第5章二项分布与Poisson分布.ppt

1、1,第五章 二项分布与Poisson分布,预防医学教研室,2,目的及要求 了解二项分布（binomial distribution）与Poisson分布（ Poisson distribution）的概念 掌握二项分布的特点、均数与标准差的计算，Poisson分布与二项分布和正态分布的关系；总体均数可信区间的估计、假设检验及适用条件 重点是二项分布的应用，难点是三种分布的区别与联系,3,一.概念： 为率的抽样分布，各种情况的概率等于二项式展开后的各项。 X=0.1.2.n,例：设小鼠接受某种毒物一定剂量时，其死亡率为80%，若随机用三只小鼠作试验，问出现各种死亡情况的概率？,二项分布,4,5,

2、(0.8 + 0.2)3=(0.2)3 + 3(0.8)(0.2)2 + 3(0.8)2(0.2) + (0.8)3 三生 二生一死 一生二死 三死,二. 应用条件：,Bernoulli试验： 在只有两种可能结果（成功与失败）的随机试验，每次试验时出现成功的概率是恒定的，而且各次试验相互独立。这种试验在统计学上称之为贝努里试验（ Bernoulli trial)。,6,（1）二项分类资料：结果为A或非A （成功与失败） 。 （2）每次试验的条件不变：每次试验A的发生概率均为。 （3）各次试验独立：每个观察单位的观察结果不会影响到其 他观察单位的结果。,在Bernoulli试验中，取得成功的次数

3、X（X=0，1，2，n）的概率呈二项分布。其概率计算式：,所以二项分布的应用条件就是Bernoulli试验的条件，即：,式中：n、为二项分布的参数。 若随机变量X服从以n、为参数的二项分布记为XB（ n.）。,7,（2）至少有k例阳性的概率：,（3）至多有k例阳性的概率：,X= 0, 1, 2, kn,三. 概率的计算：,（1）恰有k例阳性的概率：,从一个阳性率为的总体中，随机抽取含量为n的样本，则样本中阳性数X或阳性率p服从二项分布B （ n、）。,8,例: 已知某地玉米的黄曲霉污染率近年为20%， 若抽取10个样品作检查，求 污染样品数为3个的概率。 污染样品数不超过一个的概率。 污染样品

4、数在9个以上的概率。,9,污染样品数为3个的概率：,污染样品数不超过一个的概率：, 污染样品数在9个以上的概率：,10,例5.2 经统计，某省用“中药阑尾炎合剂”治疗急性阑尾炎性腹 膜炎的有效率为86%，试分别估计： 治疗10例中至少9例有 效的概率； 治疗10例中至多7例有效的概率。 本例有效例数XB（10. 0.86），依题意，10例患者中，,因此，10例患者中至少9例有效的概率为0.581，至多7例有效的概率为0.155。,11,四. 二项分布的图形,12,（1）离散型 （2）当=1-=0.5时，两边对称 （3）当0.5时，呈偏态分布。当0.5时，呈左偏态分布；当0.5时，呈右偏态分布。

5、 （4）当n增大，二项分布逐渐逼近正态分布,二项分布的特点：,成功率P=X/n的概率分布图形与成功次数的概率分布图形是完全一样的，只需要把横轴上的X变换成X/n就行了。,一般认为，n 和 n（ 1-） 5时, 可近似看作正态分布。,13,14,15,五. 二项分布的均数与标准差,2.若用率表示，则：,p为率的标准误 表示率的抽样误差,当未知时，常以样本率P来估计：,1.若XB（n , ）， 则X 的均数和标准差为：,16,X的均数在这里可以理解为n次试验中结果A期望出现的次数，而X的标准差则是衡量结果A出现次数的变异程度。 例5.3 求例5.1中平均死亡鼠数及其标准差。 根据死亡鼠数XB（3，

