万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习

1、第五讲 万有引力定律重点归纳讲练知识梳理一.开普勒行星运动定律（1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。（2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： 其中k值与太阳有关，与行星无关。（4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k值不同，k与行星有关，与卫星无关。（5） 中学阶段对天体运动的处理办法：把椭圆近似为园，太阳在圆心；认为v与不变，行

2、星或卫星做匀速圆周运动；，R轨道半径。推导决定的物理量据：得：可见，的大小由中心天体质量决定。11关于开普勒第三定律，正确的理解是公式，K是一个与行星无关的常量若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a，周期为T1，月球绕地球运转轨道的半长轴为b，周期为T2，则公式中的T表示行星运动的自转周期公式中的T表示行星运动的公转周期A B C D二.万有引力定律（牛顿发现）（1） 内容：万有引力F与m1m2乘积成正比，与r2成反比。（2） 公式：，G叫万有引力常量，。（3） 应用计算适用条件：严格条件为两个质点；两个质量分布均匀的球体，r指两球心间的距离；一个均匀球体和球外一个质点，r指质点到球心间的距离练1发

3、现万有引力定律的科学家是A开普勒 B牛顿 C卡文迪许 D爱因斯坦2.对于万有引力定律的表述式，下面说法中不正确的是A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的B.当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大C. m1与m2受到的引力总是大小相等的，方向相反，是一对作用力与反作用力D. m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关1. 万有引力与重力的系关(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转所需的向心力f，如图所示。在赤道上，F引=f向+mg，即；在两极F引=mg，即；因地球赤道略鼓，两极稍扁，故纬度越大，R越小，重

4、力加速度越大。赤道g最小。注：地面上随地球自转的物体F引mgF向如：赤道的g=9.7m/s2（最小）而赤道上物体的向心加速度（最大）a=0.0337 m/s2可见mgma向2.求重力加速度问题：物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，从赤道往两极，g逐渐变大。在地球表面高度为h处：，所以随高度的增加，重力加速度减小。离开地球，某星体表面及某高度处的重力加速度注意：M为星球的质量，R指星球半径。星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则。距星球表面某高度h处的重力加速度：结论：M为中心天体的质量， r为所求位置与中心天体球心间的距离。练1.地球表面处的重力加速度为

5、g，则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为（）A. g B. g/2 C. g/4 D. 2g练：人造卫星离地球表面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g，则（ ）A. B. C. D. 2.火星与地球的质量之比为P，半径之比为q，则火星表面的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为（）A. B. C. D.练：（08江苏卷）火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为A0.2g B0.4g C2.5g D5g3.万有引力定律的应用求天体质量及密度T、r法：，再根据，当r=R时，（m在M表面运行） v、r法：w、r法：

6、v、T法：相当于知道了r,(r=vT/2) g、R法：（黄金代换），再根据（g是中心天体表面的重力加速度，R是中心天体本身的半径）例1：下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离rB.月球绕地球运行的周期T和地球的半径RC.月球绕地球运动的线速度v和周期TD.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r2.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行,要测定该行星的密度,仅仅需要测定A运行周期T B环绕半径 r C行星的体积V D运行速度v3宇航员测得某星球的半径为 R ，该星球的近地卫星的周期为 T 。下列四个量中哪几个量可以求得？（万有引

7、力恒量为G ) A该星球的质量 B该星球表面的重力加速度C该星球的平均密度 D该星球同步卫星的离地高度3.继神秘的火星之后，今年土星也成了世界关注的焦点. 经过近7年时间，2亿千米在太空中风尘仆仆的穿行后，美航天局和欧航天局合作研究出“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访土星及其卫星家族. 这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测. 若“卡西尼”号土星探测器进入土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t. 求土星的质量和平均密度4.天体或卫星的运动参数我们把卫星（天体）绕同一中心天

8、体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，就可以求出卫星（天体）圆周运动的有关参数：线速度： 角速度： 周期： 向心加速度：规律：中心天体相同时，圆周运动的快慢与轨道对应。即：轨道定了，运行快慢就定了，与在轨道上运行的卫星质量无关。当r变大时，“三小”（v变小,变小,an变小）“一大”（T变大）。例.甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小，则（ ）A甲距地面的高度比乙小 B甲的加速度一定比乙小C甲的加速度一定比乙大 D甲的速度一定比乙大1.两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为，则轨道半径之比和运动速率之比分别为A. ， B. ，C.

