专题3.1+以立体几何中探索性问题为背景的解答题-2018年高考数学备考系列+Word版含解析

1、 专题三 压轴解答题第一关 以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如1. 以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 如图，四棱锥的底面是菱形， ， 平面， 是的中点.（1）求证：平面平

2、面；（2）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，确定的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接，因为底面是菱形， ,所以为正三角形.因为是的中点, 所以, 因为面, ，因为， ， ,所以.又, 所以面面. 所以 ， 又面， 面，面，结论得证. 【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置【举一反三】【河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第八次考试】如图，在四棱椎中， ， 平面， 平面， ， ， .(1)求证：平面平面；(2)在线

3、段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：因为平面， 平面，所以，又因为， ，所以平面，又因为平面，所以平面平面.类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，四面体中， 平面， ， ， ， .（1）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.【解析】（1）由题设AB1，AC2，BC，可得,所以, 由PA平面ABC，BC、AB平面ABC,所以， ,所以, 又由于PAABA，故BC平面PAB,PB平面PAB,所以,所以， , , 均为直角三角形，且的面积最大， （2）证明：在平面ABC内，过点B作BNA

4、C，垂足为N在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM 由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC由于BNMNN，故AC平面MBN 又BM平面MBN，所以ACBM 因为与相似， ， 从而NCACAN 由MNPA，得 【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解【举一反三】如图，四棱锥中, 平面为等边三角形， 是上的点，且.（1）求和平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使平面？说明理由. （2）线段上存在点

5、，使平面. 理由如下：如图，分别取的中点G、，则， 由 ， 所以，所以四边形为平行四边形，故.因为AB平面PAD，所以，因此， ，因为为的中点，且， ，因此.又，所以平面.类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 如图所示，在棱长为2的正方体中， 分别为和的中点.(1)求证： 平面；(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明：如图所示，分别以所在的直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，由已知得， ， ， ， ， ， ， ，平面的一个法向量是，又，而平面，平面.(2)解：设点，平面的一个法向量为，则， ，取，则， ，平面的一个法向量

6、，依题意知， 或，即，解得或 (舍)，在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法【举一反三】如图，在三棱锥ABCD中，ABCBCDCDA90，AC=63，BCCD6，点E在平面BCD内，ECBD，ECBD.(1)求证：AE平面BCDE；(2)在棱AC上，是否存在点G，使得二面角CEGD的余

7、弦值为105？若存在点G，求出CGGA的值，若不存在，说明理由(2)解：由(1)的证明过程知四边形BCDE为正方形，建立如图所示的坐标系，则E(0，0，0)，D(0，6，0)，A(0，0，6)，B(6，0，0)，C(6，6，0)假设在棱AC上存在点G，使得二面角CEGD的余弦值为，设t(t0)，G(x，y，z)，由t可得G，则(0，6，0)，.易知平面CEG的一个法向量为(6，6，0)设平面DEG的一个法向量为n(x0，y0，z0)，则即令x01得z0，n，所以，解得t2.故存在点G(2，2，4)，使得二面角CEGD的余弦值为，此时2.【精选名校模拟】1. 如图，四棱锥PABCD的底面为直角梯

8、形，ADBC，AD2BC2，BCDC，BAD60，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，PAD为正三角形，M是棱PC上的一点(异于端点) (1)若M为PC的中点，求证：PA平面BME；(2)是否存在点M，使二面角MBED的大小为30.若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由【解析】 (1)证明：如图，连接AC交BE于点F，连接CE.由题意知BCAE，且BCAE，故四边形ABCE为平行四边形，F为AC的中点，在PAC中，又由M为PC的中点，得MFPA.又MF平面BME，PA平面BME，PA平面BME.(2)连接PE，则由题意知PE平面ABCD.故以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系Exy

9、z，则E(0,0,0)，P(0,0，)，B(，0,0)，C(，1,0)设(01)，则M(， (1)(， (1)，(，0,0)取平面DBE的法向量n1(0,0,1)，设平面BME的法向量n2(x，y，z)，则由得令y，得n2.又由cos30，得，即M.故存在点M满足要求，且M为棱PC上靠近端点C的四等分点2. 【北京市东城二十二中2018届高三上学期期中试卷数学】在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ， ， 平面， ， （）求证： 平面（）求二面角的余弦值（）在线段（含端点）上，是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（）， ， ，且，、面，面（）知，面， ，

10、， 两两垂直，以为坐标原点，以， ， 为， ， 轴建系设，则， ， ， ， ， 设的一个法向量为，取，则由于是面的法向量，则二面角为锐二面角，余弦值为（）存在点设， ， ， ， 面， 若面，存在为中点 3. 【云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ， ， 与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：连接，由于，点为的中点， ， 四边形为正方形，可得设与相交于点又与均为等边三角形在等腰中，点为的中点，且与相交于点，可得平面又平

