高中数学圆锥曲线知识点总结

1、最新资料推荐高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C的方程是 f(x,y)=0 ，则点 P0(x 0,y 0) 在曲线 C上f(x 0,y0)=0；点 P (x,y ) 不在曲线 C上 f(x0,y) 0。0000两条曲线的交点：若曲线C1，C2 的方程分别为 f 1(x,y)=0,

2、f 2(x,y)=0, 则点 P0(x 0,y 0 ) 是C，C 的交点f1 ( x0 , y0 )0方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的12f2 ( x0 , y0 ) 0交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义： 点集 M OM=r ，其中定点 O为圆心，定长 r 为半径 .2、方程： (1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是 (x-a) 2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r 2(2) 一般方程：当D2 +E2-4F0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为 (D

3、 , E ) 半径是22D 2E 24 F 。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0化为2(x+ D ) 2+(y+ E ) 2= D 2E 2- 4F224当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点 (-D ,-E );22当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形 .（3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为 (x 0,y 0) ，则MC r点 M在圆 C内， MC=r点 M在圆 C 上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC = (x 0 - a)2(y 0 - b) 2 。（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线

4、与- 1 -最新资料推荐圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定： (i) 判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0AaBbC的距离 dA2B2与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y) 到一个定点 F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0) 称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为

5、双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F 2 的1到两定点 F1,F 2 的距距离之和为定值离之差的绝对值为定值122a(02a|F F |) 的点F |) 的点的与定点和直线的距离定义的轨迹轨迹2与定点和直线的相等的点的轨迹 .2与定点和直线的距离距离之比为定值 e 的之比为定值 e 的点的轨点的轨迹 . （0e1）点集：(M MF+点集： M MF- 11轨迹条点集 M MF=点MF2=2a, F 1F2MF2.件M到直线 l 的距离 .2a=2a, F2F2 2a.图形- 2 -最新资料推荐标方准x2y21( a b 0)x2y21(a0,b0)方a 2b

6、2a 2b 2程程参数xa cosxa sec(ybsinyb tan方参数 为离心角）参数 为离心角）(程范围ax a， b y b|x|a ，y R中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), ( a,0),(a,0),(a,0)(0,b) , (0,b)对称轴x 轴， y 轴；x 轴， y 轴;长轴长 2a, 短轴长 2b实轴长 2a,虚轴长 2b.焦点12( c,0)12( c,0)F (c,0), FF (c,0), Fx= a2x= a 2cc准线准线垂直于长轴，且准线垂直于实轴，且在在椭圆外 .两顶点的内侧 .焦距2c （c=a2b 2 ）2c （c= a 2b2 ）

7、离心率c(0e 1)c1)ee(eaa【备注 1】双曲线：y 22 pxx2 pt 2(t 为参数 )y2 ptx 0(0,0)x 轴F ( p ,0)2x=- p2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等 .e=1- 3 -最新资料推荐等轴双曲线：双曲线 x 2y 2a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx ，离心率 e2 .共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲22与 x22线的共轭双曲线 . x2y22y2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：ababx2y 20 .a 2b 2共渐近线的双曲线系方程：x 2y 2(0) 的渐近线方程为 x 2y20

8、如果双曲线的a 2b2a 2b2渐近线为 xy0 时，它的双曲线方程可设为x2y 2(0) .aba2b 2【备注 2】抛物线：（ 1）抛物线 y 2 =2px(p0) 的焦点坐标是 ( p2,0) ，准线方程 x=- p，开口向右；抛物2线 y2 =-2px(p0) 的焦点坐标是 (- p2,0) ，准线方程 x= p ，开口向左；抛物线 x2 =2py(p0)2的焦点坐标是 (0, p ) ，准线方程 y=- p，开口向上；22抛物线 x2=-2py（）的焦点坐标是（0,-p），准线方程 y= pp022，开口向下 .（2）抛物线 y 2 =2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点

9、 F 的距离 MFx0p ；抛物线2y2 =-2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离 MFpx02（3）设抛物线的标准方程为y2 =2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为p ，2顶点到准线的距离 p ，焦点到准线的距离为 p.2（4）已知过抛物线 y 2=2px(p0)焦点的直线交抛物线于、两点，则线段AB称为A B焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB = x1 x2 +p 或 AB2 p( 为直线 AB的sin2倾斜角 ) ， y1 y2p2 ， x1 x2 p2, AF x1 p ( AF 叫做焦半径 ).42五、坐标的变换：- 4

