。 除了教材上的例子之外，还有许多其它应用： * 合理利用线材问题：如何下料使用材最少 * 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 * 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 * 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 * 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工

21、作的需要 * 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小 *下面是一些建模的例子，有兴趣者，可作为练习。这些例子有一定的难度，做起来会有一些困难。 *习题：p72-73 习题1 1-7，1-8，1-9，1-10,1、 线 性 规 划 （续1.4）,返回目录,例某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,例：人力资源分配的问题,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1

22、+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,例：人力资源分配的问题（续）,例、 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,例：生产计划的问题,解：设 x1,x

23、2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。 这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x

24、2,x3,x4,x5 0,例：生产计划的问题（续）,例、 永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,例：生产计划的问题（续）,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。 利润 = （销售单价 - 原料单价）* 产品件数之和 - （每台时的设备费用*设备实

25、际使用的总台时数）之和。 这样我们建立如下的数学模型: Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123 s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 设备 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 设备 B1 ） 4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ） 7x123 4000 （ 设备 B3 ） x111+ x112- x

26、121- x122- x123 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等） x312 - x322 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,例：生产计划的问题（续）,例、某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？ 解： 设计下列 5 种下料方案,假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下

27、的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0,例：套裁下料问题,例6某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,例：配料问题,例：配料问题（续）,解： 设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x

28、22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。,Max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.2

29、5x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 60 (供应量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,例：配料问题（续）,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项 目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额 不能超过3

30、0万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规 定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本 利155%，但规定最大投资额不能超过100万元； 据测定每万元每次投资的风险指数如右表： 问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,解： 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij ( i = 1 - 5，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D

31、(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24,例：投资问题,2）约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200； 第二年：B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.

32、25x22； 第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投资限制： xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3）目标函数及模型： a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =

33、1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 +

34、 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）,例：投资问题（续）,2、线性规划问题的进一步研究（2.1）,2. 1 对偶原理 1、对偶问题：考虑前文例 1 若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备工时和原料A、B 各如何收费才最有竞争力？ 设 y1 ，y2 ，y3 分别为每设备工时、 原料 A、B每单位的收取费用 Max z = 50 x1 + 100 x2 Min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3 s.t. x1 + x2 300 s.t. y1 + 2 y2 + 50

35、2 x1 + x2 400 （不少于甲产品的利润） x2 250 y1 + y2 + y3 100 x1 , x2 0 y1, y2 , y3 0,2、对偶定义 对称形式： 互为对偶 (LP) Max z = cT x (DP) Min f = bT y s.t. Ax b s.t. AT y c x 0 y 0 “Max - ” “Min- ” 一般形式： 若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制；反之， 若一个问题的某变量无非负限制，那么对应的对偶问题的相应约束为等式。,2、线性规划问题的进一步研究（2.1）,3、对偶定理 （原问题与对偶问题解的关系） 考虑（LP）

36、和（DP） 定理2-1 （弱对偶定理）若 x, y 分别为（LP）和（DP）的可行解，那么 cT x bT y 。 推论 若（LP）可行，那么（LP）无有限最优解的充分必要条件是（LD）无可行解。 定理2-2 （最优性准则定理）若 x, y 分别为（LP）和（DP）的可行解，且 cT x = bT y ，那么 x, y分别为（LP）和（DP）的最优解。 定理2-3 （主对偶定理）若（LP）和（DP）均可行，那么（LP）和（DP）均有最优解，且最优值相等。 以上定理、推论对任意形式的相应线性规划的对偶均有效 *习题：p 99 习题2 2-1,2、线性规划问题的进一步研究（2.1）,4、影子价格

37、是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化率。 若 x*, y* 分别为（LP）和（DP）的最优解， 那么， cT x* = bT y* 。 根据 f = bT y* = b1y1* + b2y2* + + bmym* 可知 f / bi = yi* yi* 表示 bi 变化1个单位对目标 f 产生的影响，称 yi* 为 bi的影子价格。 注意：若 B 是最优基， y* = (BT)-1 cB 为影子价格向量。,2、线性规划问题的进一步研究（2.1）,5、由最优单纯形表求对偶问题最优解 第1章例1。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 +