11、面平面平面 可得， ， ， 设点的坐标为， ，由， ，可得，故 ， 设为平面的一个法向量，则，得，平面的一个法向量为，由已知 ，解得所以，在线段上存在点，使二面角的余弦值为，且点为的中点4. 【2017湖北师大附中月考】如图，正方形的边长为4，分别为，的中点，将正方形沿着线段折起，使得，设为的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设，分别为线段，上一点，且平面，求线段长度的最小值（2）因为，所以为等边三角形，又，所以，由（1），又，所以平面设的中点为，连接，则，两两垂直，故以，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图则，所以，设平面的一个法向量为，由，得令，得，设直线与平

12、面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为（3）由题意，可设（），（），由，得，所以，由（2），得为平面的的法向量，因为平面，所以，即，所以，又因为，所以当时，所以当，线段长度有最小值5. 【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试】如图，正方形中， ， 与交于点，现将沿折起得到三棱锥， ， 分别是， 的中点.(1)求证： ；(2)若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且二面角为锐角时，求二面角的正弦值.【解析】 (1)依题意易知， ， ，平面，又平面，.(2)当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，中， ，作于，为等边三角形，与重合，即平面.以为原点， 所在直线为轴，过且平行于的直线为

13、轴， 为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.， ， ， .设为平面的法向量， ，取，设是平面的法向量， ， ，取，设二面角大小为，.6. 如图，在多面体中，四边形为直角梯形， ， ， ， ，四边形为矩形.（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加以证明.【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得， ，又，所以在中，满足，所以为直角三角形，且. 因为四边形为矩形，所以. 由， ， ，可得 . 又，所以平面 平面. （2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点.事实上，以为原点， 为轴， 为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则, ， 设

14、,由，即，得. 设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，取. 平面的一个法向量为. 二面角为大小为于是. 解得 或（舍去）. 所以当点为线段的中点时，二面角为大小为. 7. 在三棱锥中， ， 为的中点， 平面，垂足落在线段上，已知.（1）证明： ；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.法二：如图，以为原点，分别以过点与共线同向的向量， ， 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系，则（2）假设点存在，设， ，则，设平面的法向量为，平面的法向量为由得，令，可得，由得，令，可得，若二面角为直二面角，则，得，解得，故线段上是否存在一点，满足题意

15、， 的长为.8. 【2018河南漯河中学三模】如图，四边形和四边形均是直角梯形， 二面角是直二面角， .（1）证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；（2）可证，则以为坐标原点， 所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系利用空间向量可求二面角的余弦值（2）因为平面平面,平面平面,又，所以，所以平面，因为平面，所以，因为,所以，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图，由已知得,所以,设平面的法向量为，则，不妨设，则，不妨取平面的一个法

16、向量为，所以，由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为.9. 【2018河北衡水武邑中学三调】在五面体中， , , ，平面平面.(1)证明:直线平面；(2)已知为棱上的点，试确定点位置，使二面角的大小为.【答案】（1）证明见解析；（2）点在靠近点的的三等分点处.【解析】试题分析：（1）证明一条直线垂直一个平面，只需要证明这两个平面垂直，直线垂直两个平面的交线即可，先证明， 平面平面，平面平面，即可得到直线平面；（2）根据题意，取的中点，证明两两垂直，以为原点， 的方向为轴，建立空间直角坐标系，由二面角的大小为，根据空间向量夹角余弦公式列方程即可确定在棱上的位置.试题解析：（1）四边形为菱形， ，

17、 平面平面，平面平面平面，又直线平面.(2) ， 为正三角形，取的中点，连接，则， 平面平面平面，平面平面平面两两垂直，以为原点， 的方向为轴，建立空间直角坐标系， ， ，由（1）知是平面的法向量， ，设，则，设平面的法向量为， ，令，则， ， 二面角为， ，解得， 在靠近点的三等分处.10. 如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，是的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求证:EM平面ABC;(2)试问在棱DC上是否存在点N,使NM平面? 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.【答案】（1）详见

18、解析；（2）存在，【解析】试题分析：(1)要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行即可，该题取中点，连，先证,则四边形是平行四边形，从而，进而证明面；(2)假设上存在满足条件的点，此时面内必存在垂直于的两条直线，容易证明面，所以，又，所以，接下来再能保证即可，此时必有，进而根据成比例线段可求出的长度，即点的位置确定.试题解析：(）取中点，连,又因为面，而面，所以面；11.如图，五面体中，底面是正三角形，四边形是矩形，二面角为直二面角（1）在上运动，当在何处时，有平面，并说明理由；（2）当平面时，求二面角余弦值【解析】（1）当为中点时，有平面证明：连结交于，连结，四边形是矩形，为

19、中点，又为中点，从而，平面，平面，平面（2）建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设为平面的法向量，则有即令，可得平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，所以，故二面角的余弦值为12. 如图，已知平面四边形中，为的中点，且将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设中点为（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点；（3）.（2）解法一：由（1）的分析易知，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示结合已知数据可得，则中点.平面，故可设，则，平

20、面，又，由此解得，即，易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； （8分）解法二：（略解）如图所示，在中作，交于，因为平面平面，则有平面在中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得，故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； .（8分）解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，由此，在中作于，易证平面，连接，则为直线与平面所成角，结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为. .（12分）13. 四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.ABCDP【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以ABPD（2）求四棱锥体积，关键要