02轴向拉伸与压缩.ppt

1、1,第二章 轴向拉伸与压缩,本章内容: 1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 2 拉、压杆的内力 3 拉、压杆的应力 4 拉、压杆的变形 5 材料在拉伸时的力学性能 6 材料在压缩时的力学性能 7 拉、压杆的强度计算 8 应力集中概念 9 简单拉、压超静定问题,2,第一节 引 言,轴向拉伸和压缩是一种工程中常见的杆件的基本变形，例如：,3,轴向拉伸与压缩的特点：, 受力特点：, 变形特点：,承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆。,外力合力的作用线与杆轴线重合,主要是沿轴线方向伸长或缩短,4,第二节 轴力与轴力图,一、内力与截面法,内力 ,外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力。, 内力为作用于整个截

2、面上的连续分布力。今后，内力一般被用来特指截面上的分布内力的合力、或合力偶矩、或向截面形心简化所得到的主矢和主矩。,5,第一步：沿截面假想地截开，留下一部分作为研究对象， 弃去另一部分；,求内力的方法 ,截面法,第二步：对留下部分进行受力分析，根据平衡原理确定， 在暴露出来的截面上有哪些内力分量；,第三步：建立平衡方程，求出未知内力。,6,二、轴力与轴力图,下面运用截面法确定拉、压杆横截面上的内力：, 拉、压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合，故 称为轴力，记作 。规定：背向截面使杆件受拉伸的 轴力为正，指向截面使杆件受压缩的轴力为负。, 轴力随横截面位置变化的图线称为轴力图。,7,例 2-

3、1 试作出图示拉压杆的轴力图。,解：（1）分段计算轴力,（2）绘制轴力图, 轴力图的位置要与杆件位置对应。, 轴力图上正下负。,8,解:（1）求约束力,例 2-2 立柱受力如图所示，已知 ，试作出其轴力图。,9,（2）分段计算轴力,（3）作轴力图,10,例 2-3 试作出图示拉压杆的轴力图。,解：省略计算过程，直接作出轴力图如上图所示。,11,第三节 拉压杆的应力,一、应力的概念,应力是指截面上分布内力的集度,如图,为分布内力在 k 点的集度，称为 k 点的应力,12,通常，将应力 p 分解为沿截面法向和切向的两个分量，其中,法向应力分量称为正应力，记作 ,切向应力分量称为切应力，记作 ,在国

4、际单位制中，应力的单位为 Pa,常用单位 MPa,有时用单位 GPa,13,二、拉（压）杆横截面上的应力,观察拉（压）杆的变形，可以推断, 拉压杆横截面上只存在均匀分布的正应力,FN 横截面上的轴力,A 横截面的面积, 正应力 的正负号规定与轴力 FN 保持一致，即拉应力为正，压应力为负。,14,例 2-4 图示圆截面阶梯杆，已知轴向外力 、 ，AB 段与 BC 段的直径分别为 与 ，试计算该杆横截面上的最大正应力。,解:（1） 作轴力图,（2） 计算正应力,AB 段：,（拉）,15,（2） 计算正应力,BC 段：,最大正应力：,AB 段：,16,例 2-5 图示三角支架，已知 AB 为直径

5、的圆截面杆， AC 为边长 的正方形截面杆， ，试计算两杆横截面上的应力。,解:（1）计算两杆轴力,利用截面法，截取结点 A 为研究对象并作受力图,列平衡方程,17,解得,（2）计算两杆应力,AB 杆：,18,（2）计算两杆应力,AB 杆：,AC 杆：,19,二、拉（压）杆斜截面上的应力,斜截面的方位角 ：,以 x 轴为始边，以外法线轴 n 为终边，逆时针转向的 角为正，反之为负 。, 斜截面上的全应力,20,将 p 沿斜截面的法向和切向分解，即得 斜截面上的正应力、切应力分别为,A 横截面的面积, 横截面上的正应力, 切应力的正负号规定：围绕所取分离体顺时针转向的切应力为正，反之为负。,21

