因式分解的概念【学习课资】

1、因 式 分 解,第3章,1,公开课资,1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=_ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_ 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=_ (2)完全平方公式: (ab)2=_,am+an,am+an+bm+bn,复习与回顾,2,公开课资,993-99能被100整除吗?,小明是这样想的: 993-99=99992-99 1 =99 (992-1) =99 (99+1)(99-1) = 9910098 所以, 993-99能被100整除.,你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99

2、还能被哪些整数整除?,答：98， 99,探究,3,公开课资,做一做,计算下列个式: 3x(x-1)= _ (m+4)(m-4)= _ (y-3)2= _ a(a+1)(a-1)= _ m(a+b+c) =_,根据左面的算式填空: 3x2-3x=_ m2-16=_ (3) y2-6y+9=_ (4) a3-a=_ (5)ma+mb+mc =_,3x2-3x,ma+mb+mc,m2-16,y2-6y+9,a3-a,3x(x-1),m(a+b+c),(m+4)(m-4),(y-3)2,a(a+1)(a-1),思考：左右两边的运算有什么特点?,4,公开课资,（1）6 等于 2 乘哪个整数？,623,（

3、2）x21等于x+1乘哪个多项式？,对于多项式 ，有多项式x1使得 ，我们把x+1叫作x21的一个因式，同理，x1也是 x21 的一个因式,对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 623，我们把2叫作6的一个因数同 理，3也是6的一个因数,5,公开课资,一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式,在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式,把 写成 的形式，叫作把 的因式分解,为什么要把一个多项式因式分解呢？,6,公开课资,利用平方差公式，把方程的左边 写成(x+1)(x1)， 就得到方程

4、,把 写成 (x+1)(x1)，叫作把因式分解,(x+1)(x1)0,这样就可以求出解了,你会解方程吗?,多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁,7,公开课资,做一做,计算下列个式: 3x(x-1)= _ (m+4)(m-4)= _ (y-3)2= _ a(a+1)(a-1)= _ m(a+b+c) =_,根据左面的算式填空: 3x2-3x=_ m2-16=_ (3) y2-6y+9=_ (4) a3-a=_ (5)ma+mb+mc =_,3x2-3x,ma+mb+mc,m2-16,y2-6y+9,a3-a,3x(x-1),m(a+b+c),(m+4)(m-4),(y-3)2,a(a+1)(

5、a-1),8,公开课资,因式分解定义,像上面右边是整式乘法、左边是把一个多项式化成几个整式（单项式和多项式）的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式,9,公开课资,自学指导,思考整式乘法与因式分解之间的关系？,整式乘法与因式分解是互为逆运算变形过程. 因式分解有什么特点： 1、等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式 2、等式右边（即分解结果）不能含独立的加减号 3、分解到不能再分解为止,10,公开课资,自学检测 一 理解概念,判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a

6、2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4) (7).2 R+ 2 r= 2 (R+r),因式分解,整式乘法,整式乘法,因式分解,整式乘法,因式分解,因式分解,11,公开课资,解方程,把式左端的多项式因式分解，得,从式得,即,因此方程的解是,12,公开课资,同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁,例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解.,13,公开课资,举 例,例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，

7、哪些不是，为什么？,（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2； （2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .,14,公开课资,解 是. 因为从左边到右边是把多项式 a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b 的积的形式.,（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2,（2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .,解 不是. 因为(m+3)( m-2)+2不是几个 多项式乘积的形式.,15,公开课资,例2 检验下列因式分解是否正确. （1） x2 + xy = x(x+y) ； （2） a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3

8、) ； （3） 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .,分析 检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等.,16,公开课资,解 因为(a-2)(a-3) = a2-5a+6， 所以因式分解a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)正确.,（1） x2 + xy = x(x+y),解 因为x( x + y ) = x2 + xy ， 所以因式分解 x2 + xy = x(x + y)正确.,（2） a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3),（3） 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .,解 因为(2m-n)(2m+n)= 4m2

9、-n22m2-n2， 所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确.,17,公开课资,1. 求4，6，14 的最大公因数.,答：因为4=22 6=23 14=27,所以最大公因数是2.,18,公开课资,2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解， 哪些不是，为什么？,（1） (x+1)(x+2)= x2+3x+2 ；,（2） 2x2y + 4xy2= 2xy(x+2y) ；,答：是因式分解.,（3） x2-2 =(x+1)( x-1)-1 ；,（4） 4a2-4a+1=(2a-1)2 .,答：是因式分解.,解 不是. 因为x2 +3x+2不是几个多项式乘积的形式.,解 不是.

10、 因为(x+1)(x-1)-1不是几个多项式乘积的形式.,19,公开课资,3. 检验下列因式分解是否正确.,（1） -2a2 + 4a = -2a(a+2) ；,（2） x3+ x2+ x = x(x2+ x) ；,解 因为-2a(a+2)= -4a2-4a-2a2+4a ， 所以因式分解-2a2+4a= -2a(a+2)不正确.,（3） m2+ 3m+ 2 = (m+1)(m+2) .,解 因为x(x2+x)=x3+x2x3+x2+x， 所以因式分解x3+x2+x=x(x2+x)不正确.,解 因为(m+1)(m+2)=m2+3m+2， 所以因式分解m2+3m+2=(m+1)(m+2)正确.,20,公开课资,解: ab-ac=a(b-c) 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14(2.386-1.386) =3.14,拓展延伸,1. 当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，求abac的值。,21,公开课资,=87（87+13）,=(101+99)(101-99),4,=8700,=2002,=400,22,公开课资,规律总结,整式的乘法是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展； 多项式的分解因式是把一个多项式