高中数学必修五习题及解析

1、最新资料推荐必修五第一章 解三角形1.在 ABC 中， AB 5， BC 6 ， AC 8，则 ABC 的形状是 ()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D 非钝角三角形5 2 6 2 8 23解析：最大边AC 所对角为 B，则 cosB 2 5 6 20 BCB BACC CBAD CABabbsinA3解析由正弦定理 sinA sinB， sinBa 2 . B 为锐角， B 60 ，则 C 90 ，故 CBA.答案C3 在 ABC 中，已知 a 8，B 60 ， C 75 ，则 b 等于 ()32A 4 2B 4 3 C 4 6D. 33asinB8sin60 8 2解 :由 A B C

2、180 ，可求得 A 45 ，由正弦定理，得b sinA sin45 2 46.2答案C 4 在 ABC 中， AB 5 ， BC 7 ， AC 8，则 BABC的值为 ()A 5B 5C 15D 15解析在 ABC 中，由余弦定理得AB2 BC2 AC225 49 641cosB2AB BC2 57 7 . 1答案 A BABC |BA | |BC |cosB 57 5.75 若三角形三边长之比是1：3： 2 ，则其所对角之比是 ()A 1： 2 ： 3B 1： 3 ：2C1： 2： 3D.2 ： 3： 2解析设三边长分别为a，3a,2a ，设最大角为 A，则 cosAa2 3a2 2a22

3、a 3a 0， A 90 .设最小角为 B，则 cosB2a2 3a2 a2322a 3a 2， B 30 ， C 60 .因此三角之比为1： 2 ： 3.答案A6 在 ABC 中，若 a 6 ， b 9 ， A 45 ，则此三角形有 ()A无解B一解C两解D 解的个数不确定1最新资料推荐2解析由babsinA9 23 2，得 sinB41.sinBsinAa6此三角形无解答案 A7 已知 ABC 的外接圆半径为R，且 2R(sin 2A sin2 C) ( 2a b)sinB( 其中 a，b 分别为 A， B 的对边 )，那么角 C的大小为 ()A 30 B 45 C 60 D 90 解析根

4、据正弦定理，原式可化为2Ra22c2b c2 ( 2a b)b ， a2 b 2 c22ab ，4R4R2 ( 2ab) ， a22Ra2 b 2 c22 cosC2ab 2 ， C 45 .答案B8 在 ABC 中，已知 sin2 A sin2 B sinAsinB sin2 C，且满足 ab 4 ，则该三角形的面积为 ()A 1B 2C.2D.3abc解析由 sinA sinBsinC 2R，又 sin2A sin2 B sinAsinB sin2 C，a2 b2 c213可得 a2 b 2 ab c2 .cosC2ab ， C 60 ， sinC .221 S ABC 2 absinC

5、3. 答案 DsinB9 在 ABC 中， A 120 ，AB 5 ， BC 7 ，则 sinC的值为 ()8553A.5B.8C.3D. 5解析由余弦定理，得AB2 AC2 BC2sinBAC3cosA 2AB AC，解得 AC 3.由正弦定理 sinC AB 5 . 答案D10.在三角形 ABC 中， AB 5 ，AC 3， BC 7，则 BAC 的大小为 ()2 5 3A. 3B. 6C. 4D. 3AB 2 AC 2 BC25 2 3 2 7212解析由余弦定理，得cos BAC2AB AC2 53 2 ， BAC 3 .答案A11有一长为 1 km 的斜坡，它的倾斜角为20 ，现要将

6、倾斜角改为 10，则坡底要加长 ()3A 0.5 kmB 1 kmC1.5 kmD. 2km解析如图， AC ABsin20 sin20 ，BC ABcos20 cos20 ， DCAC 2cos210，tan10 DB DC BC 2cos210 cos20 1.答案B12已知 ABC 中， A， B， C 的对边分别为a， b ，c.若 a c62 ，且 A 75 ，则 b 为 ()A 2B 4 2 3 C 4 2 3D. 6 22最新资料推荐解析在 ABC 中，由余弦定理， 得 a2 b2 c2 2bccosA ， a c， 0 b 2 2bccosA b 2 2b(6 2)cos75