6、,结论：,1. 在横截面上，即当 时，正应力最大， ；,2. 在 45 斜截面上，切应力最大， ；,3. ，即在任意两个相互垂直的斜截面上，切应力大小相等、转向相反，称为切应力互等定理。,22,例 2-6 图示压杆，已知轴向压力 ，横截面 面积 ，试求 mm 斜截面上的正应力与切应力。,解：横截面上的正应力,mm 斜截面的方位角,23,代入公式即得,24,第四节 拉压杆的变形,一、拉压杆的轴向变形与胡克定律,轴向变形,线应变, 线应变反映了拉压杆的变形程度，具有可比性。,25,胡克定律,E 弹性模量，由试验确定的材料常数，与应力具 有同样量纲，常用单位 GPa,胡克定律适用范围：,1. 杆内应

7、力不大于材料的比例极限，即,2. 单向拉压,26,由胡克定律得，拉压杆轴向变形,若轴力 FN 、横截面面积 A 或弹性模量 E 沿杆的轴线为分段常数，则拉压杆的总轴向变形为,若轴力 FN 、横截面面积 A 沿杆的轴线为连续常数，则拉压杆的总轴向变形为,27,例 2-7 图示钢制阶梯杆，已知轴向载 ， ，AB 段横截面面积 ，BC 段和 CD 段横截面面积 ，三段杆的长度 ，钢材弹性模量 ，试求该阶梯杆的轴向变形。,解:（1）作轴力图,首先作出轴力图，如右图所示,28,（2）分段计算轴向变形,29,（3）计算总轴向变形,30,例 2-8 试求图示等直杆因自重引起的伸长。已知杆的原长为 l ，横截

8、面面积为 A ，材料的弹性模量为 E ，质量密度为 。,解: 杆的重力可视为沿杆轴均布，其分布集度,由截面法，得 x 截面上的轴力,代入公式积分即得,31,例 2-9 图示三角架，已知杆 1 用钢制成，弹性模量 ，长度 ，横截面积 ；杆 2 用硬铝制成，弹性模量 ，长度 ，横截面积 。若载荷 ，试求结点 A 的位移。,解:（1）计算杆的轴力,截取结点 A ，作出受力图，由平衡方程得两杆轴力,32,（2）计算杆的轴向变形,由胡克定律得两杆轴向变形,33,（3）计算结点的位移,在小变形条件下，以切线代弧线、以直代曲，可得结点 A 的水平位移、竖直位移分别为,34,在小变形的条件下，在确定支座反力和

9、内力时，一般可忽略杆件变形、按照结构的原始尺寸和位置来进行计算；在确定位移时，则可采用上述 “以切线代弧线” 、“以直代曲” 的方法。这样，可使问题的分析计算大大简化。,35,二、拉压杆的横向变形与泊松比,拉压杆的横向线应变,试验表明，当杆内应力不大于材料的比例极限时，拉压杆的横向线应变 与轴向线应变 成正比，即有,其中， 为材料常数，称为横向变形因数或泊松比，泊松比 无量纲。,36,例 2-10 已知钢制螺栓内径 ，拧紧后测得在长度 内的伸长 ；钢材的弹性模量 ，泊松比 。试求螺栓的预紧力与螺栓的横向变形。,解：拧紧后螺栓的轴向线应变,螺栓横截面上的应力,螺栓的预紧力,37,螺栓的横向应变,