6、0.8）得到 平均死亡鼠数 只 标准差,若用率表示，则,17,二项分布的应用 二项分布是一种常用的离散型分布，具有广泛的应用价值。在实际问题中特别要注意判定一个变量是否服从二项分布。凡具有贝努利试验序列3个特点的变量，一般可认为服从二项分布。 1）总体率的区间估计 总体率估计包括点估计和区间估计。点估计是直接用样本率来估计总体率。区间估计是根据样本提供的信息按一定的概率（即可信度）来估计总体率的可能范围。 总体率的可信区间根据n和P的大小一般有两种估计方法。,18,a正态近似法 当n足够大，P和1-P均不太小时（可通过nP与n（1-P）均大于判断）， 样本率P近似正态分布，这时可以利用正态分布

7、理论来估计总体率的可信区间。 可信度为1-的可信区间：,19,例: 某医院用复方当归注射液静脉滴注治疗脑动脉硬化症188例，其中显效83例，试估计等量齐观方当归注射液显效率的95%和99%可信区间。 复方当归注射液静95%可信区 （0.44151.960.036,0.44151.960.036） =(0.3709,0.5121)=(37.09% ,51.21%),20,B查表法 如果n,p不符合上述要求，当n50，特别是P很接近0或1时，样本资料呈二项分布，可用二项分布法估计总体率的可信区间。该法计算繁杂，附表3列出了总体率的95%和99%可信区间， 例5.5 从某学校随机抽取26名学生，发现

8、有4名感染沙眼，试求该校沙眼感染率95%可信区间。 本例n=26，X=4，查附表3的可信度为95%的可信区间为（0.04,0.35），即（4%，35%）。,21,注意： 附表3中X值只列出 时， 可以用n-X查表，然后以100%减去查的区间即为所求的可信区间 例5.6 某县抽查了10名人员的乙型肝炎表面抗原（HBsAg）携带情况，阴性者8人，求该县人群HbsAg阴性率的95%可信区间为 若x n/2 ，则按n-x 查表得？，然后100-？ 例：上题若 X=8，则 n-x=10-8=2 查表得：3% 56% 然后100-？得：44% 97%,22,（2）样本率与总体率比较,1）直接计算概率法,H

9、0: 1 = 0 =0.01 H1: 1 0 =0.01 单侧 = 0.05,P，按=0.05水准，不拒绝H0，故不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般新生儿。,23,例如5.7 一种鸭通常感染某种传染病的概率是0.2，现将一种药物注射到25只鸭后发现有1只鸭发生感染，试推断这种药对预防感染是否有效 Ho： 此药物对预防感染无效 即=0.2 H1： 此药物对预防感染有效 即 0.2 单侧=0.05 在Ho成立的前提下，25只鸭发生感染的只数XB（25，0.2）则有,24,2）近似正态法： n 和n（ 1-） 5时,H0: 1 = 0 =0.2 H1: 1 0 =0.2 单侧 = 0.05,25

10、,（3）两样本率比较（近似正态法） n1 p1、n1（ 1-p1）和n2 p2、n2（ 1-p2） 5时,例：为研究某地男女学生的肺吸虫感染率是否存在差别，某研究者随机抽取该地80名男生和85名女生，查得感染人数男生23人，女生13人。请作统计分析。,H0: 1 = 2 H1: 1 2 = 0.05,26,Poisson分布,一.概念：,是二项分布的特例。当很小，而n很大时，则二项分布逼近Poisson分布。,例如：,每毫升水中大肠杆菌数的分布。 粉尘在单位容积内计数的分布。 放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布。 单位空间中某些野生动物或昆虫数的分布。 一定人群中某种患病率很低的非传染性

11、疾病患病数或死亡数的分布。,一般用于研究单位容积（或面积、时间）内某事件发生数。（小概率事件出现的规律性）,27,二. Poisson分布的概率：,= n为Poisson分布的总体均数；,X=0，1，2，,式中：,X为单位时间（或面积、容积等）某事件发生数；,e为自然对数的底，e2.71828,从式中可知，为Poisson分布的唯一参数。,X服从以为参数的Poisson分布，可记为XP（）。,递推公式：,28,例：据以往经验，新生儿染色体异常率一般为1%，试分别用二项分布及Poisson分布原理，求100名新生儿中发生X例（X=0，1，2，）染色体异常的概率。,1.按二项分布原理求P（X）,同

