第2章一维随机变量及其分布.ppt

1、第一节 随机变量,第二节 离散型随机变量,第三节 连续型随机变量,第四节 随机变量函数的分布,一维随机变量及其分布,第二章,基本要求,1.掌握随机变量的概念,熟悉一维离散型和连续型随机变量; 2.会求简单的一维离散型随机变量的分布律; 3.熟记并能应用分布律和分布密度的性质; 4.深刻理解分布函数的定义和性质; 5.在已知分布律或分布密度的条件下,能熟练地求出分布函数和有关的概率; 6.记住几个常用分布, 熟悉它们的特性.,重 点,分布律和分布密度.,难 点,分布函数的求法,学时数 8,第一节 随机变量与分布函数,一、一维随机变量的定义,例2.2 各面涂漆的正方体,将每条棱10等分,锯成100

2、0个 小正方体,观察每个小正方体涂漆的面数.,解：,例2.3 测试灯泡寿命.,解：,例2.4 袋中有红球二个, 黄球四个, 它们的标号是1, 2, 3, 4, 5, 6. 现从中任取一个球, E1: 观察标号数; E2: 观察颜色.,解：,(1)它的取值是随机的, 因而它取每一可能值都有一定的概率;,(4) 每一个事件都可以用一个随机变量来描述, 称为事件的数量化.,注意: 随机变量是定义在样本空间上的实值函数, 它与 普通的实函数有本质的区别:,(2)它的定义域是样本空间S, 而S不一定是实数集;,(3)对任意实数x， 概率PXx存在.,二、随机变量的概率分布,设X是随机变量, 则它的取值规

3、律(即可能取哪些值, 取这些值的概率分别是多少？)称为X的概率分布(简称分布). 通常用分布函数, 分布律或分布密度来描述随机变量的分布.,三、随机变量的分布函数,注 意:,1.分布函数的定义,（1） 是一普通实函数, 它的定义域是实数集, 故求分布函数时, 要 就落在整个数轴上讨论.,解:,-1 0 1 2,是一维随机变量, 它的可能取值是-1, 1, 2.,. . . .,例2.5 设袋中有标号为-1, 1, 1, 2, 2, 2的六个球, 从中任取一个球, 求所取得的球的标号数 的分布函数, 并画出函数图象.,综上所述得:,F(x)=,-1,1,2,。,。,。,解:,(2).当1x 2时

4、, 由几何概率知:,(3).当x 2时, (Xx)=S,例2.6 一均匀陀螺的圆周上均匀的刻有区间1, 2)上诸数字, 在桌面上旋转它, 求当它停下来时, 圆周与桌面接触处的刻度 的分布函数, 并作出函数图象.,是一维随机变量, 它的可能取值是区间1, 2)上诸数字.,综上所述得:,F(x)=,o,x,y,1 2,1,例2.7 在半径为2的圆域D中任投一个点,设点落在D的任何部分区域的概率与该区域的面积成正比,用 表示投入的点与圆心的距离,试求 的分布函数.,2.分布函数的性质,注 意:,凡满足(1)(4)的实函数F(x)一定是某个随机变量X的分布函数.,易证以下关系成立,证明:,即F(x)单

5、调不减.,(4)显然F(x)处处连续,当然右连续. 由此可见, F(x)是某一随机变量X的分布函数.,例 2.8 试证 是分布函数, 其中:,解：,解：,第二节 一维离散型随机变量,或,X,P,x1 x2 xi .,p1 p2 pi ,一、离散型随机变量及其分布列,二、分布律的性质,1. 非负性,2. 规范性,注意:,(1)凡满足 1 与 2 的函数PX=xi=pi一定是个离散型随机变量的分布律.,(2)分布函数为,(3)求离散型随机变量的分布函数有两种方法, 其 一是按定义F(x) = P( X x) 直接求; 其二 是先求分布律, 然后用(ii)中公式求F(x).,解：,-1,1,2,例2

6、.11设袋中有标号为-1, 1, 1, 2, 2, 2的六个球, 从中 任取一个球, 求所取得的球的标号数 的分布律和 分布函数。,的分布律为:,例2.12 某人投篮,命中率为0.7,规则是:投中后或投4次 后就停止投篮.设 表示“投篮次数”,求 的分布律.,X,P,1,2,3,4,0.7,0.21,0.063,0.027,解：,的分布列为,三、 几个常用分布,1. (01) 分布 :,X的分布律为:,2. 二项分布:,X的分布律为:,X的分布律为:,3. 分布:,关于二项分布,有,(1)二项分布是以n重贝努里试验为背景;,(2)当n=1时,二项分布退化为(0-1)分布;,(3)若(n+1)p