10、螺栓的横向变形,38,第五节 材料在拉伸时的力学性能,一、拉伸试验与 曲线,试验标准：,GB 22887 金属拉伸试验方法,标准拉伸试样：,规定标距:,或者,39,试验设备,液压式,电子式,40,二、低碳钢拉伸 曲线,1. 线弹性阶段 ( Oa 段 ),性能特点, 弹性变形, 弹性变形：卸载后会消失的变形, 应力与应变成正比,性能参数, 比例极限, 胡克定律适用范围：, 比例极限,弹性模量 E 就等于 Oa 直线段的斜率,41,2. 屈服阶段 ( bc 段 ),性能特点, 塑性变形, 塑性变形：卸载后不会 消失的变形, 屈服现象,性能参数,屈服极限, 屈服极限 ：下屈服点的应力，发生屈服现象的

11、 最小应力, 屈服现象：材料暂时丧 失变形抗力,42,3. 强化阶段 ( ce 段 ),性能特点, 弹塑性变形, 强化现象,性能参数,强度极限, 强度极限 ：最高点的应力，断裂前所能承受的 最大应力, 强化现象：材料恢复了 变形抗力,43,4. 缩颈阶段 ( ef 段 ), 缩颈现象：变形局部化,44,三、卸载规律与冷作硬化现象,冷作硬化现象：,卸载规律：,线性卸载，如图中 直线段。,材料预加塑性变形后重新加载，比例极限提高，塑性变形降低。,45,四、材料的塑性指标,（1）伸长率,l 为标距原长； l1 为试件拉断后标距长度,（2）断面收缩率,A 为原始横截面积； A1 为试件拉断后断口处的最

12、小横截面积,工程中通常将材料划分为两类：,塑性材料,脆性材料,46,五、名义屈服极限,有些塑性材料不存在明显 的屈服阶段，工程中通常 以产生 0.2% 的塑性应变 所对应的应力作为屈服强 度指标，称为名义屈服极 限或条件屈服极限，记作,47,六、铸铁拉伸时的力学性能,性能特点,铸铁拉伸 曲线,1. 塑性变形很小,2. 强度指标：强度极限 b,3. 抗拉强度很低,4. 弹性模量：割线弹性模量,48,第六节 材料在压缩时的力学性能,试验标准： GB 731487 金属压缩试验方法,标准试件：短圆柱，高度与直径比一般为 2.53.5,1. 低碳钢压缩 曲线, 比例极限 p 、屈服极限s 、弹性模量

13、E 与拉伸时大致相同。, 不存在强度极限 b 。,49,2. 铸铁压缩 曲线, 抗压强度极限 bc 明显高于抗拉强度极限bt（约为 34 倍）, 断口方位角大致为, 脆性材料适宜制作承压构件。,50,第七节 拉压杆的强度计算,一、极限应力、许用应力与安全因数,1. 强度失效与极限应力,强度失效的两种形式 ,塑性材料为塑性屈服；脆性材料为脆性断裂,极限应力 ,材料强度失效时所对应的应力，记作 u ，有,51,2. 许用应力与安全因数,材料安全工作所容许承受的最大应力，记 作 ，规定,许用应力 ,其中，n 为大于 1 的因数，称为安全因数 。,对于塑性材料，压缩与拉伸的许用应力基本相 同，无需区分

14、；对于脆性材料，压缩与拉伸的许 用应力差异很大，必须严格区分。,52,二、拉压杆的强度条件,保证构件安全可靠工作、不发生强度失效的条件称 为强度条件,拉压杆的强度条件 , 工程中规定，在强度计算中，如果杆件的实际工作 应力 超出了材料的许用应力 ，但只要超出量 不大于许用应力 的 5% ，仍然是容许的。,53,三、强度计算的三种类型,根据强度条件，可以解决以下三类强度问题：,1. 校核强度,2. 截面设计,3. 确定许用载荷,54,例 2-11 图示圆截面阶梯杆，已知所受轴向外力 、 ；杆的直径 、 ；材料为低碳钢，屈服极限 ，安全因数 。试校核该阶梯杆的强度。,解:（1）作轴力图,作出杆的轴