10、-最新资料推荐（ 1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换 ( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 ) 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 .（ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（ 3）坐标轴的平移公式： 设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy中的坐标是 9x,y) ，在新坐标系 x Oy中的坐标是 ( x , y ) . 设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy中的坐标是 (h,k) ，则xx h 或xxhyy kyyk叫做平移 ( 或移

11、轴 ) 公式 .（4）中心或顶点在 (h,k) 的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴(x - h) 2+ (y - k) 2=1(c+h,k)x= a 2+hx=ha 2b2cy=k椭圆x=h(x - h) 2+ (y - k) 2=1(h, c+k)y= a 2+kb2a 2cy=k(x - h) 2- (y - k) 2=1( c+h,k)x= a 2+kx=ha 2b2cy=k双曲线x=h22=1(h, c+h)2+k(y - k)- (x - h)y= aa2b2cy=k(y-k)2=2p(x-h)(p +h,k)x=- p +hy=k22(y-k)2=-2p(x-h)(-p +h

12、,k)x= p +hy=k22抛物线(x-h)2=2p(y-k)(h,p +k)y=- p +kx=h22(x-h)2=-2p(y-k)(h,-p +k)y= p +kx=h22- 5 -最新资料推荐六、椭圆的常用结论：1. 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角 .2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21上，则过 P0 的椭圆的切

13、线方程是x0 xy0 y1.a22a2b2b6.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21外，则过 P0 作椭圆的两条切线切点为P、P ，则切点弦22ab12P1P2 的直线方程是x0 xy0 y1.a2b27.椭圆 x2y21 (a 0)的左右焦点分别为1，F 2 ，点 P为椭圆上任意一点a2b2bFF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为 S F1PF2b2 tan .28.椭圆 x2y21（ 0）的焦半径公式a2b2ab| MF1 | aex0 , | MF2 | aex0 ( F1 (c,0) , F2 ( c,0) M (x0, y0 ) ).9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆

14、相交 P 、Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、N两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点， A1P和 A2Q交于点 M，A2P和 A1Q交于点 N，则 MFNF.11.AB 是椭圆 x2y21 的不平行于对称轴的弦， (x, y) 为的中点，则 kkb2，a2b2M 00ABOMABa2即 K ABb 2 x0。a 2 y012. 若 P0( x0 , y0 ) 在椭圆x2y2a22 1内，则被 Po所平分的中点弦的方程是bx0 x y0 y x02y02；a2b2a2

15、b2- 6 -最新资料推荐【推论】：1、若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y2x2y 2x0 x y0 y。a22 1内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是a2b2a2b2b椭圆 x2y21（abo）的两个顶点为 A1( a,0) , A2 (a,0)22ab，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 x2y 21.a2b22、过椭圆 x2y21 (a 0, b 0) 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交22ab椭圆于 B,C 两点，则直线 BC有定向且 kBCb2 x0a2 y0（常数） .3、若 P 为椭圆

16、x222y21（ab0）上异于长轴端点的任一点 ,F 1, F 2是焦点 ,abPF1F2,PF2F1，则 actanco t .ac224、设椭圆x2y21（ ）的两个焦点为、F ,P（异于长轴端点）为椭圆上任ab0F2a2b21意一点，在 PFF 中，记 F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有since.12sinsina5、若椭圆 x2y21（ ）的左、右焦点分别为1、F2，左准线为 L，则当 0ea2b2ab0F21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF 是 P 到对应准线距离 d 与 PF 的比例中项 .126、P 为椭圆 x2y21（ab0）上任一点 ,F 1,F 2为二焦点， A

17、 为椭圆内一定点，则22ab2a | AF2 | | PA | PF1 |2a| AF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .7、椭圆(x x0 ) 2( y y0 )2a2b21与直线 AxBy C0 有公共点的充要条件是A2 a2B2 b2( Ax0By0C )2 .8、已知椭圆 x2y21（ ），为坐标原点， 、为椭圆上两动点， 且 OP OQ.a2b2a b 0 OP Q（1）111122的最大值为4a2b222a2b2 ; （2）|OP|+|OQ|a2b2 ; （3） S OPQ 的最小值| OP | |OQ |2 2是 a b . a2 b2- 7 -最新