7、，23112) ， b 2 2b(而 cos75 cos(30 45 ) cos30 cos45 sin30 sin45 22 2 4 ( 6 6 2)cos75 1b2 2b( 6 2) ( 6 2) b 2 2b 0 ，解得 b 2 ，或 b 0( 舍去 )故选 A. 答案 A413在 ABC 中， A 60 ， C 45 ， b 4，则此三角形的最小边是_ 解析由 A B C 180 ，得 B 75 ， c 为最小边， 由正弦定理， 知 cbsinC4sin45 4( 3 1) 答案 4( 3sinBsin75 1)14在 ABC 中，若 b 2a， B A 60 ，则 A _.解析由

8、B A 60 ，得13sinB sin(A 60 ) 2 sinA 2 cosA.1 3又由 b 2a，知 sinB2sinA. 2sinA 2 sinA 2 cosA.3 3即 2sinA 2 cosA. cosA0，3 tanA ， A 30 . 答案 30 3 . 0 A18015在 ABC 中， A C 2B ， BC 5 ，且 ABC 的面积为 103 ，则 B _， AB _.解析 由 A C 2B 及 A BC 180，得 B 60 .11又 S 2 AB BCsinB， 103 2 AB5 sin60 ， AB 8. 答案 60 816在 ABC 中，已知 (b c)： (c

9、a)： (a b) 8 ：9 ： 10，则 sinA ： sinB： sinC _.b c 8k，解析 设 c a9k ，可得 a：b： c11： 9 ： 7.a b 10k， sinA ： sinB：sinC 11： 9 ： 7. 答案11： 9： 7三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分 )在非等腰 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a，b ， c，且 a2 b(b c)(1)求证： A 2B；(2) 若 a 3b ，试判断 ABC 的形状a2 c2 b 2bc c2b casinA解 (1)证明：在 ABC

10、 中， a2 b(b c) b2 bc，由余弦定理， 得 cosB，2ac2ac2a2b2sinB sinA 2sinBcosB sin2B.则 A 2B 或 A 2B .若 A 2B ，又 A BC ， BC.这与已知相矛盾，故A2B.(2) a3b ，由 a2 b(b c)，得 3b 2 b2 bc， c 2b.故 ABC 为直角三角形3最新资料推荐18 (12 分)锐角三角形ABC 中，边 a， b 是方程 x2 23x 2 0 的两根，角A ， B 满足 2sin(A B) 3 0. 求：(1)角 C 的度数；(2) 边 c 的长度及 ABC 的面积3解 (1)由 2sin(A B)

11、3 0，得 sin(A B) 2 . ABC 为锐角三角形，A B 120， C60 .(2) a， b 是方程 x2 2 3x 2 0 的两个根， a b 2 3， ab 2. c2 a2 b2 2abcosC (a b) 2 3ab 126 6. c 6.1133SABC absinC 2 2 .22219(12 分 )如右图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东75 ，距离为 126 nmile ，在 A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30 ，距离为 83 nmile ，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔B 在北偏东120 ，求：(1)A 处与 D 处的距离；(2) 灯塔

12、C 与 D 处的距离2(1)在 ABD 中， ADB 60 ，B 45 ，AB 12ABsinB1262解6 ，由正弦定理， 得 AD 24(nmile) sin ADB32(2) 在ADC 中，由余弦定理，得CD2 AD 2 AC2 2AD ACcos30 .解得 CD 83(nmile) A 处与 D 处的距离为24 nmile ，灯塔 C 与 D 处的距离为83 nmile.20 (12 分 )已知 ABC 的角 A， B， C 所对的边分别是a， b， c，设向量m (a， b) ，n (sinB ， sinA) ， p (b 2 ，a 2) (1)若 m n ，求证： ABC 为等腰

