专题4.2 二面角（理科）-2018年高考数学备考之百强校大题狂练

1、2018届高考数学大题狂练第四篇 立体几何（理科）专题02 二面角1如图，在三棱柱中， 侧面底面. (1)求证： 平面；(2)若,求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析: （1）由四边形为菱形，得对角线，由侧面底面，得侧面B1，从而1，由此能证明平面；（2）由勾股定理得，由菱形中，得为正三角形，以菱形的对角线交点为坐标原点方向为轴， 方向为轴，过且与平行的方向为轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的余弦值.侧面底面，侧面，.又,平面.(2)在中， ,又菱形中， ，为正三角形.设为平面的方向量，则令,得为平面的一个法向量.又

2、为平面的一个法向量，.二面角的余弦值为.2如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，平面平面，点为的中点（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）试题解析：（1）取的中点，的中点，连接、，如图所示则平面平面，平面即为所求的平面 理由如下：在平行四边形中，点分别是与的中点，所以，在中，点分别是的中点，所以 显然，所以平面平面，亦即平面 平面 （2）不妨设,，故,在平行四边形中，所以取的中点，则又平面平面，平面平面，所以平面 连接，因为，所以，又，所以如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，,，所以，设平面

3、的法向量为，则由，即，整理得令，所以所以3如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ，且底面.（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，且，求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）易证得， ，所以有平面，从而得证；（2）分别以， ， 为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量为，平面的一个法向量为，由法向量的所成角可得解.试题解析：（1）证明：，.又底面，.，平面.而平面，平面平面.（2）解：由（1）知， 平面，.故， .设平面的法向量为，则，即，令，得.易知平面的一个法向量为，则，二面角的大小为.4如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四

4、边形是边长为2的菱形，平面.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得，根据线面垂直得，再根据线面垂直判定定理得平面，即得.最后根据得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.又棱台中， (2)建立空间直角坐标系如图所示， 则， ， 所以，设平面的一个法向量为，则,，.令，得， ； 设平面的法向量为，则,，令，得， ， 设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 5在四

5、棱锥中，四边形是矩形，平面 平面，点、分别为、中点.（1）求证： 平面；（2）若，求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）试题解析：（I）证明：取中点，连接在中，有 分别为、中点 而平面， 平面 平面 （II）取中点，连接，设. 四边形是矩形 平面 平面,平面 平面= ， 平面 平面 又 ， ， 为中点 ， ， .故可建立空间直角坐标系，如图所示，则， ， ， ， ， ， 设是平面的一个法向量，则 ，即不妨设，则易知向量为平面的一个法向量 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 6如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面, 为中点, 是棱上的点, .（）若点是棱的中点,求证: 平面;（）求证:平面平面;（）若二面角为,设,试确定的值.【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）.（）以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面中, ，利用向量的夹角公式，即可求得的值.试题解析：因为平面, 平面所以平面.（）因为为中点,所以四边形为平行四边形,所以.因为,所以,即.又因为平面平面,且平面平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.（）因为为的中点,所以.又因为平面平面,且