第八章假设检验.ppt

1、第8.1节 假设检验的基本概念,众所周知,总体 的全部信息可以通过其分布函数 反映出来,但实际上,参数 往往未知,有时甚至 的表达式也未知.因此需要根据实际问题的需要,对总体参数或分布函数的表达式做出某种假设(称为统计假设),再利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做出判断或进行检验.,1. 问题的提法,统计检验(假设检验),这种利用样本检验统计假设真伪的过程叫做,在许多实际研究中,都有需要做出检验的问题.如:某批产品能否出厂?某生产线工作是否正常?某人是否患有某种疾病?某种新药的治疗效果是否提高了?发生事故是否与星期几有关?某次水平考试是否正常?等等,都需要做出检验.,假设检验,参数假

2、设检验 非参数假设检验:,XF(x,),为参数,假设 =0,例XF(x)，F(x)未知,假设 F(x)=F0(x),例8.1.1.某地旅游者的消费额服从正态分布XN(,2), 调查25个旅游者,得出一组样本观测值x1,x2,x25,若有专家认为消费额的期望值为0,如何由这组观测值验证这个说法？,假设检验为 =0,例8.1.2.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体的含量服从正态分布XN(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),问用简便方法测的有害气体含量是否有系统偏差?,假设检验 =23,2=22,例8.1.3.用精确方法测量某

3、化工厂排放的气体中有害气 体的 含量服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据 23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量 的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?,假设 H0: =23,解:由题意得:用简便方法测得有害气体含量XN(,22),若H0成立,则,若取=0.05,则,P|U|z1-/2=,即: P|U|1.96=0.05,在假设成立的条件下,|U|1.96为概率很小事件,一般认为:小概率事件在一次实验中是不会发生的,将样本观测值代入U得,|u|1.96,小概率事件在一次实验中发生了,否定原假设,简便方

4、法测得均值有系统偏差.,故假设不合情理,即:,2. 假设检验的基本思想,(1)小概率原理(实际推断原理)认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中出现了,就被认为是不合理的.,(2)基本思想:先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问题,应予以否定,即拒绝这个假设.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设,表明试验或抽样结果支持这个假设,这时称假设与实验结果是相容的,或者说可以接受原来的假设.

5、,另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,造成犯“取伪”的错误,称为第二类错误,3. 假设检验的两类错误,在假设检验中,否定原假设的理由是小概率事件在一次试验中出现了,但小概率事件并不是不会出现,只是出现的可能性较小,即出现的概率不超过很小的正数 ,就是犯第一类错误的概率的最大允许值.,一般用 表示犯第二类错误的概率.,因此,根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的假设否定了,造成犯“弃真”的错误,称为第一类错误,在进行假设检验时,我们采取的原则是: 控制犯第一类错误(即 事先给定且很小)的同时使犯第二类错误的概率达到最小.,当样本容量 一定时, 小, 就大,反之, 小,

6、 就大.,另外,一般 ,即使 碰巧出现,也决不能把“犯第一类错误”和 “犯第二类错误”理解为相互对立的事件.,3. 假设检验的两类错误,弃真 充伪,/2,/2,增大样本容量n时,可以使和同时减小.,注意:,z1-/2,- z1-/2,=0,0(0),小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实际问题的要求而定,如取=0.1,0.05,0.01等, 为检验的显著性水平(检验水平).,4. 显著性水平与否定域,在假设检验过程中,使得小概率事件出现的统计量的取值范围称为该假设检验的否定域(拒绝域), 否定域的边界称为该假设检验的临界值.,/2,/2,接受域,P|U|u1-/2=1-,否定域的大小,依赖

7、于显著性水平的取值, 一般说来,显著性水平越高,即越小,否定域也越小,这时原假设就越难否定.,注意:,否定域,否定域,z1-/2,- z1-/2,5.假设与对立假设,统计假设通常用字母“ H ”表示.如果关于总体有两个二者必居其一的假设,习惯上把其中的一个称作原假设(基本假设、零假设)用 H0表示,而把另一个假设称作对立假设(备择假设)用 H1表示.,原假设的确定一般应遵循以下几条原则: 一.要把“着重考察的假设”确定为原假设; 二.要把“支持旧方法的假设”确定为原假设; 三.要把等号放在原假设里; 四.要所答是所问,不要所答非所问; 五.“后果严重的错误”定为第一类错误.,原假设 备择假设,

8、H0,H1,当对立假设位于原假设两侧时,称为双侧假设,相应的检验称为双侧假设检验;当对立假设位于原假设一侧时,称为单侧假设,相应的检验称为单侧假设检验.,6. 假设检验的一般步骤,第一步 提出待检验的原假设 和对立假设 ;,第二步 选择检验统计量,并找出在假设 成立条件下,该统计量所服从的概率分布;,第三步 根据所要求的显著性水平 和所选取的统计量,查概率分布临界值表,确定临界值与否定域;,第四步 将样本观察值代入所构造的检验统计量中,计算出该统计量的值,若该值落入否定域,则拒绝原假设 ,否则接受原假设,第8.2节 一个正态总体的假设检验,(2)选择包含的分布已知函数:,(4)将样本观测值代入

