工程力学教学课件第4章扭转

1、第4章 扭 转,4.1 概念,4.2 扭矩及扭矩图,4.3 薄壁圆管的扭转,4.4 圆轴扭转时的应力和强度条件,4.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,4.1 概念,第 4 章 扭 转,汽车传动轴,4.1 概念,第 4 章 扭 转,4.1 概念,第 4 章 扭 转,丝锥攻丝,4.1 概念,第 4 章 扭 转,扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 使杆件的横截面绕轴线产生转动。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。,4.1 概念,第 4 章 扭 转,如图，圆轴在外力偶作用下发生扭转变形。,称为扭转角。,称为剪切角。

2、,4.1 概念,第 4 章 扭 转,直接计算,外力偶矩,4.1 概念,第 4 章 扭 转,外力偶矩,按输入功率和转速计算,已知 轴转速n 转/分钟 输出功率Pk 千瓦 求：力偶矩Me,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,4.2 扭矩及扭矩图,第 4 章 扭 转,扭矩和扭矩图,4.2 扭矩及扭矩图,第 4 章 扭 转,扭矩和扭矩图,4.2 扭矩及扭矩图,第 4 章 扭 转,扭矩和扭矩图,T = Me,4.2 扭矩及扭矩图,第 4 章 扭 转,扭矩和扭矩图,T = Me,4.2 扭矩及扭矩图,第 4 章 扭 转,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-),4.

3、2 扭矩及扭矩图,第 4 章 扭 转,如图求圆轴指定截面的内力。,由截面法：（1）截开，留下左半段，去掉右半段；,（3）考虑留下部分的平衡,同样，亦可留下右半段作为研究对象，可的同样的结果，如图。,扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针为正，顺时针为负。,（2）用内力代替去掉部分对留下部分的作用； T称为扭矩。,4.2 扭矩及扭矩图,第 4 章 扭 转,扭矩图,4. 2 扭矩及扭矩图,第4 章 扭 转,解:,(1)计算外力偶矩,4. 2 扭矩及扭矩图,第4 章 扭 转,(2)计算扭矩,(3) 扭矩图,4. 2 扭矩及扭矩图,第4 章 扭 转,4.3 薄壁圆管的扭转,第 4 章 扭 转,

4、一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线；,两端施加一对外力偶 m。,4.3 薄壁圆管的扭转,第 4 章 扭 转,2.实验后：,圆周线不变；,各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。,纵向线变成螺旋线。,3.结果：,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,4.3 薄壁圆管的扭转,第 4 章 扭 转,薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力,如图所示，借助实验观察结合理论分析，可得如下结论：,（1）横截面上只有剪应力，没有正应力；（2）剪

5、应力的方向沿圆周的切线方向。,薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。,4.3 薄壁圆管的扭转,第 4 章 扭 转,用截面法，考虑一部分圆管的平衡：,A0为平均半径所作圆的面积。,4. 3 薄壁圆管的扭转,第 4 章 扭 转,二、剪应力互等定理,这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。,4. 3 薄壁圆管的扭转,第 4 章 扭 转,该定理具有普遍性，不仅对纯剪切应力状态下成立，对正应力和剪

6、应力同时作用的单元体亦成立。,单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,4. 3 薄壁圆管的扭转,第 4 章 扭 转,三、剪切虎克定律,单元体ab 的倾角 称为切应变，切应变是单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即,这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。,4. 3 薄壁圆管的扭转,第 4 章 扭 转,三、剪切虎克定律,剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。,根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第

7、三个来。,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,如图所示，借助实验观察做出平截面假设(假设横截面像刚性平面一样绕杆的轴线转动)，得如下推断：,（1）横截面上只有剪应力，没有正应力； （2）剪应力的方向沿圆周的切线方向。,下面从几何方面、物理方面、静力方面三个方面推导圆轴扭转时横截面上的剪应力：,一、横截面剪应力的一般公式,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,1、几何方面,2、物理方面,R,dx,B,C,c,b,d,(横截面上b 点的切应变),(横截面上b 点的切应力),4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,3、静力方面,如图所示，在整个横截面上，所有微

