全微分与链式法则.ppt

1、第八章,8.3,8.3.1、全微分,全微分与链式法则,8.3.2、链式法则,a,2,一元函数 y = f (x) 的微分,常数A与x 无关,仅与x 有关,对 x 的偏增量,对 x 的偏微分,对 y 的偏增量,对 y 的偏微分,8.3.1、全微分,引例: 一块长方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了,设面积为 A , 则,面积的增量为,关于x,y的线性主部,故,变到,分别由,其边长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变到,多少?,定义:,如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y

2、 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,一般地,a,5,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义 :,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 因函数在点(x, y) 可微, 故,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,反例

3、: 函数,易知,但,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,定理2 (充分条件),（证略）,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,于是，全微分,解:,例2. 计算函数,的全微分.,解:,例3. 计算函数,的全微分.,解:,例4.计算,的近似值.,解: 设,则,取,则,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,偏导数存在,函数可微,偏导数连续,a,12,思考与练习,函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,1. 选择题,a,13,2. 设,解:,利用轮换对称性 , 可得

4、,注意: x , y , z 具有 轮换对称性,a,14,答案:,3. 已知,在点 (0,0) 可微 .,备用题,在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1),因,故函数在点 (0, 0) 连续 ;,但偏导数在点 (0,0) 不连,证明函数,所以,a,15,同理,极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;,同理 ,在点(0,0)也不连续.,2),3),a,16,4) 下面证明,可微 :,说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,a,17,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,8.3.2、多元复合函数求导的链式

5、法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 全导数公式 ),推广:,1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .,2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3),当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,口诀 :,连线相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导,例1. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求全导数,解:,机动 目录 上页 下页 返回

6、 结束,例4.,解:,令 u = 1+ x2 , v = cos x ,则,解: 设,于是,例4.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,f 具有一阶连续偏导数,求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,26,多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,a,27,例6. 设,例1 .,解:,所以,8.3.3 一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅

7、就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还可求隐函数的,例4. 求由方程,解法一 令,所确定的y是x的函数的,导数.,解法二,方程两边对 x 求导,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例5. 设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,内容小结,1.