15、力图,（2）强度校核,材料的许用应力,55,分段进行强度校核,AB 段：,因为,故 AB 段强度满足要求,BC 段：,故BC 段强度足够,56,解:（1）计算斜拉杆轴力,例 2-12 如图，已知吊重 ，两侧对称斜拉杆由圆截面的钢杆制成，材料的许用应力 ， 角为 ，试确定斜拉杆横截面的直径。,截取吊环的上半部分，由平衡方程,得斜拉杆轴力,57,（2）截面设计,根据拉压杆强度条件,解得,故取斜拉杆直径,58,解:（1）计算两杆轴力,例 2-13 如图，斜杆AB 由两根 的等边角钢构成，横杆AC 由两根10号槽钢构成，许用应力 ，试确定其许用载荷 F 。,截取节点 A ，由平衡方程,得两杆轴力,59

16、,（2）确定许用载荷,查型钢表，得斜杆 AB 横截面积,横杆 AC 横截面积,由斜杆 AB 强度条件,得,60,由横杆 AC 强度条件,得,所以，该支架的许用载荷为,由斜杆 AB 强度条件,61,第八节 应力集中概念,一、应力集中现象,由于构件截面形状或尺寸突然变化而引起的局 部应力急剧增大的现象称为应力集中。,62,二、理论应力集中因数,定义,为理论应力集中因数，其中 max 为应力集中处的最 大应力； 为同一截面上的名义平均应力, 理论应力集中因数 K 愈大，构件的应力集中程度 就愈大。, 构件的角愈尖，孔愈小，截面尺寸改变的愈急剧， 应力集中的程度就愈大。,63,三、应力集中对构件强度的

17、影响, 在静载荷作用下，应力集中对构件强度的影响与 材料有关：,对于塑性材料制成的构件，由于屈服现象，可以不 考虑应力集中的影响；对于脆性材料制成的构件， 则一般必须考虑应力集中的影响，但铸铁例外。,在交变载荷作用下，无论是塑性材料还是脆性材 料，应力集中都将成为构件破坏的根源，都必须考 虑应力集中对构件强度的影响。,64,第九节 简单拉压超静定问题,简单的拉压超静定问题可以采用变形比较法求解， 其一般步骤为：,1. 建立静力平衡方程,2. 建立变形协调方程,在超静定结构中，由于受到多余约束的限制，杆件变形 必须相互协调，满足一定的关系。表示超静定结构中杆 件变形之间关系的方程称为变形协调方程

18、。,3. 建立补充方程,由物理方程和变形协调方程，建立补充方程,4. 求解未知量,联立方程，求解未知量。,65,例 2-14 如图，等截面直杆两端固定，在截面处受一轴向外力F 的作用，设其拉压刚度EA为常数，试作出其轴力图。,解:（1）建立平衡方程,解除AB 杆约束，作受力图， 其平衡方程为,这是一次超静定问题，需要 有一个补充方程才能获解。,66,（2）建立变形协调方程,因两端固定约束的限制，变形后杆件的总长保持 不变，即有变形协调方程,（3）建立补充方程,根据胡克定律，,代入变形协调方程，得补充方程,67,（4）求解未知力,联立补充方程与平衡方程，求得未知约束力,作出图示轴力图,68,例 2-15 图示结构，已知杆EC、HD 的拉压刚度分别为E1A1、E2A2，横梁AB 是刚性的，试求载荷F 引起的EC、HD 两杆的轴力。,解:（1）建立平衡方程,作出横梁AB 的受力图， 建立求解两杆轴力的有 效平衡方程,69,（2）建立变形协调方程,由结构的变形图，得变形协调方程,（3）建立补充方程,利用胡克定律，由变形协调 方程即得补充方程,（4）解方程，计算轴力,联立补充方程与平衡方程，求得,70,EC 杆轴力,HD 杆轴力,对于超静定结构，内力与杆的刚度有关，杆 的刚度愈大，其内力就愈大。,71,例 2-16 图示阶梯钢杆，在温度为 时，两端固定在绝