基本概念及抽样分布.ppt

1、一、样本与样本分布,二、抽样分布,下页,第六章 数理统计的基本概念,概率论与数理统计的关系 概率论是数理统计的理论基础；数理统计是 概率论的应用. 概率论是在(总体)X分布已知的情况下，研究X的性质 及统计规律性 数理统计是在(总体)X分布未已知(或部分未知)的情况 下，对总体的分布作出推断和预测. 数理统计的研究方法 通过从总体抽取部分个体(样本)，通过对样本的研究，对 总体作出推断或预测是一种由部分推测整体的方法,下页,数理统计概述,数理统计的研究方法流程图,数理统计的研究内容 数理统计内容丰富，应用广泛本书介绍了数理统计初步 知识： 抽样分布； 参数估计； 假设检验； 方差分析； 回归分

2、析.,下页,总体X,样本,统计量,对总体X 作出推断,采集数据,加工处理,对统计量分析,6.1 样本与样本分布,一、总体、个体与样本,总体：,研究对象的全体称为总体(母体).,个体：,组成总体的每个研究对象称为个体.,总体分为有限总体和无限总体.,注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标 和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的某种 数量指标的全体就是总体.,该批灯泡寿命的全体就是总体.,下页,或，研究对象的某项数量指标的值的全体，称为总体.,由于个体的出现是随机的，所以，,总体是一个随机变量，,用X表示.,样本：,从总体 X 中按一定的规则（准备）抽出的个体的,样

3、本容量：,样本中所含个体的个数称为样本容量，用 n,根据 n 的大小样本有大样本、小样本之分.,抽样：为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体 中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这 一抽取过程为 抽样.,下页,全部称为样本, 用 X1,X2,Xn 表示.,表示.,样本值：一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .,下页,样本：,从总体 X 中按一定的规则（准备）抽出的个体的,全部称为样本, 用 X1,X2,Xn 表示.,简单随机抽样：要求抽取的样本满足下面两点：,由简单随机抽样抽得的样本 X1,X2,Xn,简单随机样本：

4、,显然，样本就是来自总体X的 n 个相互独立的且与总体同 分布的随机变量X1,X2,Xn . 可看成 n 维随机向量(X1,X2,Xn).,简单随机抽样即为随机地独立地抽取，如：有放回抽样； 无放回抽样当总体很大，样本容量较小时，认为是近似的简单 随机抽样., 独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量., 代表性： X1,X2,Xn中每一个与总体X有相同的分布.,下页,称为简单随机样本. 简称样本 .,二、统计量,统计量是样本的函数，也是随机变量，具有概率分布. 把统计量的概率分布称为抽样分布.,设(X1,X2,Xn)为来自总体X的一个样本,g(X1,X2,Xn) 是一个不含任何未知参数

5、的连续函数，称 g(X1,X2,Xn)为 统计量.,下页,设(X1,X2,Xn )为来自总体X的简单随机样本.,式中的n1称为S2的自由度(式中含有独立变量的个数)，S 称 为样本标准差，又称为标准误.,3.样本矩：,K 阶原点矩：,K 阶中心矩：,1.样本均值:,下页,三、样本的数字特征,2.样本方差:,一、 的分布,设总体X的分布形式未知，E(X)=m，D(X)=s 2，,(X1,X2,Xn)为X的一样本. 则X1,X2,Xn独立同分布且 E(Xi)=m， D(Xi)= s 2 (i =1, 2, , n),若总体XN(,2)，则,若总体XN (0,1)， 则,则,特别，,下页,6.2 抽

6、样分布,例1设总体XN(12 , 4)，抽取一个样本(X1,X2,X5) ,求（1）P 13；（2）P| -12| 0.5.,解：,XN(12 , 4)， N(12 , 4/5) .,（1）P 13,（2）P| -12| 0.5,=1-(0.56)-(-0.56)=2-2(0.56)=0.5754,下页,的点u为N(0,1)分布的上(右)侧分位点.,二、标准正态分布的分位点, 称满足条件,记 -ua= u1-a (可把-ua理解为下(左)侧分位点).,由于,设XN(0,1)，对给定的a (0a1) :,即,下页,PXua = a，,PXu0.05=0.05, 即 PXu0.05=0.95, 查