38、x2 + x3 = 300 ， 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 ， x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 I O B=(p1 , p4 , p2 ) (BT)-1 cB B-1 最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A有50个单位的剩余）影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , B-1对应的检验数 (BT)-1 cB 。,2、线性规划问题的进一步研究（2.1）,2. 2 对偶单纯形法 对偶单纯形法在什么情况下使用 ： 应用前提：有一个基，其对应的基本解满足 单纯形表的检验数行全部非正（对偶

39、可行）； 变量取值可有负数（非可行解）。 *注：通过矩阵行变换运算，使所有相应变量取值均为非负数即得到最优单纯性表。,2、线性规划问题的进一步研究（2.2）,2、线性规划问题的进一步研究（2.2）,对偶单纯形法求解线性规划问题过程： 1、建立初始对偶单纯形表，对应一个基本解，所有检验数均非正，转2； 2、若 b 0 ，则得到最优解，停止；否则，若有 bk 0 则选 k 行的基变量为出基变量，转3； 3、若所有 akj 0 ( j = 1,2,n )，则原问题无可行解，停止；否则，若有 akj 0 则选 = min j/ akj akj 0 = r/ akr那么 r 为进基变量，转4； 4、以

40、akr为转轴元，作矩阵行变换使其变为 1，该列其他元变为 0，转2。,例：求解线性规划问题： Min f = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 S.t. x1 + 2x2 + x3 3 2x1 - x2 + x3 4 x1 , x2 , x3 0 标准化： Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3 S.t. - x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3 - 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0,2、线性规划问题的进一步研究（2.2）,表格对偶单纯形法 *习题：p 100 习题2 2-2，2-3,2、线性规划问

41、题的进一步研究（2.2）,2.3 灵敏度分析 进一步理解最优单纯形表中各元素的含义 考虑问题 Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn bm x1 ，x2 ， ，xn 0 引入 m 个松弛变量后，通过计算得到最优单纯形表。应 -1 -1 能够找到最优基 B的逆矩阵 B ，以及 B N，检验数等。,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,最优单纯形表,B

42、-1,(BT)-1cB,I,O,价值系数C发生变化： m 考虑检验数 j = cj - cri arij j = 1,2,n i = 1 1、若 ck 是非基变量的系数： 设 ck 变化为 ck + ck k= ck + ck - cri arik = k+ ck 只要 k 0 ，即 ck - k ，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数 k 用 k取代，继续单纯形法的表格计算。 例: Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3 S.t. - x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3 - 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4 x1 , x2 , x3 , x

43、4 , x5 0,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,例：最优单纯形表 从表中看到 3 = C3 +C3 - （C2 * a13 + C1* a23 ） 可得到 C3 9/5 时，原最优解不变。,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,2、若 cs 是基变量的系数： 设 cs 变化为 cs + cs ，那么 j= cj - cri arij - ( cs + cs ) asj = j - cs asj ，对所有非基变量 i s 只要对所有非基变量 j 0 ，即 j cs asj ，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数 j 用 j取代，继续单纯形法的表格计算。 Maxj / asj

44、asj 0 cs Minj / asj asj 0 例: Max Z = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4+ 0 x5 S.t. x1 + 2x2+ x3 = 8 4x1 + x4 =16 4x2 +x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,例、下表为最优单纯形表，考虑基变量系数 c2 发生变化 从表中看到 j = Cj - （C1 * a1j + C5 * a5j + （C2 +C2 ）* a2j ） j = 3、4 可得到 -3 C2 1 时，原最优解不变。,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,右端项 b 发

45、生变化 设分量 br 变化为 br + br ，根据第1章的讨论，最优解的基变量 xB = B-1b，那么只要保持 B-1(b + b) 0 ，则最优基不变，即基变量保持，只有值的变化；否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。 对于问题 (LP) Max z = cT x s.t. Ax b x 0 最优单纯形表中含有 B-1 = （ aij ）i = 1, , m ; j = n+1, , n+m 那么，新的 xi = (B-1b)i + br air i = 1, , m。由此可得，最优基不变的条件是 Max-bi / air air 0 br Min-bi / air air 0 ,2、线性