18、资料推荐9、过椭圆 x2y21（ ）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MNa2b2ab0的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | PF |e .| MN |210、已知椭圆 x2y21（a ）,A、 、是椭圆上的两点，线段的垂直平分a2b2b0BAB线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) ,则 a2b2x0a2b2.aa2211、设 P点是椭圆 x2y21（ a b0）上异于长轴端点的任一点 ,F 1、F2 为其焦点ab记 F1 PF2，则 (1)| PF1 | PF2 |2b2.(2)S PF1 F2b2 tan .1cos212、设 A、B 是椭圆 x2y 21（a ）的长轴两端点

19、，P是椭圆上的一点，PAB,a2b2b0PBA,BPA， 、 分别是椭圆的半焦距离心率， 则有(1)| PA|2ab2 | cos | .(2)cea2c2cos2tan tan12.(3)S PAB2a2b2.eb2a2 cot13、已知椭圆 x2y21（a ）的右准线l与x轴相交于点 E ，过椭圆右焦点F的a2b2b0直线与椭圆相交于A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC经过线段EF 的中点 .14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与

20、焦点的连线必与焦半径互相垂直 .16、椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点 . ）17、椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18、椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.- 8 -最新资料推荐七、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线 PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角 .2、PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦 PQ

21、为直径的圆必与对应准线相交 .4、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切： P 在右支；外切：P 在左支）5、若P0 ( x0, y0 )在双曲线 x2y21（ 0,b ）上，则过0 的双曲线的切线方程是a2b2a0Px0 xy0 y1.a2b26、若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线 x2y21（ 0,b ）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切a2b2a0点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是x0 xy0 y.a2b21227、双曲线 x2y2 1（a0,b o）的左右焦点分别为 F1，F 2 ，点 P 为双曲线上任意ab一点F1PF2，则双曲线的焦

22、点角形的面积为S F1PF2b2 co t .28、双曲线 x2y 21（ 0,b ）的焦半径公式：(F1 ( c,0) ,F2 (c,0)）当M ( x0 , y0 )在a2b2ao右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF 2| ex0 a ；当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时，| MF1 | ex0a , | MF2 | ex0a 。9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P 、Q两点， A为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A 、A 为双曲

23、线实轴上的顶12点， A1P 和 A2Q交于点 M， A2P 和 A1Q交于点 N，则 MFNF.11、AB是双曲线 x2y21（ 0,b ）的不平行于对称轴的弦，(x0 , y0 ) 为的中a2b2a0MAB点，则 K OM K ABb2 x0 ，即 K ABb 2 x0。a 2 y0a 2 y0- 9 -最新资料推荐12、若 P0, y0 ) 在双曲线 x2y21（a0,b 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程(x022ab是x0 x y0 y x0 2y0 2a2222 .bab13、若 P0, y0 ) 在双曲线 x2y21（a0,b 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是(x0

24、22abx2y2x0 x y0 ya2b2a2b2 .【推论】：1、双曲线x2y2a2b21（a0,b 0）的两个顶点为A1 (a,0) , A2 (a,0)，与 y 轴平行的直线交双曲线于 PP 时 AP 与 A P 交点的轨迹方程是x2y21 .a2b21、 2112 22、过双曲线 x2y21（ 0,b ）上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线a2b2ao交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC有定向且 kBCb2 x0a2 y0（常数） .3、若 P 为双曲线x2y21（ 0,b ）右（或左）支上除顶点外的任一点,F, Fa2b2a021是焦点 ,PF1F2,PF2

25、 F1，则 catanco t2（或 catan co t）.ca2ca224、设双曲线 x2y21（ 0,b ）的两个焦点为1、F2 ,P（异于长轴端点）为双曲a2b2a0F线上任意一点，在 PF1 F2 中，记F1PF2,PF1 F2, F1 F2 P，则有since.(sinsin)a5、若双曲线 x2y21（ 0,b ）的左、右焦点分别为1、F2，左准线为 L，则当a2b2a0F1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF 是 P 到对应准线距离 d 与 PF 的比12例中项 .6、P 为双曲线x2y21（a0,b 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为双曲线内一定a22b

26、点，则 | AF2 |2a| PA | PF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时，等号- 10 -最新资料推荐成立 .7、双曲线 x2y21（a0,b ）与直线 AxBy C 0 有公共点的充要条件是a2b20A2 a2B 2 b2C 2 .8、已知双曲线 x2y21（a ），为坐标原点， 、Q为双曲线上两动点，且a2b2b0OPOP OQ .（1）1111;（ ）|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2 ; （3） S OPQ 的最小值22a2b22b2a2| OP | OQ |2 2是 a b . b2 a29、过双曲线 x2y21（ ）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两a2b2a0,b0点，弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | PF |e .| MN |210、已知双曲线 x