9、 ， D. ，2.假如作圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍后仍作圆周运动，则A.根据公式v=r可知，卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B.根据公式可知，卫星所需的向心力将减小到原来的C.根据公式可知，地球提供的向心力将减小到原来的D.根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运动的线速度将减小到原来的3.两颗人造地球卫星，它们质量的比m1:m2=1:2，它们运行的线速度的比是v1:v2=1:2，那么A.它们运行的周期比为1：8B.它们运行的轨道半径之比为4:1C.它们所受向心力的比为1:32 D.它们运动的向心加速度的比为1:164.某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如它的轨道半径增加

10、到原来的n倍后，仍能够绕地球做匀速圆周运动，则： A根据，可知卫星运动的线速度将增大到原来的n倍。B根据，可知卫星受到的向心力将减小到原来的倍。C根据，可知地球给卫星提供的向心力将减小到原来的倍。D根据，可知卫星运动的线速度将减小到原来的倍。5.如图所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的卫星a、b、c某时刻在同一直线上，则（）A经过一段时间，它们将同时第一次回到原位置B卫星a的角速度最大C卫星c受到的向心力最小D卫星b的周期比c小6.地球公转的轨道半径是R1，周期是T1，月球绕地球运转的轨道半径是R2，周期是T2，则太阳质量与地球质量之比是 （ ）A. B. C. D. 7、（07重

11、庆理）土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星，都沿近似为圆周的轨道绕土星运动，其参数如表：卫星半径(m)卫星质量(kg)轨道半径(m)土卫十8.901042.0110181.511018土卫十一5.701045.6010171.51103两卫星相比，土卫十（ ）A.受土星的万有引力较大 B.绕土星做圆周运动的周期较大 C.绕土星做圆周运动的向心加速度较大 D动能较大D.根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运动的线速度将减小到原来的8.土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该土层到土星中心的距离R之间的关系来判断： ( )A若vR，则该层是土星的一部

12、分；B若v2R，则该层是土星的卫星群C若vR，则该层是土星的一部分D若v2R，该层是土星的卫星群三.地球同步卫星对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星的以下“七个一定”。轨道平面一定：与赤道共面。周期一定：T=24h，与地球自转周期相同。角速度一定：与地球自转角速度相同。绕行方向一定：与地球自转方向一致。高度一定：由。线速度大小一定：。向心加速度一定：。注：唯有同步卫星本身质量，以及该质量不同引起的向心力和万有引力可以不同。例1关于同步地球卫星，下列说法中正确的是A同步地球卫星一定在地球的赤道平面内 B同步地球卫星到地心的距离为定值C同步地球卫星的周期等于地球的自转周期

13、 D同步地球卫星的线速度不变2.已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，试求地球同步卫星的向心加速度大小。3.关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是A.已知它的质量是1.24 t，若将它的质量增为2.84 t，其同步轨道半径变为原来的2倍B.它的运行速度为7.9 km/sC.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播D.它距地面的高度约为地球半径的5倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的4.同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R，则（）A

14、. a1/a2=r/R B. a1/a2=R2/r2C. v1/v2=R2/r2 D. v1/v2 5如图5所示，甲是地球赤道上的一个物体、乙是“神舟”六号宇宙飞船（周期约90分钟）、丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图，它们都绕地心作匀速圆周运动.下列有关说法中正确的是 A.它们运动的向心加速度大小关系是a乙a丙a甲B.它们运动的线速度大小关系是v乙v丙v甲C.已知甲运动的周期T甲=24h，可计算出地球的密度D.已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量6.同步卫星离地球球心的距离为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一

