高三数学教案：§10.5二项式定理

1、 10.5 二 式定理一、内容 知 精 ：（1）二 式定理：a b nCn0 a nCn1a n 1bCnr an r b rCnnb n （ n N）C nr a n r brT T5其通 是Tr（ r=0,1,2, ,n），知 4 求 1，如：C a n 5b5165 1n亦可写成： Tr 1C nr a n ( b ) raa b nC0a nC1an 1b1 r C r an r br1 n C nbn（ nN ）nnnn特 地： 1xnCn0 xnCn1 xCnr xn rCnn x n （ nN ）其中， C nr 二 式系数。而系数是字母前的常数。（ 2）二 展开式系数的性 ：

2、称性,在二 展开式中，与首末两端“等距离”的两 的二 式系数相等，即 Cn0 C nn , C 1n C nn 1 , Cn2 C nn 2 , C nk C nn k ,增减性与最大 ： 在二 式展开式中， 二 式系数先增后减，且在中 取得最大 。如果C n rnmaxC n 2Tn1n 偶数：2二 式的 指数是偶数，中 一 的二 式系数最大，即；如 果 二 项 式 的 幂 指 数 是 奇 数 ， 中 间 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 并 且 最 大 ， 即n 1n1rC n 2Tn 1Tn 1C n max C n 21122。所有二 式系数的和用 法可以 明等于2 n 即 C

3、n0C n1C nn2n ；奇数项的二项 式系数和与偶 数项的二项式 系数和相等，即C n0Cn2C 1nC n32n 1（3）二 式定理的 用：近似 算和估 、 不等式，如 明：2n2n n 3, n N 取2 n1 1 n 的展开式中的四 即可。2重点 点 :二 式定理，和二 展开式的性 。3思 方式 :一般与特殊的 化， 法的 用。4特 注意 :二 式的展开式共有n+1 ， C nr an r b r是第 r+1 。通 是Tr 1C nr a n r brTr 1 , a,b, n, r五个元素，只要知道其（ r=0,1,2, ,n）中含有中四个即可求第五个元素。第 1页共 6页注意二项

4、式系数与某一项系数的异同。当 n 不是很大， | x | 比较小时可以用展开式的前几项求(1x)n 的近似值。二、问题讨论例 1（ 1） Cn13Cn29Cn 33n 1 Cnn 等于（）4n4n1A 4 nB。 3 4n1C。 3D.3（2）若 n 为奇数，则 7nC n1 7 n1C n2 7 n2C nn1 7被 9 除得的余数是（）A0B。 2C。 7D.8解：（ 1）设 SnCn13Cn233n 1 Cnn ，于是：9Cn3Sn3Cn132 Cn233 Cn 33n Cnn = Cn 03Cn132 Cn233 Cn 33n Cnn1故选 D（2）7 nC n17n 1C n2 7

5、n 2C nn 1 78n1 9 1 n1= 9nCn19n 1n 1n1 Cnn 1 91 1因为 n为奇数，所以原式 =9nCn1 9n 11n 11 9 2Cnn所以，其余数为 7，选 C1nx24x例 2（1） (优化设计P179 例 1)如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。3（2） (优化设计 P179 例 2)求1x2x的展开式的常数项。（3）在 x 23x 25x 的系数（即含x 的项的系数）的展开式中，求nn(n1)解：（ 1）展开式中前三项的系数分别为1， 2，8，nn(n1)由题意得： 2 2 =1+8得 n =8。c8r1 x163 r设第 r+

6、1 项为有理项，Tr 14r=0， 4， 8。2 r，则 r 是 4的倍数，所以T1x4 ,T535 x, T91有理项为8256x 2。第 2页共 6页【思 点 】求展开式中某一特定的 的 ，常用通 公式，用待定系数法确定r。36rr6 r2x1x1Tr 11 C6x2x（2）法一：x，其展开式的通 6r r6 2r0 得 r 3rr2 2 ，令1 C6 x2所以，常数 T42031xr2x12x12x12x12xxxx法二：解析：=得到常数的情况有：1三个括号中全取 -2，得（-2）3一个括号取 | x | ，一个括号取x ，一个括号取 -2，得 C31C21 (2) =-12，因此常数

