高一数学教案[苏教版]集合之间的关系

1、1.2.集合之间的关系一 .课标解读1.普通高中数学课程课程中明确指出“理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集 ; 在具体情境中,了解全集与空集的含义. ”2.重点 :子集的概念3.难点 :元素与子集 .属于与包含之间的区别.二 .要点扫描1. 子集的定义如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素 ,则集合 A 是集合 B 的子集 .也说集合A 包含于集合 B ,或集合 B 包含集合A ,记作 AB 或 BA (注意 :任何一个集合是它本身的子集)2. 空集的定义空集是任意一集合的子集,也就是说 ,对任意集合A ,都有A .3. 两集合相等如果 AB, BA ,则 A等于 B

2、,记作 A = B ;反之 ,如果 A = B ,则 AB, BA .4. 真子集的定义如果 A B ,且 B 中至少有一个元素不属于 A ,那么集合 A 是集合 B 的真子集 ,记作 A B .以上条件还可概括为 :如果 A B ,且 A B ,则 A B .(注意 :空集是任何非空集合的真子集 .)5. 有限集合的子集个数nn个非空子集 ;有n个真子集 ;有n个非空真子集 .n 个元素的集合有2; 2 12 12 2个子集 有6. 维恩图这种图在数学上也称为文(Tohn Venn,1834 年 1923 年英国逻辑学家 )氏图 .它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用(就像交通示意图只

3、说明各车站之间的位置关系那样),因此 , 边界用直线还是曲线 ,乃实线还虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行.决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素(事实上 ,这个集合可能与点毫无关系);至于边界上的点是否属于这个集合 ,也都不必考虑 .三 .知识精讲第 1页共 15页知识点 1 区分, 0 表示以空集 ,为元素的单元素集合,当把视为集合时 , 成立 ;当把视为元素时 , 也成立 . 0 表示元素 , 0 表示以 0 为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意 .知识点 2 区分与表示元素与集合之间的关系,如 :1N , 1N ;表示集合与集合之间的关系,如 NR,R 等

4、.四 .典题解悟-基础在线 -题型一 子集与真子集如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素 ,则集合 A 是集合 B 的子集 . 如果 A B ,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 是集合 B 的真子集 .例 1. 满足A a, b, c, d 的集合 A 是什么 ?解析 : 由A 可知 ,集合 A 必为非空集合 ;又由 A a, b, c, d 可知 ,此题即为求集合 a, b,c, d的所有非空子集。满足条件的集合A 有 a, b, c, d, a,b, a, c, a, d, b,c, b, d, c, d, a, b, c, a,b,d, a, c, d , b

5、,c, d , a,b,c,d 共十五个非空子集。此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式2n1进行检验， 241 15 ，正确。答案 :15A 0,1, B x | xA例 2. 已知 C x | xA, x N ，试确定 A ， B ，C 之间的关系。第 2页共 15页解析 : 由题意可得 : A=0 ， 1 , B=， 0 ， 1 ， 0 ， 1 , C=1答案 : A ， B， C 之间的关系是AB, CB题型二 区分 , 0是空集，是不含任何元素的集合； 0 不是空集，它是以一个 0 为元素的单元素集合，而非不含任何元素， 所以 0 ； 也不是空集， 而是单元素集合， 只有一个元素

6、，可见 ， ，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的” 。例 3. 判断正误(1) 0(2)= 0(3)0(4)0(5)(6)解析 : 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时 , 成立 ;当把视为元素时 , 也成立 . 0 表示元素 , 0 表示以 0 为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意 .答案 : (1);(2);(3);(4);(5);(6).题型三 集合的相等例 4.A x, y, B1, xy ，若 AB ，求 x, y 。解析 : AB ，即 A.B 两集合的元素相同，有两种可能：x1x1xxyxRy解得y；y1解得1xyRy x 1或 y 1 。答案 :x1 或 y1 。第

