2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第25讲解斜三角形.ppt

1、1,2,第四单元 三角函数与平面向量,3,第25讲,解斜三角形,4,1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题.,5,1.在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC=( ),D,A.3 B.3 C.4 D.4,由正弦定理得 = , 所以AC= = =4 .,6,2.在ABC中，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=( ),D,A. B. C. D.,因为a、b、c成等比数列，所以b2=ac. 又c=2a,所以b2=2a2, 所以cosB= = = .,7,3.在ABC中,sinA

2、:sinB:sinC=2: :( +1),则三角形的最小内角是( ),A.60 B.45 C.30 D.以上答案都错,由正弦定理 = = =2R， 得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC, 所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2 ( +1). 因为a为最小值，所以A为最小内角. 因为cosA= = , 且A(0,60)，所以A=45，故选B.,B,8,4.某人向正东方向走了x km，他向右转150,然后朝新方向走了 km，结果他离出发点恰好为 千米，那么x的值是（ ）,C,A. B.2 C.2 或 D.3,先根据已知条件画出草图，再用余弦定理或正弦定理列方程，解方程即

3、可，选C.,9,5.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1,BC=4，则边BC上的中线AD的长为 ，SACD= .,由已知，B=60，AB=1，BD=2. 由余弦定理知 AD= = = .,10,又cosADB= = = , 又0ADB180， 所以ADB=30，所以ADC=150， 所以SACD= ADDCsinADC= .,11,1.正弦定理及变式 (1) = = =2R; (2)a=2RsinA,b= ,c=2RsinC; (3)sinA= ,sinB= ,sinC= ; (4)sinAsinBsinC=abc. (5)在下列条件下，应用正弦定理求解: ()已知两角和一边，

4、求其他边和角； ()已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他边和角.,2RsinB,12,2.余弦定理及变式 (1)a2=b2+c2-2bccosA; b2= ; c2=a2+b2-2abcosC. (2)cosA= ; cosB= ; cosC= .,a2+c2-2accosB,13,(3)在下列条件下，应运用余弦定理求解: ()已知三边，求三个角； ()已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； ()已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角.(此类问题需要讨论) 3.三角形的面积公式 S= absinC= = bcsinA.,acsinB,14,4.应用解三角形知识解决实际问

5、题的步骤 (1)根据题意画出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知条件和未知条件； (3)选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性； (4)给出答案.,15,题型一 正弦定理的应用,例1,在ABC中，已知a= ,b= , B=45,求角A、C及边c.,由正弦定理，得 sinA= = = , 因为ba,所以BA,所以A=60或120.,16,已知两边和其中一边的对角解三角形问题,用正弦定理解,求得sinA= 时，要注意角A是锐角还是钝角，若不能确定，则需分类讨论.,(1)当A=60时，C=75， 所以c= = . (2)当A=120时，C=15， 所以c= = .,

6、17,题型二 余弦定理的应用,例2,钝角ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinC= , (c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角A、B、C.,18,由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C, 得(c-b)a2+b3=c3, 所以(c-b)a2+(b-c)(b2+bc+c2)=0, 即(c-b)(b2+bc+c2-a2)=0, 所以b=c或b2+bc+c2-a2=0, 当b=c时，有B=C，所以C为锐角， 又sinC= ,所以B=C=45, 所以A=90，这与ABC为钝角三角形矛盾.,19,当b2+bc+c2-a2=0时，b2+c2-a2=-bc, 所以

7、cosA= =- , 所以A=120， 又sinC= 且C为锐角，所以C=45， 所以B=180-A-C=15， 综上可知,A=120,B=15,C=45.,若将边化角,常用三角函数公式来化简;若将角化边,则常通过因式分解来得到.,20,题型三 正弦定理、余弦定理在平面几何中的综合应用,例3,已知圆内接四边形的边长为AB=2,BC=6,CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.,21,如图，连接BD， 设四边形ABCD的面积为S， 则S=SABD+SBCD = ABADsinA+ BCCDsinC, 因为四边形ABCD为圆内接四边形， 所以A+C=180， 所以sinA=sinC,cosA=-c

8、osC, 所以S= (ABAD+BCCD)sinA=16sinA,22,在ABD中，由余弦定理得， BD2=AB2+AD2-2ABADcosA =22+42-224cosA=20-16cosA. 在BCD中，由余弦定理同样可得， BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=52+48cosA. 由BD2=BD2，得20-16cosA=52+48cosA， 即cosA=- , 又A(0,)，所以A=120, 所以S=16sin120=8 .,将四边形转化为三角形问题，创造应用解三角形的情景，进而运用有关的知识去解决问题.,23,ABC中，a、b、c为内角A、B、C的对边，R为ABC的外接圆的半径

9、，如图，在以O为圆心，2为半径的O中，BC和BA是O的弦，其中BC=2，ABC=45，求弦AB的长.,24,ABC的外接圆半径为2,由正弦定理得： AC=2RsinB=2 ，sinA= = ，得A=30. 由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BCACcosC =4+8+8 cos(A+B) =4( +2)=2( +1)2, 所以AB= + .,25,如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2. (1)求cosCBE的值； (2)求AE.,26,(1)因为BCD=90+60=150， 又DC=AC=BC,所以 =15, 所以cosCBE=cos15=

10、cos(45-30) =cos45cos30+sin45sin30 = . (2)在ABE中，AB=2. 由正弦定理得 = , 所以AE= = = - .,27,正、余弦定理体现了三角形中角与边存在一种内在联系，其主要作用是将已知边、角互化或统一.一般的，利用公式a=2RsinA等（R为外接圆半径），可将边转化角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理；利用公式cosA= 等，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边.,28,(2009湖南卷)在锐角ABC中，BC=1,B=2A,则 的值等于 ，AC的取值范围为 .,2,设A=B=2.由

11、正弦定理得 = , 所以 =1 =2. 由锐角ABC得0290045. 故3045 cos , 所以AC=2cos( , ).,29,(2007江苏卷)在ABC中，内角A、B、C对边长分别为a、b、c，已知c=2,C= . (1)若ABC的面积等于 ,求a、b; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求ABC的面积.,30,(1)由余弦定理及已知条件得， c2=a2+b2-2abcosC, 所以a2+b2-ab=4, 又SABC= absinC= ab=4, a2+b2-ab=4 a=2 ab=4， b=2.,解得,由,31,(2)由题意得，sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 所以sinBcosA+cosBsinA+sinB