概率论教学课件—概率1-颖

1、在我们所生活的世界上， 充满了不确定性。,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,概率论与数理统计,计划学时：48 内容： 1概率论（第1章，16学时) 2数理统计（第26章，32学时) 作业：小作业每周交一次,答疑：周一至周五7JC102 （8:30-11:00；2:30-5:00 ）,第一章 概率论基础,1.1 随机事件与概率,1.2 随机变量及分布,1.3 随机变量的数字特征,1.4 大数定律与中心极限定理,1.1.1 随机事件及其运算,1.1.3 条件概率与事件

2、的独立性,1.1 随机事件与概率,1.1.2 随机事件的概率,A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重.,我们的生活和随机现象结下了不解之缘.,下面的现象哪些是随机现象？,确定性现象,举例,在一定条件下必然发生或必然不发生的现象.,“太阳不会从西边升起”,“水从高处流向低处”,“同性电荷必然互斥” ，,“函数在间断点处不存在导数”,在一定条件下可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,结果的出现呈现出一定的偶然性.,随机现象,举例,实例1,抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例2,从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数.,实例3

3、,记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.,实例4,考察某地区9月份的平均气温.,2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性 ,概率论就是从数量方面研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,说明：,1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.,统计规律性-把这种在大量重复试验或观测下其结果所呈现出固有的规律性称为统计规律性.,这是一个比较重要的结论!,1.可以在相同的条件下重复地进行; 可重复性,2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 可观察性,3.进行一次试验之前不能

4、确定哪一个结果会出现. 不确定性,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,定义,1.随机试验,说明,1.随机试验简称试验, 包括各种各样的科学实验,包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.,2.随机试验通常用 来表示.,1.1.1 随机事件及其运算,下面是几个随机试验的例子,E1：掷一枚质地均匀的硬币，观察正、反面的出现情况； E2：将一枚质地均匀的硬币掷两次，观察正、反面的出现情况； E3：掷一枚骰子，观察出现的点数； E4：某射手对某目标进行射击，直到击中目标为止，观察射击次数； E5：在一大批灯泡中任取一只，测其寿命； E6：记录某地某天的最高、最低气温,样

5、本空间：,随机试验E 的所有可能的结果组成的集合， 用大写字母S表示,1.样本空间 样本点,实例1,抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例2,样本点：,从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.,样本空间中的元素即试验E 的每一个结果. 用小写字母e表示.,2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.,1.试验不同,对应的样本空间也不同.,说明,思考：,观察出现正面的次数,则样本空间是什么？,对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”：,观察正面、反面出现的情况,样本空间是什么？,在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.,1.样本空间 样本点,2.随机事件,【定义1 】：在一次

6、试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.,【定义2】：随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为随机事件.,随机事件用大写字母A、B、C、等表示.,随机事件发生试验中出现了包含在事件中的样本点,随机事件举例,如，E3：掷一枚骰子，观察出现的点数中，A=2,4,6，骰子“出现1点”, “出现2点”, , “出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.,又如， E4 ：某射手对某目标进行射击，直到击中目标为止，观察射击次数中，B=6,7,8; E5 ：在一大批灯泡中任取一只，测其寿命中，C=t|0t1000. 都是相应随机试验的随机事件.,几个特殊的随机事件,由一个样本

7、点的组成的单点集（不可分解）.,基本事件：,不可能事件：,必然事件 ：,“出现1点”，“出现2点”， , “出现6点”等都是基本事件.,“点数不大于6” 就是必然事件.,“点数8点” 就是不可能事件.,几点说明：,例如 抛掷一枚骰子,可设 A = “点数不大于4”,B = “点数为奇数” 等等.,随机事件可简称为事件,(2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.,并以大写英文字母A, B, C,来表示事件.,观察出现的点数.,这指的是,实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” ，,所以“产品不合格”包含“长度不合格”.,3.

8、事件间的关系与运算,与 中学学过的集合关系完全一致.,某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.,推广,件,3.事件间的关系与运算,某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.,推广,A和B重叠部分,3.事件间的关系与运算,“长度合格但直径不合格” 是 “长度合格”与“直径合格” 的差.,图示 A 与 B 的差：,S,A,B,3.事件间的关系与运算,基本事件是两两互不相容的.,图示 A 与 B 互斥.,S,“骰子出现1点” “骰子出现2点”,抛掷一枚骰子

9、：,3.事件间的关系与运算,“骰子出现1点” “骰子不出现1点”,S,B,若 A 与 B 互逆,则有,图示 A 与 B 对立.,3.事件间的关系与运算,对立事件与互斥事件的区别,S,S,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,3.事件间的关系与运算,事件间的运算规律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(4)德.摩根律,则有,3.事件间的关系与运算,例1,（1）无次品;,（2）第一个为次品;,（3）恰好有一个次品;,（4）至少有一个次品.,答案：,设 =生产的第i个零件为次品,则如何表示以下事件,i=1,2,3,1.1.2 概率的定义与性质,1.概率的定义,定义,事件,有,对于,

10、称为事,对于一个随机事件来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生，我们希望找到一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小，这就是事件的概率.,则有,补充: 对任意两个事件A、B，有,概率的性质,则有,互不相容事件,概率的性质,性质 对任意的事件A有：,求逆公式,性质 对任意两个事件A、B，有,P(AB)=P(A)+ P(B)P(AB),说明:不难看出当A，B互不相容时，,P(AB)=P(A)+ P(B),可推广，三个事件和的概率为,例2 设A,B,C是三事件,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AC)=1/8, P(AB)=P(BC)= 0,求A,B,C至少有一个发生的概率。,