7、-20。（3）x23x 251 x 5 2 x 51 C51 x252 4 C51 x=含 x 的 C 51 24C51 25 x240x ,即含 x 的 的系数 240【思 点 】密切注意通 公式的使用。 ：( 化 P180 思考 （)1）在 (1xx2x 3 )(1x) 7的展开式中， 求 x 4的系数。( x44)4（2）求x的展开式中的常数 。（3）求 (1x) 3(1x) 4(1x)5(1x)50的展开式中 x 3的系数。1x4(1x)74)(1x)6解: （1）原式 = 1x(1 x,展开式中 x4的系数 (1)4C41 146( x44(x 24x 4) 4(2 x)84)444

8、4(1)41120（2）x=xx，展开式中的常数 C 8 2(1x)3(1x)481(1x)51(1x) 3（3）方法一：原式=(1x)1xx3的系数 C514。方法二：展开式中x3的系数 ： C33C 43C 53C 503C 44C43C 53C 503C54C53C503C514第 3页共 6页例 3( 化 P180 例 3)、 an1 q q2 qn 1(n N*， q ，1)12nAn Cna1 Cn a2 Cn an.用 q 和 n 表示 AnlimAn当 32 nq 1时 ,求 n1q n解： q1， an 1q .12n An C n a1 Cn a2 C n an1q11 q

9、 221q nn 1qCn 1 qCn 1 qCn1012n012n 1q(C nC n Cn C n) (Cn qC n q2C n qnC n )1 2n (1 q) n 1 q11nAn1q1 q1q2(2) 2n因 3q1且 q1，所以 021limAn12n= 1q所以 n01n【思 点 】：本 逆用了二 式定理及Cn Cn Cn 2n， 些重要的数学模型常常运用于解 程中 .例 4、若 2x34a2 x2a3 x3a4 x 4，求（1） a022= a0a1 xa2a4 a1a3的 。（ 2） a0a1a2a3 的 。【解析】：（1）在使用 法前， 先将a0a2a42 a1a32

10、形 ：2 a12a0 a2a4a3= a0a1a2a3a4a0a1a2 a3a4才能 x 取什么特殊 ：令 x = 1， a0a1a2a3a4 = 234令 x =1 则 a0a1a2a3a4 = 234第 4页共 6页a0a2a42a1a322342 3423 2 34因此：=14（ 2 ） 因 为a0a1a2a3a4=a0a1a2a3 a423=a42416所以， a0a1a2a3 = 234 16【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。x145a0a1 x3a2x2a9 x3思考题：设x23则 a0a2a4a6a82a3a5a7a92 a1a0a1a2a9450解:2 12 2a0a2

11、a4a62a3a5a72所以 ,a8 a1a9a0a1 a2a9 a0 a1 a2a8 a9 =0备用题：， 而9（( 12x) n例 5 已知2。若展开式中第5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。【解】（ 1） C n4C n62C n5 n =7 或 n =14。当 n =7 时，展开式中二项式系数最大的项是T4 和 T5C73 1435C74 13232470T4 的系数 =22 ； T5 的系数 =2当 n =14 时展开式中二项式系数最大是项是T8，1777T8 的系数 =C14223432。由 C n0C n1C n2=79，可得 n =12，设 Tk 1 顶的系数最大。1212k4kk14k 112x11 4x 12C12C12kkk 1k 1 22，C124C124， 9.4 k 1，求证n1 n1 121n111证明 :(1n) 1 CnnCnn2C nnn1 C nn21 1nn n 1 n n 1 n 21 n n 1 n 2 3 2 12n2!