12、理，可求得P（2），P（3）等。,29,（2）按Poisson分布原理求P(X)：,=n=1000.01=1,同理，可求得P（4），P（5）等。,(1)递推公式：,30,(2)公式：,31,由表可见，对很小，n很大的同一资料用二项 布法与Poisson分布法计算结果是很接近的。但 Poisson分布的 P(X)的计算较为简便。,32,三. Poisson分布的图形：,根据，按式 可计算出的所有可能取值时的概率（），以其为纵轴，可绘制出poisson分布概率分布列的图形，可见，poisson分布图形形状完全取决于的大小。当时图形基本对称，随的增大，图形渐近于正态分布。,33,四. Poisson

13、分布的特性和应用条件：,离散型分布 .Poisson分布只有一个参数，即参数； Poisson分布可看成二项分布的特例，其应用条件也就是二项分布的应用条件。,3. 方差等于均数：即2= 。为Poisson分布的重要特征。 4. Poisson分布在不大时呈左偏态分布，随着的增大而逐渐趋于对称。当20时，可认为近似正态分布,问题： （1）具有传染性的罕见疾病的发生率能否用Poisson分布来分 析？ （2）细菌在牛奶中呈集落状存在能否用Poisson分布来分析？,5. Poisson分布的可加性。,34,若X1， X2， Xk相互独立，且它们分别服从以1，2， k为参数的Poisson分布，则T

14、=X1+ X2+ +Xk也服从Poisson分布，其参数为1+2+ k。,Poisson分布的可加性：,例如:某放射物质每.s放射粒子数服从均数为.的poisson分布，现随机取次观测结果进行研究，这次观测结果分别为每.s反射，及个粒子数，问每.s放射粒子数为多少？并指出其服从于均值为多少的poisson分布。 本例X1=2,X2=3,X3=4,利用poisson分布的可加性原理得到 X1X2X3=2349个 均值为2.2+2.2+2.2=6.6 每.s放射粒子数为个，每.s放射粒子数服从于均值为.的poisson分布,35,poisson分布与二项分布 及正态分布的关系 poisson分布可

15、视为二项分布的特例若某种现象的发生率甚小，而样本例数甚多时，则二项分布逼近poisson分布 . poisson分布的正态近似一般在实际应用中，当时，poisson分布近似正态分布，资料可根据正态分布原理处理，从而简化计算,36,poisson分布的应用,poisson分布的应用条件 凡具有贝努利实验序列个特点且很小n大时，其相应的变量一般认为服从poisson分布. 实际工作中，往往是未知的，当poisson分布的观察单位为n时，常用样本计数（样本均数）作为的点估计值，相应的样本标准差的计算式为： 标准误的计算式为：,37,当poisson分布的观察单位为n1时，常用样本均数n作为的点估计值

16、，相应的样本标准差的计算公式： 标准误的计算公式为： 例.某研究者取m纯净水培养，得细菌数个，试分别估计m和m纯净水中细菌数的标准差和均值 本例以每m纯净水为一个poisson分布观察单位，此时n1，利用式（.6）得样本标准差，,样本均值x=60,38,以每1m纯净水为一个poisson分布观察单位此时n5，利用式（.）得样本标准差为， 样本均数为个m 个m,39,1. 总体均数可信区间估计 1）查表法：X50，尤其p0 或 1时 例7.13：将一个面积为100cm2的培养皿置于某病室中，1小时后取出，培养24小时，查得8个菌落，求该病室平均1小时100cm2细菌数的95%可信区间。 查附表7

17、，x=8 得：3.4 15.8 故该病室平均1小时100cm2细菌数的95%可信区间为（3.4, 15.8） 例5.15 对某地居民饮用水进行卫生学检测中，随机抽查1mL水样，培养大肠杆菌2个，试估计该地区水中每毫升所含大肠杆菌的95%和99%可信区间。本例 x=2 95%可信区间得 （0.2，7.2）,问题： 若求该病室平均1小时50cm2细菌数的95%可信区间？ 将上述的上下限各除以2即可。,40,41,2）正态近似法： 当 X 50 时,例7.14：用计数器测得某放射性物质半小时内发出的脉冲数为360个。试估计该放射性物质每30分钟平均脉冲数的95%可信区间。,X样本计数,即该放射性物质