9、U, 若|U|u1-/2,否定原假设; |U|u1-/2,接受原假设.,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,1.2已知,的假设检验：(H0:=0, 0, 0),1) H0:=0; H1:0,(1)提出原假设和备择假设:,H0:=0; H1:0,(3)由给定,查u1-/2,得否定域为|U| u1-/2,其中,/2,/2,接受域,P|u|u1-/2=1-,否定域,否定域,u1-/2,- u1-/2,双侧假设检验,U检验,(2)选择包含的分布已知统计量:,例8.2.1.由经验知某零件重量XN(,2),其中 =15, 2=0.05,技术革新后,抽查6个样品测得重量为(单位: 克)14

10、.7,15.1,14.8, 15.0,15.2,14.6,已知方差不变,问平均重量 是否仍为15?(=0.05),分析:2已知,的假设检验,(4)将样本观测值代入,解(1) H0:=0=15; H1:15,(3)=0.05,查表(u1-/2)=(u0.975)=0.975得u1-/2=1.96, 所以否定域为|U| 1.96,|U|u1-/2,故接受原假设.即零件的平均重量仍为15.,1.96,例8.2.2.用传统工艺加工罐头,每瓶Vc含量平均值,为19毫克，现改进加工工艺,抽出16瓶罐头测得Vc含量为23,20.5,21,22, 20,22.5,19,20,23,20.5,18.8,20,1

11、9.5,18,23(毫克),假定Vc含量服从正态分布,方差2=4,问新工艺下Vc平均含量是否比旧工艺下含量高?,分析:所求结果为19或19,选择19为原假设,解:设H0: 19, H1: 19,取统计量 ,U的分布不确定,令,则,对给定的,Uu1-,PUu1-,=,PUu1-,(小概率事件),查表得u1-=1.64,将样本观测值代入得u=3.6,1.64,小概率事件发生了,所以否定原假设,即新工艺下Vc平均含量比旧工艺下含量高.,(所答是所问),接受域,PUu1-,否定域,u1-,单侧假设检验,(2)选择统计量:,(4)将样本观测值代入U, 若Uu1-, 否定原假设; Uu1-, 接受原假设.

12、,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,2) H0:0; H1:0,(1)提出原假设和备择假设:,H0:0; H1:0,(3)由给定,查z1-,得否定域为U u1-, 其中,(2)选择包含的分布已知函数:,(4)将样本观测值代入T, 若|T|t1-/2(n-1),否定原假设; |T|t1-/2(n-1),接受原假设.,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,2.2未知,的假设检验：,(1)提出原假设和备择假设:,H0:=0; H1:0,(3)由给定,查t(n-1),得否定域为|T| t1-/2(n-1);,/2,/2,接受域,否定域,否定域,(T检验）,单正态总体

13、假设检验列表如下:,例8.2.3 两厂生产同一产品, 其质量指标假定都服 从正态分布,标准规格为均值等于120. 现从甲厂抽出5件产品测得其指标值为:,例8.2.4一家食品加工公司的质量管理部门规定, 某种包装食品每包净重不得少于20千克, 经验表明, 重 量近似服从标准差为1.5的正态分布, 假定得到50包食品构成的样本为:,接受域,(2)选择包含2的分布已知函数:,(1)提出原假设和备择假设:,(3)由给定,查,H0: 2 = 02; H1: 2 02,/2,/2,1,2,否定域,否定域,得接受域为1 2;,(4)将样本观测值代入 , 若1 2,接受原假设; 否则,拒绝原假设.,例8.2.

14、5设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中 随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平=0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?,(2)选择包含的分布已知统计量:,分析:设考生成绩XN(,2),2未知,的假设检验,(4)将样本观测值代入,解(1) H0:=0=70; H1:70,(3)=0.05,查表得t1-/2(n-1)=t0.975(35)=2.0301, 所以否定域为|T| 2.0301,故接受原假设.即可以认为考生平均成绩为70.,2.0301,例8.2.6.某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下服从 正态分布，现对操作工艺进行了改变

15、，从中抽取7炉铁水的试样测得 问是否可以 认为新工艺炼出的铁水含量的方差仍为0.1122?(=0.05),(2)选择统计量:,故拒绝原假设.即认为方差不是0.1122.,解:(1)H0: 2 = 0.1122; H1: 2 0.1122,(3)查表得,14.449,接受域为1 2,(4)将样本观测值代入,得 =16.79,4.未知期望，2的(单侧)假设检验：,(1)提出原假设和备择假设:,H0: 2 02; H1: 2 02,(2)选择统计量,则,对给定的及任意实数有,即,取,=,(3) 所以,否定域为,(4)将样本观测值代入 ,若 接受原假设;否则,拒绝原假设.,接受域,否定域,单侧假设检验