7、 3页共 15页例 5. 含有三个实数的集合可表示为集合 a, b ,1 也可表示为集合 a 2 , ab,0 ,求 a2004b 2004 .a解析 : 从集合相等及集合元素的特征入手.由集合元素的确定性及集合相等,得 a, b ,1 = a2 , ab,0 - ,从而有 0 a, b ,1 ,因为 a0 ,所以 b0,b0 代入 ,得aaa a,0,1 a2 , a,0- 由易知 a 21, a1 当1时 与集合的互异性不符 从而a1,. a,b 0 ,故 a 2004b 20041.答案 : a 2004b 20041-拓展一步 -1. 有关子集综合问题的解法在解子集的综合问题时， 首先

8、要注意集合自身的转化， 能够用列举法表述的， 尽可能用列举法，这样时的集合中的元素清晰明确，使问题简单化。其次，解决这类问题常用到分类讨论的方法。如AB 即可分两类讨论： AB AB ，而对于 AB 又可分两类讨论： A A，从而使问题得到解决。需注意A这种情况易被遗漏。注意培养慎密的思维品质解决子集问题的又一常用方法是数形结合。首先还是集合的自身转换，根据题意，用最适合的方法来描述集合，进行转换，然后利用数轴来体现子集的含义，即集合间的包含关系，再由图示找出相应的关系式，从而使问题得到解决。例 6. 已知集合A x | x24x0 ， B x | x2axa0 ，若 BA ，求实数 a 满足

9、的条件。解析 : 由于集合 A 可用列举法表示为0, 4 ，所以 B 可能等于 A ，即 B 0, 4 ；B 也可能是 A的真子集，即B =，或 B = 0 ，或 B =4 ，从而求出实数a 满足的条件。 A x | x24 x0 0, 4 ，且 BA ，可得当 BA 时， B 0, 4 ，由此可知，0, 4 是方程 x 2axa0 的两根，第 4页共 15页由韦达定理a04无解；0( 4)a当 BA 时B,即B= 0,B= 4,240 ，解得，aaa0,4此时 B 0, B2 ， B 0 符合题意，即a0 符合题意； B，a 24a0 ，解得 0a4 ，综合知：a 满足的条件是0a4 。答案

10、 :0a4例 7. 已知集合A x |2x5 ， B x |m1x2m1 ，且 BA ，求实数 m 的取值范围。解析 : 此题要分 B和 B两种情况讨论。 B， 即m12m1，依题意，有BA ，在数轴上作出包含关系图形，如图：m12m1有m12解得 2m3 ;32m15 B,即m12m1，解得 m2 ；3综合以上两种情况，可知实数m 的取值范围是m3。答案 :m3-错解点击 -例 8. 已知集合A a,b, B x | xA, 用列举法写出B ；第 5页共 15页已知集合A a,b, B x | xA, 用列举法写出B 。错解 : B =, a, b, a, b B = a,b正解 : B =

11、 , a, b, a,b B = a, bA分析 : 认识一个集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.由已知条件注意到B 中的元素 x 的属性是 xA ，即 x 是 A 的子集 , x 可以是, a, b a, b , B = , a, b, a,b由已知条件注意到B 中的元素 x 的属性是 xA ,即 x 是 A 的元素 , x 可以是 a, b , B = a, bA第 6页共 15页五 .课本习题解析习题 1-1A( 课本第 118 页 )1.2.第 7页共 15页六 .同步自测-双基训练 -1.集合 a, b, c 的子集有个(A) 5(B) 6(C)7(D)82.集合 A

12、x x2k, kZ ， Bx x4k2, kZ ，则有（）(A) AB(B)AB(C) BA(D) 以上都不是3.满足关系式1,2A1,2,3,4,5 的集合 A 的个数为（）(A)4(B) 6(C)7(D)84.若集合 M=x|x 7 ， a=6 ，则下列关系正确的是（）(A) aM(B) aM(C)aM(D) aM5. 下面六个关系式第 8页共 15页 a a a a a a a, b a a,b, c a其中正确的是（）(A) (B) (C) (D) 6.已知集合 M( x, y) | xy 0, xy0 和 P ( x, y) | x0, y0 ，那么（）A. P MB. MPC. M

