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1、第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积1求由抛物线与所围图形的面积。解 设所围图形面积为S。如图10-1。解方程组，得两曲线两交点坐标为A(-1,1),B(1,1)，则积分区间为-1，1。图形面积为2.求由曲线与直线所围图形的面积。解 设所围图形总面积为S,3.抛物线把圆分成两部分,求这两部分面积之比.解 设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积,则 : , . .4. 求内摆线所围图形的面积.解 设所围图形的全部面积为S.取积分变量为 t,当t由变到0时,就得到曲线在第一象限的部分.5. 求心形线所围图形的面积.解 设所围图形的面积为S.取积分变量为 ,当由0变到时,即得到曲线在x轴上方部分

2、.由极坐标系下面积的积分表达式有: .6. 求三叶形曲线所围图形的面积.解 设三叶玫瑰线围成的区域面积为S,取积分变量为,当由变到时,就得到曲线在第一象限的部分的一半.(如图10-6) .2 由平行截面面积求体积1. 如图10-7所示直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得的锲形体的体积.解 设垂直与x轴的截面面积函数为A(x),立体体积为V.按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为:由相似三角形边长比的关系知 所以 ,又A(x)=所以 V= dx=-42. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积.(1) 解 .(2) 解 .（3） ，绕极轴；解 为心脏线方程，其极轴（x轴）之上部分的

3、参数方程为 .（4）绕y 轴。解 得 ， .3.已知球半径为 r,验证高为 h的球缺体积解 设球缺体积为v,半径为r,高为h,则由旋转体体积公式有 。 3 平面曲线的弧长与曲率1. 求下列曲线的弧长。（1）解 由于 ,由曲线的弧长公式有 .（2）解 令，则由参数方程下弧长公式.（3）：解 , , .(4)解 (5) 解 （6） .解 由极坐标下弧长公式.2. 求下列各曲线在指定点处的曲率:(1) 解 因为 所以 .由曲率公式,曲线在(2,2)的曲率为: .(2) 在点(1,0);解 因为 , ,所以 .(3) . ,; .由曲率公式有 .(4) .所以 . 5 定积分在物理中的某些应用1 有一等腰梯形闸门,上下两条底边长为10cm和6cm,高为20cm计算当水面与上底面相齐时闸刀门一侧所受的静压力.解 如图,由B.C点的坐标(0,5)及(20,3)求出过BC的直线方程为:,即由于在相同深度处水的静压强相同.其值等

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