7、不为整数, 则当k=(n+1) p时,P(X=k)取最大值; 若(n+1)p为整数, 则当k=(n+1) p和k=(n+1)p-1时, P(X=k)取最大值.使P(X=k)取最大值的k称为二项分布B(n, p)的最可能次数.,所以,若(n+1)p不为整数, 取k=(n+1) p ,若(n+1)p为整数, 取k=(n+1) p和k=(n+1)p-1, 此时P(X=k)取最大值.,定理1（poisson定理） 设随机变量序列Xn服从二项分布（n=1，2， ）其分布列为,故当n很大时, p很小(一般是n10, p0.1)时, 有:,例 2.13 某人进行射击, 每次命中率是0.02, 独立射击400

8、次, 求命中次数X2的概率.,解1:,把独立射击400次看成400重贝努里试验, 故,因此,解2:,因n=400比较大, p=0.02比较小, 故可以用普阿松分布来近似. 即,其中: =np=4000.02=8.,例 2.14 有一汽车站, 每天都有大量汽车通过, 设每辆汽车在一天中的某一段时间内发生事故的概率为0.0001, 而在某一天的该段时间内有1000辆汽车通过, 试求发生事故的次数X2的概率.,解:,X B(1000, 0.0001)，由于n=1000比较大， p=0.0001比较小，故可用普阿松分布来计算，其中= np=0.1.,例 2.15 某商店出售某种贵重商品, 根据以往经验

9、,每月销售量X服从参数=3的普阿松分布, 问在月初进货时要库存多少件此种商品,才能以99%的概率充分满足顾客的需要.,解:,设月初库存量k件,则依题意有:,查表可知 k+1=9, 即月初进货时,要库存8件这种商品, 才能以99%的概率充分满足顾客的需要.,例2.16 设有20个工人间歇性地使用电力,在任何一时间 每一个工人需要一个单位电力的概率为0.3,若个工人相 互独立地工作,求最大可能有多少工人同时需要得到一 个单位的电力供应.,解：,*例 2.17 设有一批同类产品共N件, 其中次品M件, 现从中任取n件(nN), 试求取出的n件中所含的次品件数X的分布律.,解 :,E : 从N件产品中

10、一次任取n件, 则S含有的基本事件总数为:,设 A = 取出的n件中恰有k件次品, 故A含有的基本事件数为:,(超几何分布),*例 2.18 在例2.18中, 如果n件是一件接一件地有放回取出的, 试求取出的n件中所含的次品件数X的分布律.,解:,E: 从N件中有放回地任取n件,则S含有的基本事件总数为:,设 A = n件中恰有k件次品, 则A含有的基本事件数为:,例 2.19 设某种灯泡的使用寿命超过5000小时的为一等品, 已知某一大批产品中, 一等品率为0.2, 现随机地抽取15只灯泡, 试求抽取的15只中含有的一等品数X的分布律.,解:超几何分布的极限分布为二项分布(参看教材P49).

11、,本题属不放回抽样问题, X应服从超几何分布, 现不知产品总数N, 但知N很大, 故可以用二项分布来近似: XB(15, 0.2), 即X的分布律近似于:,*,解：,*,证明：,*,*例 2.23 波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴,分别放在他的左,右两个衣袋里,每盒有n根火柴,他需要火柴时,便随机地从其中一盒取出一根. 试求他发现其中一盒已空而另一盒中剩下的火柴根数X的分布律.,解:,设 A = 取左衣袋中的一盒,显然,取一次火柴看成一次贝努里试验.若发现左边一盒已空而右边一盒剩k根时,共做了(n+1)+(n-k)=2n-k+1次贝努里试验, 其中A发生了n+1次, 发生了n-k次, 其概率为

12、:,故X的分布律为:,由对称性，若发现右边一盒已空而左边一盒剩k根的概率也是,第三节 一维连续型随机变量,定义 设F(x)是随机变量X的分布函数, 若存在非负可积函数f (x), 使对任意实数x,有,则称X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率分布密度函数(简称密度函数).,一、连续型随机变量的定义,二、 分布密度函数的性质,(1)非负性,(2)归一性,(3),(4),若f(x)在x处连续, 则F(x)=f(x),(5),连续型随机变量取某一常数值a的概率为0, 即P(X=a)=0,注 意:,(1).若函数f(x)满足性质(1)与(2),则f(x)一定是某个连续型随机变量的分布密度.,(2)

