八年级上阶段方法技巧训练：构造全等三角形的五种常用方法

1、阶段方法技巧训练（一）,专训2 构造全等三角形的 五种常用方法,在进行几何题的证明或计算时，需要在图形 中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比 较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使 数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有： 翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补 短)法，目的都是构造全等三角形,应,1如图，在ABC中，BE是ABC的平分线， ADBE，垂足为D.求证：21C.,方法1,翻折法,如图，延长AD交BC于点F.(相当于将 AB边向下翻折，与BC边重合，A点落 在F点处，折痕为BE) BE平分ABC， ABECBE. BDAD， ADBBDF90.,证明：,在ABD和F

2、BD中， ABDFBD，BDBD， ADBFDB90， ABDFBD(ASA) 2DFB. 又DFB1C， 21C.,应,2如图，在RtABC中，ACB90，AC BC，ABC45，点D为BC的中点， CEAD于点E，其延长线交AB于点F，连 接DF. 求证：ADCBDF.,方法2,构造法,如图，过点B作BGBC交CF的延长线于点G. ACB90， 2ACF90. CEAD， AEC90， 1ACF180AEC1809090. 12.,证明：,在ACD和CBG中， 12， ACCB， ACDCBG90， ACDCBG(ASA) ADCG，CDBG. 点D为BC的中点， CDBD.BDBG.,又

3、DBG90，DBF45， GBFDBGDBF904545.DBFGBF. 在BDF和BGF中， BDBG， DBFGBF， BFBF， BDFBGF(SAS) BDFG.ADCBDF.,本题运用了构造法，通过作辅助线构造CBG，BGF是解题的关键,应,3如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点， F为CD边上一点，BEDFEF，求EAF 的度数,方法3,旋转法,如图，延长CB到点H，使得BHDF，连接AH. ABE90，D90， DABH90. 在ABH和ADF中， ABAD， ABHADF90， BHDF，,解：,ABHADF. AHAF，BAHDAF. BAHBAFDAFBAF， 即HA

4、FBAD90. BEDFEF， BEBHEF，即HEEF. 在AEH和AEF中，,AHAF， AEAE， EHEF， AEHAEF. EAHEAF. EAF HAF45.,图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90，使AD边与AB边重合，得到ABH.,应,4如图，在ABC中，D为BC的中点 (1)求证：ABAC2AD； (2)若AB5，AC3，求AD的取值范围,方法4,倍长中线法,延长AD至点E，使DEAD，连接BE. D为BC的中点， CDBD. 又ADED，ADCEDB， ADCEDB. ACEB. ABBEAE， ABAC2AD.,(1)证明：,ABBEAEABBE， ABAC2

5、ADABAC. AB5，AC3， 22AD8. 1AD4.,(2)解：,本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决,应,5如图，在四边形ABCD中，ABAD，BAD 120，BADC90.E，F分别是 BC，CD上的点，且EAF60.探究图中 线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明,方法5,截长(补短)法,EFBEFD.,解：,如图，延长FD到点G，使DGBE，连接AG. BADC90， BADG90. 在ABE与ADG中，,证明：,ABAD， BADG90， BEDG， ABEADG. AEAG，BAEDAG. 又BAD120，EAF60， BAEFAD60， DAGFAD60，,即GAF60， EAFGAF60. 在EAF与GAF中， AEAG， EAFGAF， AFAF， EAFGAF. EFGFFDDG. EFFDBE.,证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”“截长法”的基本