9-二阶电路.ppt

1、1,9 二阶电路,王东剑,2,本章知识要点： 零输入响应 零状态响应 全响应,3,9.1 零输入响应,二阶电路含有两个独立的动态元件，可以用二阶微分方程来描述。,在回路中由KVL有,图9-1 RLC串联基本电路,图9-1所示的二阶RLC串联基本电路中，已知 ， ，求t0时的 。,由换路定律知,4,对于线性常系数的二阶齐次微分方程，解为二阶电路的零输入响应，令 ，得特征方程为,特征方程的根为,特征根p1，p2称为电路的固有频率或自然频率。,电路的阻尼系数,谐振角频率,方程的通解为,5,讨论：,初始条件代入方程的解得,两特征根是不等的负实根,，初始值不为零的电容通过R、L放电，联立方程的解为,6,

2、可以看出电容电压是衰减的指数函数，且因为 ，所以随着时间的增长，uc中第一项比第二项衰减慢， uc一直为正。图9-2画出了电容电压、电流和电感电压随时间变化规律的波形。,图9-2 变化波形,根据波形可知，电容电压从单调地衰减为零，说明电容一直处于放电状态。故这种情况下为非振荡放电过程，或过阻尼情况。,动画演示：二阶电路的零输入响应(RLC串联) 1,7,i在变化的过程中具有一个极大值imax，设出现在t=tm,时刻，令,电感电压在随时间变化的过程中有一个极小值，令,求出极小值出现的时刻,在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。 时电感吸收能量，建立磁场； 时电感释放能量，磁场逐渐减弱。

3、电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变成热能。,8,两特征根是一对共轭复根,当初始条件同过阻尼情况时，电容电压为,9,图9-4画出了上述三个零输入响应随时间变化规律的波形。,图9-4 变化波形,动画演示：二阶电路的零输入响应(RLC串联) 2,10,在整个过渡过程中， 周期性地改变方向，且呈现衰减振荡的状态，电路中电容和电感周期性地交换能量，而电阻始终消耗能量，电容上原有的能量最后全部由电阻转化为热能消耗掉，这一状态也称为欠阻尼情况。,当电路中的电阻R=0时，有,相应的零输入响应分别为,此时的响应都是振幅不衰减的正弦函数，振荡会一直持续下去，从而形成等幅的自由振荡。,11,两特征根是相等的

4、负实根,，可求出,响应为,在整个过渡过程中， 是单调衰减的函数，电路的放电过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之间，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过阻尼情况相似。,动画演示：三种阻尼情况,12,例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。求t0换路后电容的电压uc和i。已知：,图9-5 例9.1电路,解 （1） 换路前电路已达稳态，则有,t=0时开关打开，构成RLC串联回路，且满足 ，所以电路处于过阻尼情况，放电过程是非振荡的。,13,回路的KVL方程为,特征根方程为,将电路的元件参数代入得,特征根,初始条件为,14,（2）元件参数满足 ，所以电路处于

5、欠阻尼情况，放电过程是衰减振荡的。将已知数据代入描述电路的微分方程得,15,9.2 零状态响应,在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t0时的 。由于电路的初始状态为零，所以此时的响应称为二阶电路的零状态响应。,回路的KVL方程为,代入上式得,图9-6 二阶零状态响应电路,此二阶常系数线性非齐次微分方程的解为 。 其中 为齐次解（暂态解）， 为特解（稳态解）。,16,齐次解由电路参数决定，由电路的零初始条件可以确定齐次解中的常系数；特解的函数形式由外加激励确定。电路的零状态响应也相应的分为过阻尼、欠阻尼和临界阻尼三种情况。,

6、9.2.1 阶跃信号激励下的零状态响应,二阶电路在阶跃信号激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，如图9-7所示电路， 。 求 。,图9-7 二阶阶跃响应电路,17,（1）当 时，过阻尼情况，方程的解为,18,（2）当 时，过阻尼情况，方程的解为,由初始值可以确定,由初始值可以确定,（3）当 时，过阻尼情况，方程的解为,19,9.2.2 冲激信号激励下的零状态响应,RLC电路在单位冲激信号作用下的零状态响应叫做冲激响应。串联电路的冲激响应的求解方法：,方法一 直接利用描述电路的二阶常系数线性非齐次微分方程求解，即从冲激信号的定义出发，直接计算冲激响应。 t=0瞬间冲激施加于电路，在t=0时建

7、立了初始值，而冲激信号消失，求零状态响应转换为求零输入响应。,图9-7 二阶阶跃响应电路,在图9-7所示电路中，令 则电路为单位冲激信号作用下的零状态RLC串联电路。,描述电路的微分方程为,20,初始条件为,t0时，电路的响应就是由上述初始值引起的零输入响应。,将初始值代入9.1节中零输入响应相应的表达式，可得三种情况下的冲激响应。,过阻尼情况,临界阻尼情况,21,欠阻尼情况,方法二 线性定常电路具有微积分的性质。 与 之间存在微积分关系，则冲激响应和阶跃响应之间也存在微积分的关系。利用9.2.1中已求阶跃响应来求冲激响应，其方法是冲激响应是阶跃响应对时间的导数。,若外加的激励为 ，则对应的冲

8、激响应应在单位冲激响应前面乘以A。,22,9.2.3 正弦信号激励下的零状态响应,二阶电路在零初始状态下，由正弦信号激励所引起的响应称为电路对正弦信号的零状态响应。,图9-7 二阶阶跃响应电路,如图9-7所示二阶RLC串联电路，令,电容电容,齐次解，,利用正弦交流电路的求解方法可得：,为特解（稳态解）,23,正弦信号激励下的零状态响应分三种情况：,临界阻尼情况,过阻尼情况,24,欠阻尼情况,其中的未知常数可以利用初始条件求出。,25,9.3 全响应,RLC二阶电路的全响应是电路在外加激励和初始状态共同作用下产生的响应。,图9-8 二阶全响应电路,如图9-8所示RLC串联电路，设电压源在时接入电

9、路，电容、电感的初始值分别为 。,根据回路的KVL方程有,初始条件,可以求出uc 。,26,对于图9-9所示的RLC并联二阶电路的分析，利用对偶性原理，完全可以按照RLC串联二阶电路的分析方法进行。,图9-9 二阶并联电路,27,例9.2 图9-10所示电路，开关S在t=0时打开，打开前电路处稳态，求t0时的电流。,图9-10 例9.2电路,解 方法1 开关S打开前电路处稳态,换路后等效电路如图9-11，电路方程为,换路前 ，换路后 ，则电感电流在t=0时发生有限跳变。,图9-11 等效电路,28,由于i为有限量，则有,因此此时电路可等效为图9-11所示。,图9-11 等效电路,根据三要素法,可对方程两边从 积分来求,29,方法2 用初始电流 的电感L1与电流为 的电流源并联，或用初始电流 的电感L1与电压为 的电压源串联来等效表示 的电感，则电感在t0时的等效电路如图9-12或图9-13所示。,图9-12 等效电路之一,图9-13 等效电路之二,由此t0时的电路方程为,初始值,30,由 所引起的初始条件可由对上述微分方程从 的积分求得,可进一步求出t0时其它的值,31,各响应随时间变化的曲线如图9-14所示。,图9-14 变化曲线,32,例9.3 电路如图9-15所示，求正弦激励下的全响应uc，并画出它的变化波