8、力矩之和等于该截面的扭矩，即,将 代入上式，得,令 ，称为横截面对圆心的极惯性矩。于是,O2,dA,dA,b,T,而:,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,令,抗扭截面系数,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,二、最大扭转剪应力 强度条件,对整个圆轴,于是可得强度条件为,其中容许切应力是由扭转时材料的极限切应力除以安全系数得到。,由 ，对于圆，如图，则,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,三、极惯性矩 抗扭截面模量,对于空心圆,其中 。,剪应力分布图如图。,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,解：用截面法求

9、得AB、BC的扭矩分别为,扭矩图如图所示。,故，该轴满足强度要求。,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,解：（1）确定实心轴的直径,由强度条件 ，其中 ，得,取 。,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,（2）确定空心轴的内、外径,由强度条件 ，其中 ，得,故,取,（3）重量比较,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,一、扭转角的计算,由上节知 ，所以 ，于是,对于扭矩为常数的等截面圆轴，扭转角为,称为截面的抗扭刚度。,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,二、刚度条件, 称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的

10、是 ，则上式改写为,例4图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；=60MPa， =0.3/m，G=80GPa；试选择该轴的直径。,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,2kN.m,1kN.m,解：,按强度条件,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,2kN.m,1kN.m,按刚度条件,该圆轴直径应选择：d =83.5mm.,4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件,第 4 章 扭 转,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,例5 图示圆轴，AB

11、段为实心圆截面，直径d1=60mm，BC段为实心圆截面，直径D=80mm，CD段为空心圆截面，内径d2=60mm，外径D=80mm，所受外力偶矩如图。各段杆的容许剪应力为 。（1）试校核该轴的强度；（2）如材料的剪切弹性模量 ，求此轴总扭转角。,解：（1）作扭矩图如图所示。,（2）强度校核,最大剪应力可能出现在AB段或CD段，其最大剪应力为,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,故满足强度条件。,（3）求总扭转角,例6 图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0

12、.4m；=60MPa， =1/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,0.6kN.m,0.8kN.m,解：,按强度核该,d1,d2,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,0.6kN.m,0.8kN.m,d1,d2,满足强度条件。,按刚度核该,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,A,B,C,mA,mB,mC,l1,l2,0.6kN.m,0.8kN.m,d1,d2,此轴不满足刚度条件。,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转

13、,例7 长为 l =2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转, 刚度校核,右端面转角,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,例8 图示圆杆BC 段为空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角。,A,B,

14、C,a,a,b,b,D,d,0.5kN.m,0.3kN.m,0.8kN.m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：本题应分4段考虑。,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,A,B,C,a,a,b,b,D,d,0.5kN.m,0.3kN.m,0.8kN.m,0.8kN.m,0.5kN.m,1kN.m,1,1,2,2,3,3,4,4,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,A,B,C,a,a,b,b,D,d,0.5kN.m,0.3kN.m,0.8kN.m,0.8kN.m,0.5kN.m,1kN.m,1,1,2,2,3,3,4,4,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度

15、条件,第 4 章 扭 转,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,第 4 章 扭 转,例9 阶梯圆轴AB两端固定，受外力偶矩 m=4.5kN.m作用，若d1=70mm, d2=55mm, l1=1m, l2=1.5m。材料的G=80GPa,=60MPa, ,=1.5o/m,试对该轴进行强度和刚度校核。,解：（1）静力平衡,（2）变形几何关系,（3）物理关系,代入几何关系，得补充方程,第 4 章 扭 转,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,补充方程与平衡方程联立求解得：,故由截面法可得,轴力图如图所示。,（4）强度校核,第 4 章 扭 转,4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,轴的最大剪应力：,

16、故轴满足强度条件。,（5）刚度校核,该轴满足刚度条件。,六、材料扭转时的力学性质,第 4 章 扭 转, 4-6、材料扭转时的力学性质,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,第 4 章 扭 转, 47 矩形截面杆自由扭转,自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。,第 4 章 扭 转, 47 矩形截面杆自由扭转,一、矩形杆横截面上的切应力分布, 形心与角点的切应力等于零；, 周边的切应力与周边相切，方向与扭矩的转向一致；, 截面的最大切应力发生在长边的中点，短边的最大切应力发生在短边的中点。,第 4 章 扭 转, 47 矩形截面杆自由扭转,二、最大切应力及单位扭转角,相当极惯性矩。,截面最大切应力：,单位扭转角：,其中：,抗扭截面模量。,系数 、 随长短边的比值m=h/b 而变化