18、每30分钟平均脉冲数的95%可信区间为 322.8397.2个。,42,当Poisson分布的观察单位为n1时，其总体均数1-的可信区间计算公式为 若欲求该放射物质每分钟平均脉冲数的95%可信区间，因该放射物质每分钟总平均脉冲数为每30min总体平均数的1/30，故只需将每30min总体平均脉冲数的95%可信区间的下、上限322.8和397.2分别除以30，即可求得该放射物质每分钟平均脉冲数的95%可信区间为（10.76，13.24）,43,2. 样本均数与总体均数比较 1）直接计算概率法 例 7.15： 据以往大量观察但某溶液中平均每毫升有细菌3个。某研究者想了解该溶液放在5冰箱中3天，溶液

19、中细菌是否会增长。现采取已放在5冰箱中3天的该溶液1毫升，测得细菌5个。请作统计推断。,H0: =3 H1: 3 单侧 = 0.05,P(X5)，不拒绝H0，尚不能认为放在5冰箱中3天该溶液中细菌会增长。,44,直接计算概率法 根据Poisson分布的概率分布计算概率或积累概率，并依据小概率事件原理作出统计推断 某罕见非传染性疾病的患病率一般为15/10万，现在某地区调查1000人，发现阳性者2人问此地区患病率是否高于一般。 单侧 =0.05 本例 ，n=1000 ， 0=15/10万，0=n0=0.15，则在Ho成立的前提下，所调查的1000人中发现的阳性数XP（0.15），则有 在=0.0

20、5的检验水平上 接受H1，认为此地区患病率高于一般,2. 样本均数与总体均数比较,45,2）近似正态法： 20时,例 7.16： 某溶液原来平均每毫升有细菌80个，现欲研究某低剂量辐射能否杀菌。研究者以此低剂量辐射该溶液后取1毫升，培养细菌40个。请作统计推断。,H0: =80 H1: 80 单侧 = 0.05,P 0.01, 拒绝H0，接受H1。可认为此低剂量辐射能杀菌。,46,3. 两样本均数比较（近似正态法， 20时） 1）两样本的观察单位数相等（n1=n2）,例7.17：为研究两个水源被污染的情况是否相同，在每个水源各取10ml水作细菌培养，甲水源共生长890个菌落，乙水源共生长785

21、个菌落，请作统计推断。,H0: 1=2 H1: 12 = 0.05,P 0.01, 拒绝H0，接受H1。可认为两个水源被污染的情况不同，甲水源污染较重。,47,2）两样本的观察单位数不相等（n1n2）,例7.18：某车间在生产工艺改革前测三次粉尘浓度，每次测一升空气，分别测得38，29和36颗粉尘；改革后测取两次，分别有25，18颗粉尘。请据此推断改革前后粉尘浓度是否相同。,n1=3， X1=38+29+36=103； n2=2，X2=25+18=43。,48,例 某城市在连续5年中因交通事故而伤亡的总人数为152人。经采取安全措施后的两年中因交通事故而伤亡的总人数为44人，这个城市在这两个时

22、期的人口数基本不变。试评价安全措施的效果（单侧）？,H0: 1=2 H1: 1 2 单侧 = 0.05,n1=5， X1=152； n2=2，X2=44,49,小 结,二项分布常用于描述二项分类变量两种观察结果的出现率，Poisson分布是二项分布的特例，常用于分析小概率事件的发生规律。 1.二项分布的概念：二项分布（Binomial distribution）贝努里试验（j. Bernoulli.1713）分布.是一种最重要的离散型分布.它是用于说明结果只能出现 两种情况的n 次实验中发生某种结果为 x 次的概率分布.理论上说:若离散型随机变量X的概率分布满足于下式: x=0, 1, 2,.