16、,例8.2.7.某中导线要求电阻的标准差不得超过 0.005,今在生产的一批导线中取样品9根,测得S=0.007.设总体服从正态分布,在显著性水平=0.05条件下,能认为这批导线的标准差显著偏大吗?,解:(1)H0: 0=0.005; H1: 0.005,(2)选择统计量,(3)查临界值得,所以,否定域为,解：,结论如下：,例8.2.9.,解：需分两步进行检验,（1）,取统计量,查表得,经计算,不能否定H0，可认为平均每袋盐500克。,（2）,查表得,计算得,由（1），（2）可以认为，包装机工作不正常。,第8.3节 两个正态总体的假设检验,设A市考生成绩XN(1,12), B市考生成绩Y N(

17、2,22),假设检验,(一) 12, 22已知, 1-2的假设检验:,设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),X,Y 相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本X1, 和 Y1, , 样本均值和样本方差分别记为,(2) 选择检验统计量:,(1) 提出原假设和备择假设:,H0:1-2=0 ，H1: 1-2 0,同单正态总体类似可得:,(4)将样本观测值代入U, 若|U|u1-/2,否定原假设; 若|U|u1-/2,接受原假设.,(3)给定,查u1-/2, 得否定域为|U| u1-/2, 其中,例8.3.1 从两个教学班各随机选取16名学生进行数学测验, 第一教学班与第二教学班测验结果的

18、样本方差分别为80、82，已知两教学班数学成绩的方差分别为57与43, 在显著性水平0.05下, 可否认为这两个教学班学生的数学测验成绩有差异?,(二) 12=22=2, 2未知,1-2的假设检验:,(1) 选择检验统计量,(2)给定,查表得 t1-/2(n1+n2-2)或t1-(n1+n2-2) ，可知,(T检验）,(三) 12,22未知,且1222 ,但n1=n2,1-2的假设检验:,通常采用配对试验的t检验法,令,则,可看作是来自总体,的一个样本,检验假设,用统计量,(四) 12,22未知,且1222 ,但n1n2,1-2的假设检验:,则,其中,可看作如下总体的样本,检验假设,取统计量,

19、(五)未知1,2，方差比12/22的假设检验:,(2)选择检验统计量:,(3)查临界值:,/2,/2,1,2,得否定域为F 2,(4)将样本观测值代入F, 若F 2否定原假设; 否则,接受原假设.,(1)提出原假设和备择假设:,H0:12/22=1; H1: 12/22 1,双正态总体参数的假设检验,设总体 ,来自各个总体的s.r.s 分别为 ,且相互独立.,单正态总体参数的假设检验,双正态总体的假设检验,小结:,期望假设检验 方差的假设检验,2已知 2未知,均值差的假设检验 方差比的假设检验,两个方差都已知 两个方差未知但相等,U T,F,双侧 单侧,双侧 单侧,U,T,(1)检验的命名依据

20、的是所用检验统计量的概率分布,无论是哪种检验,都要用到相应分布的分位数,各种分布的分位数记号一定要清楚; (2)无论是双侧检验还是单侧检验,对同一类检验问题,所选用的统计量都是一样的,所不同的是否定域,要很好地掌握确定否定域的方法; (3)方差未知时,对两总体均值的比较,应当先进行方差的比较(F-检验),得到两总体方差相等的结论后,再进行均值的比较(t-检验).,注意:,例8.3.3 为了解两种教学法对9名学生试验的结果, 经试验后, 测得成绩如图中A列和B列. 假定总体为正态, 以0.05为显著性水平, 检验此两种教学法效果是否不同?,解 检验原假设,=0,1. 设我国出口凤尾鱼罐头250克

21、,根据以往经验,标准差是3克.现在某食品工厂生产一批供出口用的这种罐头,从中抽取100罐检验,其平均净重是251克.假定罐头重量服从正态分布,按规定显著性水平为0.05,问这批罐头是否合乎出口标准,即净重恰为250克?,2=9已知,=250的一个正态总体假设检验.,练习,2 . 一家食品加工公司的质量管理部门规定,某中包装食品每包净重不得少于20千克.经验表明,重量近似服从标准差为1.5千克的正态分布.假定从一个由50包食品构成的随机样本中得到的平均重量为19.5千克,问有无充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了?,方差已知,一个正态总体均值的单侧假设检验,3(954). 设 是来自正态总体

22、 的s.r.s, 其中,2均为未知.记 则假设 的 t 检验使用统计量 t =_,4(981). 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随即地抽取36位考生的成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并写出检验过程.,附表: t 分布表,5 某公司人事部门为一项工程上马在社会上招大批青年工人.在文化考试结束后,经理问人事部门情况怎么样?回答说:很好,估计平均成绩可达90分.经理随即地从试卷中抽出20份,发现平均成绩为83分,标准差为12分.如果经理想在0.01的显著性水平下检验人事部门所做的推测的准确性,应该怎样处理?,方差未知,一个正态总