15、宇宙速度为v2，地球半径为R，则A.a1:a2=r:RB.a1:a2=R:rC.v1:v2= R:rD. 7如图所示的三个人造地球卫星，则说法正确的是（ ）卫星可能的轨道为a、b、c 卫星可能的轨道为a、c同步卫星可能的轨道为a、c 同步卫星可能的轨道为a北abcA是对的 B是对的C是对的 D是对的四宇宙速度1、 对三种宇宙速度的认识：第一宇宙速度人造卫星近地环绕速度。大小v1=7.9km/s。第一宇宙速度的算法：法一：由，r=R+h，而近地卫星h=0，r=R，则，代入数据可算得：v1=7.9km/s。法二：忽略地球自转时，万有引力近似等于重力，则，同理r=R+h，而近地卫星h=0，r=R，代

16、入数据可算得：v1=7.9km/s。扩展：在中心天体表面运行的天体或卫星的线速度即是中心天体的第一宇宙速度。（2）第二宇宙速度逃逸速度。大小v2=11.2km/s，是使物体脱离地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小发射速度。（3）第三宇宙速度脱离速度。大小v3=16.7km/s，是使物体脱离太阳引力束缚,飞到太阳系以外,所需的最小发射速度。2、 环绕（运行）速度与发射速度的区别：三种宇宙速度都是发射速度，运行速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；轨道越高，运行速度越小，所需的发射速度越大，所以第一宇宙速度是最大运行线速度，最小发射速度。练.关于第一宇宙速度，下列说法不正确的是（）A.

17、它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度B. 它等于人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度C. 它是能使卫星在近地轨道运动的最小发射速度D. 它是卫星在椭圆轨道上运动时的近地点速度五.卫星变轨问题BA123人造卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：1.变轨原理及过程为了节约能量，卫星在赤道上(线速度最大)顺着地球自转方向发射卫星到圆形轨道1上。在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供轨道上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入轨道2。在B点（远地点）再次点火进入轨道3。2.一些物理量的定性分析1、速度：设卫星在园轨道1和3运行时速率为v1、v3，在A点、B点速率为v

18、A、vB。在A点加速，则vAv1，在B点加速，则v3vB，又因v1v3，故有vAv1v3vB。2、加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道1经过A点,还是轨道2经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。3、周期：设卫星在1、2、3轨道上运行周期分别为T1、T2、T3。轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律可知，T1T2T3。3. 从向心力的角度分析变轨问题的方法当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即时，卫星做匀速圆周运动。若速度突然增大时，万有引力小于向心力，做离心运动，则卫星轨道半径变大。若速度突然减小时，万有引力大于向心力，做近心运动，则

19、卫星轨道半径变小。4. 从能量角度分析变轨问题的方法把椭圆轨道按平均半径考虑，根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，卫星在各轨道之间变轨的话，若从低轨道进入高轨道，则能量增加，需要加速；若从高轨道进入低轨道，则能量减少，需要减速。图1123PQ练.如图1所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速

20、度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度六 双星问题被相互作用的万有引力系在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星。双星是绕公共圆心转动的一对恒星。如图所示双星系统具有以下三个特点：1、各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即： 若求m2，利用左式（m1 被消掉），若求m1，利用右式（m2 被消掉），若求两颗星质量的和，左右两式“先约再加”2、两颗星的周期及角速度都相同，即：T1=T2，1=2；3、两颗星的半径与它们之间距离关系为：r1+r2=L。4. 两颗星的半径与它们的质量成反比：m1r1=m2r25. 两颗星的线速度与它

21、们的质量成反比m1v1=m2v2练. 如图4所示，天文观测中发现宇宙中存在着“双星”。所谓双星，是两颗质量分别为M1和M2的星球，它们的距离为r，而r远远小于它们跟其它天体之间的距离，这样的双星将绕着它们的连线上的某点O作匀速圆周运动。如图所示。现假定有一双星座，其质量分别为M1和M2，且M1M2，用我们所学的知识可以断定这两颗星 0图4A.M1对M2引力比M2对M1的引力大B. M1运动周期比M2运动周期长C. M1运动半径比M2运动半径小D. M1运动速率比M2运动速率大补充一些需要用到的知识：1、卫星的分类：卫星根据轨道平面分类可分为：赤道平面轨道（轨道在赤道平面内）；极地轨道（卫星运行