13、.由性质(4)知:,可见, f(x)反映了随机变量X取x的邻近的值的概率, 这就是常用它来描述连续型随机变量的分布的原因.,(3).由性质(5)知: 对于连续型随机变量X有:,(4).由性质(5）知,概率为0的事件,不一定是不可能事件; 概率为1的事件也不一定是必然事件.,(5).F(x) 在整个数轴上连续.,(6) .若已知X的分布密度f(x), 求分布函数F(x), 则用积分法, 当f(x)是分段函数时,积分要分段讨论. 若已知分布函数F(x), 要求分别密度f(x)时, 则用微分法.,例 2.24 设,0, x0,(1).证明f(x)是某随机变量X的分布密度; (2).求X的分布函数;

14、(3).求P0X1.,解:,故f(x)是某个连续型随机变量X的分布密度.,(2).,当x 0时,f(x)=0,当x 0时,(3).,或,综上所述得:,0, x 0,解：,三、几个常用分布,1.均匀分布,X在a, b上服从均匀分布,它的分布密度是:,0, 其它,例2.26 试求均匀分布的分布函数,解:,当 x a时, f (x)=0,当 axb 时,则称X在a,b上服从均匀分布.记为XUa,b,当 x b时, f (x) = 0,综上所述得:,F (x)=,0, x a,1, x b,2 指数分布:,0, x 0,如果X的分布密度函数为:,则称X服从参数为的指数分布,记为XE().,指数分布的性

15、质：,则结论成立,例 2.28 设X服从参数=1的指数分布,求方程:,无实根的概率. (关于x的二次方程),解:,要方程无实根, 则必须判别式小于0, 即:,*例 若已使用了t小时的电子管在以后t 小时内损坏的概率为 , 其中 是不依赖与t的数. 求电子管在x 小时内损坏的概率.,解: 设X为电子管的寿命, 按题意要求 P(Xx)=F(x),对于题中的“已使用了t小时的电子管在以后的 内损坏的概率”是一条件概率，即:,由条件概率公式得:,令,当t 0,时, PXt=0, 即F(t)=0, 由此推出c = 0,当t=x时,即有:,3.正态分布(又称Gauss分布),(1)定义 如果X的密度函数为

16、:,其中,是常数,且0. 则 称X服从参数,的正态分布,记为 ;当=0,=1时，X N(0, 1)， 称为标准正态分布.其分布密度为 , 分布函数为,且:,(2)正态分布具有下列性质:,(i),f(x)的图象关于直线x=对称;,(ii),(iii),f(x)在(-, 上递增, 在,+)上递减, 在x=达到极大值:,O,定理 设 ,F(x)是X的分布函数, 是标准正态分布的分布函数,则对任意实数x,有,证:,*例 2.30 设 为分布密度,验证:,证明:,例 2.31 设 , 求 , 其中k=1, 2, 3.,解:,注 意:,可见, X落在“ ”之外的概率是很小的;,（2）当XN(0, 1) 时

17、, P|X| 3 时,(x)的值几乎等于1, 往往取作1.,若XN(0, 1), 满足条件:,则称 为标准正态分布的上分位点. 如下图所示.点的求法是反查附表.,O,标准正态分布的临界点,例 试求标准正态分布的上 点 ( ),解:,由题设:,反查附表上 点,一、一维离散型随机变量的函数的分布,设X是离散型随机变量, 其分布律为： P(X=xi)=pi(i=1,2,), 且y=g (x) (1)如果当 xixj时, g (xi)g (xj) (ij ), Y=g ( X ) 是一维离散随机变量, 它的分布律为:,第四节 随机变量函数的分布,(2)若有xixj, 而g (xi)=g (xj),则必须将X取xi与xj 的概率作相应的合并.,例2.35 已知X的分布为:,X,P,求 (1).X+1; (2).2X2+1的分布律.,解: 列表:,X+1,2X2+1,X,P,1.分布函数法:,二、一维连续型随机变量的函数的分布,设X的分布密度为f(x), X的取值范围是(a, b)(可以是无穷区间),且y= g (x)是x的单调可微函数,则Y=g (X)是一维连续型随机变量,它的分布密度为:,0, 其它.,其中g-1(y)是y= g (