7、表得：u0.05=1.645 .,PXu0.01=0.01, 即 PXu0.01=0.99, 查表得：u0.01= 2.33 .,例如：,295页,二、标准正态分布的分位点, 称满足条件,由于,设XN(0,1)，对给定的a (0a1) :,下页,P|X|u0.05/2=0.05, 即 PXu0.05/2=1-0.05/2=0.975, 查表(295页)得：u0.05/2=1.96 .,例如：,的点 为N(0,1)分布的双侧分位点.,所以,P|X|u0.01/2=0.01, 即 PXu0.01/2=1-0.01/2=0.995, 查表得：u0.01/2=2.575 .,1. 定义,设 XN(0,

8、1),(X1,X2,Xn)为X的一个样本,令,则 服从参数(自由度)为 n 的 分布.,2. c 2 分布的概率密度,下页,三、c 2 分布,这里，E( c 2 )=n,D( c 2 )=2n.,注：以n=4时的图像代表密度函数.,记作,1 与 S 2 相互独立；,2,(2) 若,且它们相互独立，则,下页,3. c 2 分布的性质,(1) 若(X1,X2,Xn)为正态总体N(m , s 2)的一个样，则, 称满足,即,的点为c 2 分布的上(右)侧分位点.,例如：a = 0.1，n = 25，查 c 2 分布表(297页)得,下页,4. c 2 分布的分位点,设c 2c 2(n)，对给定的a

9、(0a1) :,问题：c 21-a 分位点怎么查表？, 称满足,的点为c 2 分布的双侧分位点.,例如：a = 0.1，n = 25，查 c 2 分布表(297页)得,下页,4. c 2 分布的分位点,设c 2c 2(n)，对给定的a (0a1) :,显然,例2设总体XN(0 , 0.32), n =10, 求,解：, X/0.3N(0,1)，,下页,所求概率为,四、t 分布,为服从自由度为 n 的 t (Student) 分布, 记作 t t (n).,2. t 分布的概率密度,这里,设XN(0,1), Y c 2(n), 且X与Y相互独立, 则称随机变量,下页,1. 定义,证：,且与 相互

10、独立，,故,下页,3. 服从t 分布的统计量,定理1 设(X1,X2,Xn)为正态总体N(m , s 2)的一个样本， 则有,证：依题意知,由于X与Y相互独立，,即,所以 与 相互独立，,下页,定理2 设(X1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2)分别是从总体 N(m1,s 2)和 N(m2,s 2)中所抽取的样本，且它们相互独立，则,从而有,证： 得,下页,定理2 设(X1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2)分别是从总体 N(m1,s 2)和 N(m2,s 2)中所抽取的样本，且它们相互独立，则,于是,4. t 分布的百分位点,设t t (n)，对给定的a (0a1) :, 称满足条件

11、,Ptta(n) =a ,即,的点ta(n)为 t 分布的上(右)侧分位点.,下页,t0.05(15)=1.7531 .,例如：a = 0.05，n = 15，查 t 分布表(296页)得,4. t 分布的百分位点,设t t (n)，对给定的a (0a1) :, 称满足条件,的点ta / 2(n)为 t 分布的双侧分位点.,下页,例如：a = 0.05，n = 15，查 t 分布表(296页)得,显然,2. F 分布的概率密度,且U与V独立，则称随机变量,为服从自由度为(m, n)的F分布，记作FF(m, n) .,设,下页,五、F 分布,1. 定义,3. F 分布的性质,下页,定理3 设(X

12、1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2)分别是从总体 N(m1,s12)和 N(m2,s22)中所抽取的样本，且它们相互独立，则,证：,整理便得证.,性质,设FF(m, n)，对给定的a (0a1) :, 称满足,的点Fa(m, n)为F分布的上(右)侧分位点.,即,4. F 分布的百分位点,下页, 称满足,为F分布的双侧百分位点.,查分位点，略. 表中n1为第一自由度.,设 X: X1,X2,Xn,1.,2.,若 XN(0,1), 则,小 结,下页,Xi N(m ,s 2),(1),(2),(3),3.,若 XN(m ,s 2)，,下页,1,2,3,4,(1),(2),当s12 =s22 =s 2时，,4. 两个正态总体,当s12 ,s22 已知时，,下页,5