22、时每圈都经过南北两极）；一般轨道注：所有轨道平面的圆心都是地心。2、人造卫星的机械能：E=EK+EP（机械能为动能和引力势能之和），动能，由运行速度决定；引力势能由轨道半径（离地高度）决定，r增大，动能减小，引力势能增大，但，所以卫星的机械能随着轨道半径的增大而增大。3、人造卫星的两个速度：发射速度：在地球表面将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度，发射时所具有的动能要包括送入预定轨道的动能和引力势能之和，即机械能，所以r增大，发射速度增大；环绕（运行）速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，r增大时，环绕速度减小。注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度，即向心加速度

23、与重力加速度相等。4、推导并记住近地卫星的几个物理量的公式和数值:近地卫星指在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0，r=R。运行速度：，它是所有卫星的最大运行速度（因为h=0，无需增大引力势能，故发射速度等于运行速度，所以这个速度又是所有卫星的最小发射速度）；角速度：，r=R，r最小，它的角速度在所有卫星中最大。（无需记数值）周期：，r=R，=5100s，r最小，它的周期在所有卫星中最小。向心加速度：，r=R，r最小，它的向心加速度在所有卫星中最大。5、卫星的追击问题：由知，同一轨道上的两颗卫星，快慢相同，后面的不可能追上前面的。卫星绕中心天体的半径越大，T越大。同一运行方向

24、不同轨道的两颗卫星（设周期分别为T1、T2 ，且T1T2）再次相遇的时间满足，或。6、估算问题的思维与解答方法：估算问题首先要找到依据的物理概念或物理规律（这是关键）；运用物理方法或近似计算方法，对物理量的数值或取值范围进行大致的推算；估算题常常要利用一些隐含条件或生活中的常识。如：在地球表面受到的万有引力等于重力；地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s2；地球自转周期T=24h，公转周期T0=365天；月球绕地球公转周期约为27天；近地卫星周期为85分钟；日地距离约1.5亿千米；月地距离约38亿千米；同步卫星、近地卫星的数据等。练习题2、下述实验中，可在运行的太空舱里进行的是 （ ）A用弹

25、簧秤测物体受的重力 B用天平测物体质量C用测力计测力 D用温度计测舱内温度3.关于人造地球卫星及其中物体的超重和失重问题，下列说法正确的是（）在发射过程中向上加速时产生超重现象在降落过程中向下减速时产生失重现象进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的A. B. C. D.4、某天体的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为L，则在该天体上，从同样高处以同样速度平抛同一物体，其射程为：（ ） AL/6 BL/4 C3L/2 D6L6.航天飞机中的物体处于失重状态，是指这个物体A.不受地球的吸引力B.受到地球吸引力和向心

26、力的作用而处于平衡状态C.受到向心力和离心力的作用而处于平衡状态D.对支持它的物体的压力为零7. 据报道，“神舟6号”的发射成功，可以预见，随着航天员在轨道舱内停留时间的增加，体育锻炼成了一个必不可少的环节，下列器材适宜航天员在轨道舱中进行锻炼的是A. 哑铃B. 弹簧拉力器C. 单杠D. 跑步机8通过阅读课本，几个同学交流对一些生活中常见的离心现象的认识。甲说：“洗衣机甩干衣服的道理就是利用了水在高速旋转时会做离心运动。” 乙说：“铁轨在弯道处内侧铺得比外侧高，原来就是要防止火车做离心运动。”丙说：“我们坐公共汽车在急速转弯时，如果受到的向心力不够也会挤压车厢。” 丁说，“我在游乐园里玩的吊椅转得越快，就会离转轴越