46、规划问题的进一步研究（2.3）,例、上例最优单纯形表如下 0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1 各列分别对应 b1、b2、b3 的单一 0.5 -0.125 0 变化。因此，设 b1 增加 4，则 x1 , x5 , x2 分别变为： 4 + 0*4 = 4，4 + (-2)*4 = - 4 0，2 + 0.5*4 = 4 用对偶单纯形法进一步求解，可得： x* = ( 4, 3, 2, 0, 0 )T f* = 17,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,增加一个变量 增加变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ， cn+1 。那么，计算出 B-1pn+1 n+1 = cn+

47、1 - cri ari n+1 填入最优单纯形表，若 n+1 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。 例、前例增加 x6，p6 = ( 2, 6, 3 )T ，c6 = 5 。计算得到,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,用单纯形法进一步求解，可得：x* = ( 1,1.5,0,0,0,2 )T f* = 16.5,增加一个约束 增加约束一个之后，应把最优解带入新的约束，若满足则最优解不变，否则填入最优单纯形表作为新的一行，引入1个新的非负变量（原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引入非负人工变量），并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0，进一步用单纯形法或对偶单纯形法

48、求解。 例、前例增加3x1+ 2x215，原最优解不满足这个约束。于是,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,A中元素发生变化 （只讨论 N 中某一列变化情况） 与增加变量 xn+1 的情况类似，假设 pj 变化 。那么，重新计算出 B-1pj j = cj - cri ari j 填入最优单纯形表，若 j 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,可得最优解：x* = ( 3.2,0.8,0,0,2.4 )T f* = 15.2,2、线性规划问题的进一步研究（2.3）,2. 3 灵敏度分析 (内容，为重点) 2.3.1 Ci 发生变化 2.3.

49、2 Bj发生变化 2.3.3 增加一个变量 2.3.4 增加一个约束 2.3.5 A中元素发生变化 *习题：p 100 习题2 2-4,返回目录,3. 1 运输问题模型与性质 运输模型 例、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？,3、运 输 问 题（3.1）,解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：,Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+

50、 x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）,3、运 输 问 题（3.1）,系数矩阵 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 特点： 1、共有m+n行，分别表示产地和销地；mn列分别表示各变量； 2、每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和一个销地被使用；,3、运 输 问 题（3.1）,设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运

51、输量，得到下列一般运输量问题的模型： m n Min f = cij xij i=1 j=i n s.t. xij = si i = 1,2,m j=1 m xij = dj j = 1,2,n i=1 xij 0 (i = 1,2,m ; j = 1,2,n),一般运输模型：产销平衡 A1、 A2、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、Bn 表示某物质的n个销地；si 表示产地Ai的产量； dj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资为从产地Ai运往销地Bj的单位运价。,3、运 输 问 题（3.1续）,3、运 输 问 题（3.1续）,变化： 1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营

52、业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可直接加入（等式或不等式）约束； 3）产销不平衡时，可加入虚设的产地（产大于销时）或销地（销大于产时）。,3、运 输 问 题（3.1续）,求解思路 是 基本可行解 最优否 结束 否 换基 运输问题基变量的特点 * 运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的秩为 m + n -1。 * 运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的充分必要条件是不含闭回路。 要弄清下列概念 ：闭回路、闭回路的顶点。,3. 2 运输问题的表上作业法 本章重点 1、初始基本可行解的确定： （1）西北角法：从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许

53、取得的最大数。然后按行（列）标下一格的数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。 （2）最小元素法：从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按运价从小到大顺序填数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。 注：应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元例外（同时划去一行和一列）。当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行（列）在保留的列（行）任意没被划去的格内标一个0。,3、运 输 问 题（3.2）,*,3、运 输 问

54、 题（3.2）,*,3、运 输 问 题（3.2）,2、最优性检验： 因为求最小，当所有检验数均大于等于0时为最优解 （1）位势法求检验数： 位势：设对应基变量 xij 的 m + n - 1 个 ij ，存在 ui , vj 满足 ui + vj = cij ，i = 1, , m ; j = 1, , n . 称这些 ui , vj 为该基本可行解对应的位势。 由于有 m + n 个变量（ ui , vj ），m + n - 1 个方程（基变量个数），故有一个自由变量，位势不唯一。 利用位势求检验数： ij = cij - ui - vj i = 1, , m ; j = 1, , n,3、运 输 问 题（3.2）,前例，位势法求检验数： step 1 从任意基变量对应的 cij 开始，任取 ui 或 vj ，然后利用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj ；从 c14 = 10 开始 step 2 计算非基变量的检验数 ij