13、PD. MP7.设集合 M mR | m10 , a23 ,则（）A. a MB. aMC. aMD. a = M8. 数集 0 与的关系是（）A. 0B. 0C. 0D. 0A( x, y) | yx9.设集合y则集合 A, B 之间的关系是（）B( x, y) |1xA . A BB . ABC . ABD .以上都不对10.若 AB, AC , B 0,1,2,3, C 0,2,4,8 则满足上述条件的集合有个；11.设 A 0,1 ， B x |xA ，则 B；12.集合 M= 1， 2， (1，2) 有 _个子集，它们是。13. 同时满足 (1)M 1 ， 2，3，4，5(2) 若

14、a M，则 6 a M的非空集合 M有多少？写出这些集合来。14.已知 A x | x2n, nZ, B x | x4n2, nZ 求证： BA 。15.已知A ,2 , ,1, , 求实数x, y的值。x xxy Bx y A B第 9页共 15页- 合提高 -16. 已知，若 AB ， 数的取 范 是；17. 数集X= x|x=12m+8n ， m ， n Z 与数集Y= x|x=20p+16q ， p， q Z 之 的关系是；18.集合 P= x,1 , Q= y,1,2 , 其中 x, y 1,2,3,4,5,6,7,8,9 , 且 P 是 Q 的真子集 , 把 足上述条件的一 有序整

15、数(x, y)作 一个点 , 的点的个数是个；19.已知三个元素的集合，,如果，那么的 20. 已知 A xR | x 22x80, B xR | x 2axa 2120 ， BA, B，求 数 a 的取 集合。21. 已知集合M,a2d,N , ,aq2 ， a 0, MN ，求q的 。aa da aq七 .相关 接康托 的不朽功 前 数学家柯 莫戈洛夫 价康托 的工作 ： “康托 的不朽功 在于他向无 的冒 ” .因而只有当我 了解了康托 在 无 的研究中究竟做出了些什么 后才会真正明白他工作的价 之所在和众多反 之声之由来.数学与无 有着不解之 ，但在研究无 的道路上却布 了陷阱.因 一

16、原因，在数学 展的 程中，数学家 始 以一种 疑的眼光看待无 ，并尽可能回避 一概念.但 把握无限的康托 却勇敢地踏上了 条充 陷阱的不 路.他把无 集 一 引入数学，从而 入了一片未开 的 女地，开辟出一个奇妙无比的新世界. 无 集的研究使他打开了“无限” 一数学上的潘多拉盒子 .下面就 我 来看一下盒子打开后他 放出的是什么.“我 把全体自然数 成的集合 称作自然数集，用字母N 来表示 .”学 集合那一章后，同学 句 不会感到陌生.但同学 在接受 句 根本无法想到当年康托 如此做 是在 行一 更新无 念的工作 .在此以前数学家 只是把无限看作永 在延伸着的，一种 化着成 着的 西来解 .无

17、限永 在构造中，永 完成不了，是潜在的，而不是 在. 种关于无 的 念在数学上被称 潜无限 .十八世 数学王子高斯就持 种 点.用他的 ，就是“我反 将无 量作 一个 体， 在数学中是从来不允 的.所 无 ，只是一种 的方式”而当康托 把全体自然数看作一个集合 ， 他是把无限的整体作 了一个构造完成了的 西， 他就肯定了作 完成整体的无 ， 种 念在数学上称 无限思想.由于潜无限思想在微 分的基 重建中已 得了第10页共15页全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出

18、一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界 .最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数 .他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾 .而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集 .又可容易地证明有理数集与自然数集等

19、势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数注 集合也是可数集时， 一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集 .但出乎意料的是，他在1873 年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的

20、数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去 .就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病” ，有人嘲讽超限数

21、是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧 .第11页共15页高考解密考点导航5 考纲考题展示考点了解映射的概念 ,理解函数的概念1.(2004 年 ,湖北 )解答案2.(2004 年 ,湖北 )第12页共15页解法一解法二答案考点参考答案-1.2.1 集合之间的关系 -1.D2.C 3.D4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B10.四11. 0， 112. 八个 ;， 1 ， 2 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2， 1 ， 2 ， 1 ，213. 七个 ;第13页共15页1 ， 5 ， 2 ， 4 ， 3 ， 1 ， 3， 5 ， 2