线性代数课本课件54

1、1、内积的概念,2、再论正交阵,5.4 向量的内积,将两向量a与b的内积(或称标量积或数量积),其中的记号,表向量的范数(那时称模或长度)，而,为向量a与b的夹角 ( 0 ).,记作 (那时记作,1、内积的概念,称范数为1的向量是单位向量，每个非零向量均可规范,化，得出该方向的单位向量,因为,故有,即,是正交向量.,内积还可表达为,两个非零向量a与b相互正交的充分必要条件是,记号 ba表示b在a上的投影值，ba=|b|cos.,但b在a上的投影向量是,定义残差向量为,可以证明残差向量与 a 是正交的，因为,若向量a,b的坐标表示为,则有,非零向量a,b正交的充要条件即为,可将三维空间向量内积定

2、义延伸到对Rn空间，从而发展一些几何概念并对有关算式作几何解释.,定义 对Rn空间的向量 a,b,称数,为a,b的内积，即,常称定义了内积的向量空间或其子空间为内积空间，,带上述内积定义的向量空间Rn是内积空间或为欧几里得空间.,对于欧几里得空间，当aRn ,相仿的可定义,显然，当且仅当a=0时|a|=0,向量范数,单位向量,|a|=1,向量的规范化向量,b在a向量上的投影向量,残差向量,若=0,称向量a与b是正交向量, 记作ab.,规定：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交,例 给定R4的两个向量,可算出,故,u在v上的投影向量为,残差向量是,定理 若 a1, a2, , ar 是一组两

3、两正交的非零向量，则 a1, a2, , ar 线性无关 证明 设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量），那么 0 = = = k1 + k2 + + kr = k1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2 因为 |a1| 0，所以 k1 = 0 同理可证，k2 = k3 = = kr =0 综上所述， a1, a2, , ar 线性无关,定义 两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组,例 已知3维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交 解 设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1a3 ， a2a3 ，则 =

4、 a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0,等价于求方程组,得,取,定义 设 n 维向量e1, e2, , er 是向量空间 V ( )的一个基，如果 e1, e2, , er 两两正交； e1, e2, , er 都是单位向量， 则称 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基 例 是 R4 的一个规范正交基,也是 R4 的一个规范正交基,是 R4 的一个基，但不是规范正交基,设 e1, e2, , er 是向量空间 V 的一个正交基，则V 中任意一个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + + lrer 于

5、是 特别地，若 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基，则 问题 向量空间V的一个基 a1, a2, , ar 向量空间 V 的一个规范正交基 e1, e2, , er,？,求规范正交基的方法,第一步：正交化施密特正交化过程 设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 的一个基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,规范正交基,第一步：正交化施密特正交化过程 设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 故 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基,第二步：单位化 设 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基，令 从而 e1, e2, , er 是向量空间 V 中的一个规范正交基,例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化 解：第一步正交化，取,例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化 解：第二步单位化，令,定义 如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵,于是 从而