23、n,50,2、二项分布的特点: （1）二项分布是离散型的，因而具有离散型的共同特点：图形为独立的一些线段，线段的高度代表概率的大小； （2）二项分布由两个参数决定，即n和； （3）二项分布的均数恰为两个参数的乘积，而 方差为均数的（1）倍，即有 ， , 率表示则有 ； (4 )当p=q=0.5时分布对称,pq时为左偏态,pq时为右偏态 (5) 当n足够大，且不太靠近0或1时，二项分布 趋于正态分布； （6）当n.0（如0.01）时，二项分布趋Poisson分布。,51,根据二项分布的第（3）个特点，可以算得其率的标准误为： 样本率估计得到 3、二项分布的累计概率 通常计算如下两种累计概率 最多

24、有k例阳性的概率（下侧累计概率） 最少有k例阳性的概率（上侧累计概率） 注意（1）下侧累计概率也就是其分布函数F（X）； （2）F（X）与Q（X）两者相加并不等于1，因为两者都累加了等于k时的概率。,52,4、二项分布的应用条件 （1）两分类性：各观察单位只能具有相互对立 的两种结果之一； （2）独立性：各观察结果互相独立； （3）已知：知道一种结果（如阳性） 的概率为，另一种为1。,53,.二项分布的应用 二项分布的应用主要在于区间估计和假设检验两个方面（详见表8.1）。这里强调两点： 1）、总体率区间估计的查表法实际上是根据二项分布公式解 方程（8.4），（8.5）得到，因此是一种精确计算

25、，相 当于假设检验（样本率与总体率比较）中的直接计算概 率法。 求上限 求下限 2）总体率可信区间估计中要计算双侧的上下限，而假设检验 中一般只计算单侧，问是否高于总体（或一般）时计算上 侧概率，而问是否低于总体（或一般）时计算下侧概率。,54,3）无论是假设检验还是可信区间估计，正态近似法都是一种近似算法，只有当服从近似的条件（一般认为np5，n（1-p）5）时才能采用。 4）无论是样本率与总体率的比较还是两样本率比较的u检验，均可用2检验来完成，二者是等价的（u2=2）一般来说，如给出的是四格表的观察数资料，用2检验方便一些；而给出的是率的资料，则用u 检验方便一些,55,Poisson分

26、布的概念及应用条件 1.Poisson分布的概念： Poisson分布也是一种重要的离散型分布。它是二项分布在n 很大而很小时的特殊情况，同样两分类资料在n次实验中发生X次某种结果的概率分布。其准确的定义为，若离散型随机变量X的概率分布满组下式 .n 则称X服从Poisson分布,56,2、Poisson分布的特点 （1）Poisson分布是离散型的，因而同样具有上述离散型 的共同特点； （2）Poisson分布只有一个参数，即参数； （3）Poisson分布的均数正巧等于其方差； （4）当较大时，Poisson分布趋于正态分布； （5）Poisson分布分布具有可加性。 3、Poisson分

27、布的累计概率 同二项分布，同样可计算上 下两侧累计概率。 4、Poisson分布的应用条件 因为Poisson分布是二项分布的特殊情况，因此使用Poisson分布既要满足前述二项分布的三个应用条件，还要求n很大而很小。,57,poison分布的 应用 poisson分布的 应用同样在于区间估计和假设检验两个方面（详见表8.1）。这里强调两点 .总体率区间估计的查表法实际上是根据poison 分布公式解方程（8.），（8.）得到，因此是一种精确计算，相当于假设检验（样本率与总体率比较）中的直接计算概率法。 求上限 求下限,58,2.总体率可信区间估计中要计算双侧的上下限，而假设检 验中一般只计算

28、单侧，问是否高于总体（或一般）时计 算上侧概率，而问是否低于总体（或一般）时计算下侧 概率。 3. Poisson分布中的x具有率的含义(视这n=1时的率) 4.利用正态近似法来处理Poisson分布将资料较为简便,但同样应满足正态近似的条件(一般认证 20),若不满足可利用可加性将若干观察 位合并 5.两均数比较时需 观察单位(时间.面积.人口.基数等)相同,若不同需 化为相同,而且只能大单位化小单位(如5万人化为 1万人),59,两种分布的关系,说明n个观察数中恰好发生X个 某事件的概率,说明一定观察单位内发生某事件 数为X 的概率,n.,60,无,有,61,62,二项分布与Poisson分布的SPSS演示,二项分布的累积概率计算：