13、三角形；(2) 若 m p ，边长 c 2，角 C 3，求 ABC 的面积解 (1)证明： m n， asinA bsinB.由正弦定得知， sinA abab，sinB( 其中 R 为 ABC 外接圆的半径)，代入上式， 得 a b ， a b.故 ABC2R2R2R2R为等腰三角形(2) m p ， m p 0 ， a(b 2) b(a 2) 0 ， a b ab. 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得4最新资料推荐224 (a b) 3ab ，即 (ab) 3ab 4 0.11 ABC 的面积 S 2absinC 24 sin3 3.第二章数列1已知正项数列a n 中， a1

14、=l ， a2?（n 2 ），则 a6 = （）=2 ，?= ?+?+ ?-?A 16 B 4C 2 ? D 45【解答】解：正项数列an 中， a1=1 ， a2 =2 ，2an2=a n+12 +a n 12（ n 2 ）， an+1 2 an 2=a n2 an 12，数列 an 2 为等差数列，首项为1，公差 d=a 22 a12 =3 ， an 2=1+3 （ n 1） =3n 2， an = ?+ ? a6 = ?- ?=4 ， 故选： B2 张丘建算经卷上第22 题 “女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5 尺， 30天共织布 3

15、90尺，则该女子织布每天增加（）?A 尺B 尺C 尺 D 尺?【解答】解：设该妇子织布每天增加d 尺，? ?，解得 d=?由题意知 ? = ?+?=?故该女子织布每天增加尺故选： B?,(?为正奇数）3 已知数列 an 满足 a1=1 ， an+1 = ，则其前6 项之和是（）? + ?,(?为正偶数）?A 16B 20C 33D 120?,(?为正奇数）?【解答】解：a1=1 ， an+1 = ，? + ?,(?为正偶数）? a2 =2a 1=2 ， a3 =a 2 +1=2+1=3 ，a4 =2a 3=6 ，a5 =a 4 +1=7 ， a6 =2a 5=14其前 6 项之和是1+2+3+

16、6+7+14=33故选 C4 定义?为 n 个正数 p1，p 2 ， p n 的“均倒数”若已知数列 a n 的前 n 项的“均倒数” 为?+?+? +?+?，又 ? =?，?+? ?则 ? +? ? + ?+ ? ? =（）? ? ?A ?B ?C ?D ?【解答】解：由已知得，?+?+?+?= ? a1+a 2+ +a n =n （ 2n+1 ） =S n? ?+?当 n 2 时， an =S n Sn 1=4n 1，验证知当 n=1 时也成立， an =4n 1， ?+?，?=? ?=?-?+? ?+?+?+ ? +?=(1-?(? ?)+-) + (-) + ?+ ( -) = ?-=

17、 故选 C? ? ?5 已知等比数列 a n 是递增数列， Sn 是 an 的前 n 项和若 a1， a3 是方程 x2 5x+4=0的两个根，则 S6 = 63 【解答】解：解方程x2 5x+4=0，得 x1=1 ，x2 =4 5最新资料推荐因为数列 an 是递增数列，且 a1， a3 是方程 x2 5x+4=0的两个根，?所以 a1=1 ， a3=4 设等比数列 a n 的公比为?= ?，所以 q=2q，则 ? =? =?(?-? )? (?-?)则 ?=?= ? 故答案为 63 ?-?-?6 如图给出一个“三角形数阵” 已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的

18、公比都相等，记第i 行第 j 列的数为 aij （ i j， i ， jN * ），则 a53 等于， amn =（ m 3 ）? ?,? ? ? ?,? ? ?k 行的所含的数的个数为k，前 n 行所含的数的总数 =1+2+ +n=?(?+?)【解答】解：第?a53 表示的是第5 行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为?，公差d=?=的等差数列，?-?第一列的第 5?(?个数 =);?+?- ? ?=?又从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q= ?=，第5 行是以为首?=?项， 为公比的等比数列，? = ( )? amn 表示的是第m 行的第

