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文档简介

1、名校名 推荐专项限时集训 ( 六)数列中的证明、 探索性和存在性、 不定方程的解等综合问题( 学生用 第123 页 )( 限 : 60 分 )1( 本小 分14 分 ) 已知数列 an 是各 均 正数的等比数列,a3 4, an 的前 3 和 7.(1) 求数列 an 的通 公式;(2) 若 a1b1 a2b2 anbn (2 n 3)2 n 3, 数列 bn 的前 n 和 Sn,求 : 1 1S1 S2112 .nnS 解 (1) 数列 an 的公比 a1q2 4,a1 1,由已知得0,且qqq 2.a1 a1 q 4 7,数列 an 的通 公式 n 1.4 分an 2(2) 明:当 n 1

2、 , a1b1 1,且 a11,解得 b11.6 分当 n2 , anbn (2 n 3)2 n3 (2 n2 3)2 n1 3 (2 n1) 2n 1.an 2n 1,当2 ,n 2 1.8 分nbn b 121 1 足 b 2n 1,1n数列 bn 的通 公式 bn 2n 1( n N* ) 数列 bn 是首 1,公差 2 的等差数列 Sn n2.10 分11当n 1 , 1 1 2 1.S当 2 ,111112 .nSnn n nn 1n11111111 2 12S112n1nSSn1 2n.14 分2( 本小 分14 分)(2017 城市 海 八 中学二模) 如果无 数列 an 足下列

3、条件:n n2 an 为 数列aa an1;存在 数 M,使 an M. 其中 n N* ,那么我 称数列2(1) 数列 bn 的通 bn 5n 2n,且是 数列,求 M的取 范 ;1 7(2) 设 cn 是各 正数的等比数列, Sn 是其前 n 和, c34,S34, 明:数列 Sn是 数列;1名校名 推荐(3) 设数列 dn 是各项均为正整数的 数列,求证: dndn 1.【导学号: 56394106】n 1nnn 1n,故数列n单调递减; 解 (1) b b 52 ,当 n3, b b 0 b 当 n1,2时, bn 1 bn 0,即 b1 b2b3,则数列 bn 中的最大项是3 7,所

4、以7.2 分bM(2) 证明: cn 是各项为正数的等比数列,n 是其前n项和,c31, 3 7,S4S4c3c37设其公比为 q0, q2 q c34.整理,得621 0,解得11qq, ( 舍去 ) q2q311 c1 1,cn 2n 1, Sn 22n 1 Sn 2, S2.*S S111对任意的 n N ,有nn2 2 2n 2n2 22n 1Sn 1,且 Sn 2,2故 S 是 数列 .8 分n(3) 证明:假设存在正整数k 使得 dk dk 1 成立,由数列 dn 的各项均为正整数,可得dk dk 1 1,即 dk 1dk 1.dk dk 2因为 dk 1,所以 dk 22dk 1

5、dk2( dk 1) dk dk 2.2由 dk 22dk 1 dk 及 dk dk 1 得 dk 2 2dk 1 dk 1 dk 1,故 dk 2 dk 1 1.dk 1 dk 3因为 dk 2,所以 dk 32dk 2 dk 12( dk 1 1) dk 1 dk 12 dk 3,2由此类推,可得dk m dk m( m N* ) 又存在 M,使 dkM, m M,使 dk m 0,这与数列 dn 的各项均为正数矛盾,所以假设不成立,即对任意 n N* ,都有 dn dn 1 成立 .14 分nanan 1*3 ( 本小题满分 14 分 ) 设数列 a 满足21, n N .n 1*(1)

6、 证明: | an| 2(| a1| 2) , nN ;(2) 若 | an| 3 n, nN* ,证明:2| an| 2, n N* .证明an 1 ,得n 1n 1 , (1)由 a 2| an| an| an 1|1*,故nn 1 n, N222n2名校名 推荐| a1| an| a1| a2| a2| a3| an 1| an|1 11所以 21 2n 212222232n 12n 21 22 2n 1n,nm| an| an 1| an 1| an 2| am1| am|11| a | a |n n 1 m1 nmn 1n 2m n n 12222222222112m 12n 1,1

7、 | am|n故 | an|,均有 |a3mnn|2 ,3|an0| 2取正整数 m0log42n0且 m0n0,3303| an| 2则 2n0 4 m02n0 4 log 4 2n0 | an0| 2,与式矛盾 上, 于任意n N* ,均有 | an| 2.14 分4( 本小 分16 分)(2017 江 省无 市高考数学一模) 已知 n 正整数,数列 an 足222anan 0,4(n1) an nan 1 0, 数列 bn 足 bn t n.(1)an求 :数列n 等比数列;(2)若数列 bn 是等差数列,求 数t 的 ;*,使得2(3) 若数列 b 是等差数列, 前 n 和 S , 任

8、意的 n N,均存在 m N8a Snn1 n42a1 的 a1n 16bm 成立,求 足条件的所有整数 解 (1) 明:数列 n 足n 0,4(n22, 1) n n 10aaana 2 n 1an nan1,即an 1an 12 ,nnan 公比的等比数列.4 分数列n 是以 a 首 ,以 213名校名 推荐(2)由 (1)可得:ann122n1 a12, a na14 .nn2222ana1a2a3 b t n, b1 t , b2 t 2 ,b3 t 3,n222a2a1a3数列 bn 是等差数列, 2 t 2 t t3,22243a221214at a1t 2,化为: 16t t2

9、48,解得 t 12或 4.8 分(3)数列 n 是等差数列,由(2) 可得:t 12或 4.b22a1na12n 12nn111243na 4nan, Sn, t 12 时, bnn21243*242对任意的 nN ,均存在 m N ,使得8a S a n 16b 成立,1n1m22a1na1nn221243421 8amam,11162a n432 n n224m124m a1 33n n 3m, n 1 时,化为:3a1 3m 0,无解,舍去22na1na12n 124114na 4na, t 4 时, b n , S n4n24*,均存在*242对任意的 n NmN ,使得8a S a

10、 n 16b 成立,1n1m22a1na1n42 812414 2112 4 ,a16 ma,2a n4nammm1* a1 2n. a1为正整数,n 2k, kN .满足条件的所有整数a1的值为aa1 2mn*,且m 1,*,N , N N .116 分5( 本小题满分16 分) 已知数列n1123nn1n 1* a 满足: a 4,a 4,2a a a( n2, nN ) ,数列 bn 满足: b10,3 bnbn 1 n( n2, n N* ) ,数列 bn 的前 n 项和为 Sn.(1) 求证:数列 bn an 为等比数列;(2) 求证:数列 bn 为递增数列;(3) 若当且仅当 n 3 时, Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围 .4名校名 推荐【导学号: 56394107】 解 (1) 证明: 2n n 1 n 1(2,n N* ) an 是等差数列a aan1 3又 a1 4, a2 4, a 11 2n 14( n1) 24,nn 1n1 n(2, N* ) ,b3b3nnn 1n 1 1nn 12n 11 n2n 11 bn 2n 1ba3b343b12341 3( bn an) 1111nn111又 b a b 40, b a 是以 b 4为

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