11、解：A，B，C至少有一个发生的事件为:,2.古典概型,定义,1。试验的样本空间只包含有限个元素;,2。试验中每个基本事件发生的可能性相同.,定理,该式称为等可能概型中事件概率的计算公式.,例3 盒中有红、黄、白球各一个，有放回地摸3次，每次摸一个，观察出现的颜色求P全红，P无红，P有白出现，P全黄或全白，P无白或无黄.,解 从盒中任取一个球有3种颜色可能出现，有放回地摸3次，所有可能的颜色结果组合对应着所有可能的取法组合，共有27种.于是有,P全红=,P无红=,P有白出现,=1- P无白,P全黄或全白= P全黄+ P全白,P无白或无黄= P无白+ P无黄- P无白且无黄,例4 将n个小球随机地

12、放入N(nN)个盒子中，求每个盒子中至多有一只球的概率(盒子容量不限).,解：,将n个球随机地放入N个盒子中不同的放法有NN N=Nn种;,每个盒子中至多有一球,不同放法有N (N1) (Nn+1)种;,所以，所求概率为,典型的分房问题(生日问题),说明：许多问题和本例有相同数学模型.,本次课主要内容,1随机试验 2样本空间 3样本点 4随机事件 5事件间的关系与运算 6. 概率的定义与性质,请记住这几个基本概念,作业 P32 1, 2,6,9 预习 1.1.3，2,随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规

13、律性.,小 结,随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率论所研究的对象.,小结,随机试验,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,随机试验、样本空间与随机事件的关系,随机事件,事件间的关系与运算,互逆事件,互斥事件,包含 A B,A,B,S,和 AB,积 AB,B,S,差 AB,A,B,S,互斥 AB=,A,B,S,对立AB=S AB=,A,韦恩图,注：,概率的性质,(1)若A1,A2,An是n个两两互不相容的事件，则有： P(A1A2An) =P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(An) (2)设A、B互为对立事件，则有： P(A)=1P(B) (3)若AB,则P(AB)=P(

14、A)P(B) P(A)P(B) (4)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),古典概型,“天有不测风云”和“天气可以预报”有矛盾吗?,“天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性.,“天有不测风云”指的是随机现象一次实现的偶然性.,请回答:,?,圆周率=3.1415926是一个无限不循环小数，我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个记录保了1000多年！ 以后有人不断把它算得更精确. 1873年，英国学者沈克士公布了一个的数值，它的数目在小数点后一共有707位之多!但是，经过几十年后，曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 原因是他统计了的608位小数，得到下面

15、的表:,请回答:,?,数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,出现次数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67,44,你能猜出他怀疑的理由吗?,各数字出现的频率应都接近于0.1,或者说，它们出现的次数应近似相等.,但7出现的次数过少.,请回答:,?,随机现象是不是没有规律可言?,否！,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.,例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.,E1：掷一枚质地均匀的硬币，观察正、反面的出现情况； S1=正面，反面

16、E2：将一枚质地均匀的硬币掷两次，观察正、反面的出现情况； S2=(正,正),(正,反),(反,正),(反,反) E3：掷一枚骰子，观察出现的点数； S3=1,2,3,4,5,6 E4：某射手对某目标进行射击，直到击中目标为止， 观察射击次数； S4=1,2,3, E5：在一大批灯泡中任取一只，测其寿命； S5=t|t0 E6：记录某地某天的最高、最低气温 S6=(t,T)|atb,cTd,样本空间：,练习 设A、B、C为三个事件，试用事件间的关系与运算表示下列 各事件： （）事件A、 B、C都不发生； （）事件A、B不发生而事件C发生； （）事件A、B、C中至多有一个发生；,答案：,对立事件

17、是什么?,至少有两个不发生；,至少有两个发生；,（4） A、B、C中至少有一个发生,ABC,或,恰有1个发生,恰有2个发生, ABC,3个都发生,练习,解,(2) 由已知得,(3) 由已知得,练习 袋子中装有4只白球，2只红球，从中随机取球两次， 每次一只，按有放回与无放回两种情况。求 取到的两球都是白球的概率；取到的两球颜色相同的概率 取到的两球中至少有一只白球的概率。,解：,设A=“取到的两个球都是白球” B=“取到的两个球都是红球” C“取到的两个球中至少有一只白球”,根据事件间的运算关系，,事件“取到的两球颜色相同”可表示为：AB, 事件C与事件B的关系为：C=,(a) 放回抽样的情况-自己完成,(b)不放回抽样的情况,从袋中不放回地取球两次，不同的取球结果,种,事件A中包含的样本点的个数为：,事件B中包含的样本点的个数为：,(i) P(A)=,(ii) P(AB)=P(A)+P(B)=,(iii) P(C)=P( )=1P(B)=1,在解题过程中应注意以下两点：,.恰当地用字母把事件表示出来；,.事件A的概率不容易求时，可考虑先求其对立事件的概率，然后利用公式,P(A)=1P( ) 求出事件A的概率,例 某接待站一星期内曾接待了12次来访，已知这12次接待都是在星期二和星期四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定