19、 n 个数，由可知：第一列的第?) ?-?=m 个数 = + ( ? -=， ? =( )? ?+?故答案分别为?，? ?+?7 等差数列 an 中， a7 =4 ， a19=2a 9 ，（）求 an 的通项公式；（）设 bn =?，求数列 b n 的前 n 项和 Sn?【考点】 8E：数列的求和；84 ：等差数列的通项公式【分析】（ I）由 a7=4 ， a19=2a9 ，结合等差数列的通项公式可求a1， d ，进而可求 an（ II ）由 ?=?=?=-，利用裂项求和即可求解?(?+?)?+?【解答】解：（ I）设等差数列 a n 的公差为d? + ?= ? a7 =4 ， a19=2a

20、9 ， ? + ?= ?(?+ ?)?解得， a1=1 ， d=?+? = ?+( ?- ?) =?（ II ） ?=-?=?+?(?+?)? ?-+ ?+-) = ?(?-)=? = ?(?-+?+?+?+?8 已知等差数列 a n ，的前 n 项和为 Sn，且 a2=2 ， S5=15 ，数列 b n 满足 b 1=?+?， bn+1 =?6最新资料推荐（ 1）求数列 an ， b n 的通项公式；()(?-? )?，试问 f（ n）是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存（ 2）记 T n 为数列 b n 的前 n 项和， ? =?+?在请说明理由将 ?+?bn ；b n 整理，得到是

21、首项为，公比为的等比数列，应用等比数列的通项即可求出?+?=?（ 2）运用错位相减法求出前n 项和 Tn ，化简 f（ n ），运用相邻两项的差f（ n+1 ） f（ n ），判断 f（ n）的增减性，从而判断 f （n）是否存在最大值【解答】解：（ 1）设等差数列 a n 首项为 a1，公差为 d ，则 ?+ ?=?解得 a1=1 ， d=1 ， an =n ，又 ?+? ?，?+ ?= ?+?= ?即? ?是首项为，公比为的等比数列，?-?=?)=?；?(， ?（ 2）由（ 1）得： ?，?=+?+?+ ? +?+?+?+ ? +?-?，? =?+?+?相减，得 ?(?- )， = ? ，

22、?=+?+?+ ? +?+?+?-? ? = ?-?+?Sn =?），?，又n （ n+1?(?-? )?()? +?=? ，? =?+?()()?(?+?+?+? +?(?+?)(?-?)?+ ? - ? =?+?-?=?-?，?当 n 3 时， f（ n+1 ） f（ n ） 0 ，数列 f （n ） 是递减数列，? ?又 ?(?) = ?,?(?) = ,?( ?) =? ? f（ n ）存在最大值，且为?9 设数列 ? ，若对于任意的正整数n都有 ?- ?.?的前项 n 和为 ?=（ 1）设 ?= ?+ ?，求证：数列 ?是等比数列，并求出?的通项公式。（ 2）求数列 ? 的前 n 项

23、和 .解：（ 1） ? = ?-?对于任意的正整数都成立， ?= ?- ?(?+ ?)?+?+?两式相减，得 ?= ?+?-()+ ?+?-?+ ? -? ? = ?-?， 即 ?=+ ?+?+? ?+? ? +?+?= ?对一切正整数都成立。?+?+ ?= ?(?+ ?)，即 ?=? +?数列 ?是等比数列。由已知得S12a13?= ?-?即 a12a13,a13 ? = ?- ?首项 ?-?。 ?-?-?= ?+ ?，公比 q=2 ， ?=?=?= ? - ?。7?-?最新资料推荐(2)Q nan3n 2nSn3(1 22 222Sn3(1 222 23Sn3(222233 2(2n1)21Sn(6n6) 2n3n,3 23Ln 2n )3 24Ln 2n 1 )L2n )3n 2n 16n2n3n(n 1)26 3n(n 1). 23(1 23 Ln),6(1 23 Ln),3(1 23Ln),?的图象上10设数列 an 的前 n 项为 Sn ，点 (?,? ( ? )均在函数y = 3 x2.?) , ? ?（